山东烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

2022级高二数学第二次月考12.24(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.抛物线的焦点到直线的距离为，则    A. 1 B. 2 C. D. 4 2.设为等差数列的前n项和，若，则的值为     A. 14 B. 28 C. 36 D. 48 3.与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为    A. B. C. D. 4.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 A. 5 B. C. D. 5.在等比数列中，且，则    A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知两点，点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为 A. B. C. 6 D. 7.已知点P是抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为M，若，则的最小值为     A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.已知双曲线的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线C的离心率为    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，共20分。 9.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是    A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10.已知双曲线左、右两个顶点分别是，一条渐近线过点，P是双曲线上异于的任意一点，则下列说法中正确的是    A. 双曲线C与双曲线上有相同的渐近线 B. 双曲线C的离心率为 C. 直线的斜率之积等于定值 D. 若直线l：与渐近线围成的三角形面积为，则焦距为 11.已知数列为等差数列，其前n项和为，且，则以下结论正确的有   A. B. 最小 C. D. 12.双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.在数列中，若，，则________. 14.已知抛物线的焦点坐标为，则实数_________. 15.已知P是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，，则的面积=_________. 16.若、为椭圆C：的左、右焦点，焦距为4，点P为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P满足，则C的离心率e的取值范围为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若                 求数列的通项公式; 求使成立的n的最小值. 18.本小题12分 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为 求C的方程； 经过点的直线l交C于两点，且M为线段AB的中点，求l的方程. 19.本小题12分 已知数列的前n项和为，且 求的通项公式 若，求的前n项和 20.本小题12分 已知抛物线的焦点为F，，对于C上的点的最小值为 求抛物线C的标准方程； 是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求m的值. 21.本小题12分 已知数列满足，，令 求的值； 求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 22.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，点分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足 求动点P的轨迹C的方程； 设圆上任意一点Q处的切线交轨迹C于点两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标．若不过定点，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易. 首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值. 【解答】解：抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离为， 解得舍去 故选 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题． 利用等差数列的性质和前n项和公式直接求解． 【解答】 解：等差数列的前n项和为，， 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点、渐近线与椭圆的焦点，属一般题. 先由所求双曲线与椭圆共焦点得到，且焦点在y轴上，再结合题意设所求双曲线为，利用即可得解. 【解答】 解：因为曲线为椭圆，焦点在y轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线为，即， 则，解得， 所以所求双曲线为 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题． 由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出a，b的关系，再求离心率的值． 【解答】 解：由双曲线C：的方程可得渐近线方程为， 由题意可得， 所以双曲线的离心率， 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查等比数列的计算，属于基础题. 根据，又，从而得出结果. 【解答】 解：因为为等比数列，所以，又，所以 答案： 6.【答案】B  【解析】【分析】 先求出直线AB的方程，然后结合图形，将点到直线的的最大距离转化为求与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的最大距离，再利用两平行线间的距离求出即可. 本题考查了直线与椭圆的位置关系有关的最值问题，涉及了根据两点求直线方程，两平行直线间的距离公式；椭圆中求最值的方法有两类：函数法和数形结合法，本题采用数形结合法，关键是理解与直线AB平行且与椭圆相切的直线所经过的切点到直线AB的距离.最大或最小. 【详解】 由两点 ， 0，，则直线AB的方程为， 由图可知，直线和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大． 联立方程得，整理得 由于直线和椭圆相切，则，解得或舍去 由于与直线的距离为 则点P到直线AB距离的最大值为， 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及几何性质的应用，属于中档题. 结合题设由抛物线的定义结合两点间的距离公式容易求解. 【解答】 解：因为抛物线  所以其焦点为，准线为， 所以由抛物线的定义知 ， 当且仅当点P在线段FG上时等号成立， 故的最小值为 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查双曲线的标准方程，属于较难题. 根据，可求出M和N点的坐标，再根据，可以得到关于a、b、c的方程，从而可解出离心率. 【解答】 解：因为， 所以， 因为，所以， 根据对称性有： ，， 不妨设点M和N都在x轴上方， 代入双曲线方程可求出M和N的纵坐标， 所以，， 因为， 所以 解得或小于1舍去， 从而 故选 9.【答案】BCD  【解析】解：当曲线是椭圆时， 则，解得或，错误， 当曲线是双曲线时， 则，解得或，正确； 若曲线是焦点在x轴上的椭圆， 则，解得，正确； 若曲线是焦点在y轴上的双曲线， 则 ，解得，正确． 故选： 根据方程表示的曲线的类型，列出相应的不等式组，求得参数t的取值范围，即可判断答案． 本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，分类讨论思想，属中档题． 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题. 关键在于熟练掌握双曲线的几何性质，根据双曲线渐近线经过的点求渐近线，结合公式求离心率，根据焦点到渐近线的距离求方程，斜率公式的应用，结合三角形的面积求c的值. 【解答】 解：由题：双曲线 的一条渐近线过点， ，， 所以 ，所以  ， 双曲线C的渐近线方程为 ， 双曲线 的渐近线方程为 ， 故二者有相同的渐近线，故A正确； 离心率    ，故B错误; 设，， 则，故C正确; 双曲线C的渐近线方程为 ，与直线 联立， 解得 ，则 ，又 ， 解得 ，则焦距为 ，故D正确. 故选 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项，等差数列的性质，属于中档题． 根据题意，由，可判断选项ACD，由等差数列前n项和的最值可判断 【解答】 解：因为数列为等差数列，设其公差为d， 由于，即，即，故A正确； 当时，没有最小值，故B错误； 因为， 所以，故C正确； ，故D正确． 故选： 12.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义及性质，属于中档题. 依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过作圆D的切线切点为G，分类讨论：分别在左右支及若均在左支上.设，，可求出，，，，在中由正弦定理，化简可得关于a，b的数量关系，即可求解. 【解答】 解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过作圆D的切线切点为G， 若分别在左右支，如图： 因为，且， 所以N在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故， 即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率； 若均在左支上，如图： 同理有，其中为钝角， 故，故， 即， 代入，，， 整理得到：，故， 故， 综上： C的离心率为或 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等差数列定义和通项公式，属于基础题． 利用等差数列定义和通项公式即可得出． 【解答】 解：，， 则， 数列为首项为1，公差为3的等差数列， ， 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 化简抛物线方程为标准方程，然后利用焦点坐标求解即可． 【解答】解：抛物线的标准方程为：，它的焦点坐标为， 可得，解得 故答案为： 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查椭圆的定义与性质，以及余弦定理、三角形的面积公式的应用，属于中档题. 设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理得，解得，代入三角形面积公式可得结果. 【解答】 解：由可得，，即，， ，即， 设，，由椭圆的定义可得① 由余弦定理得，② 由①②可得， 故答案为 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的范围，属于中档题. 根据向量的加减运算以及数量积运算可得，结合以及的范围，可得，结合离心率公式可得所求范围. 【解答】 解：由题意得， 设O为坐标原点，， 因为，， 故， 若存在四个不同的点P满足， 又， 所以，即， 解得， 所以， 即 17.【答案】解：数列是公差d不为0的等差数列的前n项和， 若，， 所以 解得或舍， 所以 ，，， 由，即 整理可得，解得或， 由于n为正整数，故n的最小值为  【解析】【分析】 本题考查等差数列基本量的求解，等差数列的通项公式与前n项和公式，属于中档题. 由题意根据条件得出基本量，即可确定数列的通项公式； 首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 18.【答案】解：由点到直线的距离公式易得：双曲线的焦点到渐近线的距离为， 又双曲线的一条渐近线方程为，，， 双曲线C的方程为； 设两交点分别为，，则A，B两点都满足方程， ， 两式相减可得，两边同时除以展开可得： ，又，且， ，，又在AB直线上， 直线方程为，即， 又点在双曲线开口内，且斜率为， 直线AB与双曲线有两个交点， 故AB直线方程为， 即直线l的方程为  【解析】本题考查双曲线的性质，点差法解中点弦问题，抽象运算能力，属中档题． 通过焦点到该渐近线的距离及渐近线方程解得a，b，即可得解； 利用点差法求出所求直线的斜率，从而得所求直线，最后再检验即可得解． 19.【答案】解：由，当时，可得， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为； 由，可得， 则， 令，可得， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以  【解析】本题考查了数列的通项公式和求和公式，属于中档题. 当时，利用，然后检验时是否满足，从而可得出数列的通项公式； 由知当时，，当时，，进行分类讨论，即可求出 20.【答案】解：由题意可知得，当F，A，B三点共线时，， 由两点间距离公式， 解得， 所以抛物线C的方程为 把代入方程，可得， 设，， 联立方程组消去y可得， 由，解得， 又知，， 所以 ， 由到直线l的距离为， 所以， 即，， 解得或 经检验均满足， 所以m的值为或  【解析】本题考查抛物线的标准方程，以及抛物线中的面积问题，属于一般题目， 1根据三点共线时，线段的和最小，然后再结合两点间的距离公式求解； 2直线与抛物线联立，表示出弦长，然后根据的面积为，建立方程，解方程即可. 21.【答案】解：由题，，； 由题，， 故数列是等差数列. 又，且数列的公差为1，所以， 即，所以  【解析】本题主要考查的是等差数列的判定证明，等差数列的通项公式，递推公式，属于中档题. 利用数列的递推公式直接求解即可. 利用等差数列的概念判断即可，根据等差数列的通项公式得到，即可得到数列的通项公式. 22.【答案】解：设，， 由得① 由得 所以 代入①式得，整理得， 所以动点P的轨迹C的方程为 ①当切线斜率不存在时，切线方程为， 当切线方程为时，， 以MN为直径的圆的方程为， 当切线方程为时，， 以MN为直径的圆的方程为， 由和联立，可解得交点为 ②当过点Q且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为， 则，故， 由联立并消去y整理得 因为 所以切线与椭圆C恒有两个交点， 设，，则， 所以 所以，即以MN为直径的圆过原点 综上所述，以MN为直径的圆过定点  【解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题和定点问题，属于较难题. 设，由条件得等量关系，化简整理即可； ①当切线斜率不存在时，切线方程为，，然后分情况求解即可； ②当过点Q且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为，由直线与圆相切得 ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，通过求得，即可判断以MN为直径的圆过原点 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $