第4章 指数函数和对数函数 单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数函数和对数函数单元测试 高一数学第四章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．．已知关于x的函数y＝ax﹣1+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（　　） A．（1，0） B．（1，2） C．（2，2） D．（1，3） 2．设，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 3．函数y的定义域为（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，0] D．[0，1] 4.函数的单调递减区间是（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．[﹣1，1] D．[1，3] 5.“函数f（x）＝lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R”是“0＜a＜4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，6） B．[，6） C．[1，] D．（1，+∞） 7.设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 8.已知定义在区间上的函数，若存在，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若，则下列等式正确的是() A. B. C. D. 10.设函数，若实数满足，且，则下列结论恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则( ) A.当时， B.的单调递增区间为 C.若，则的取值范围是 D.方程的所有实数根之积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log189＝　　 ． 13.已知函数f（x），x∈R （1）函数f（x）的单调增区间为　 　； （2）函数f（x）的最小值为　 　． 14.给出下列4个结论， ①函数y＝ax（a＞0，a≠1）与函数的定义域相同； ②函数y＝k•3x（k＞0）（k为常数）图像可由y＝3x的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于y轴对称； ④若幂函数y＝xα的图像关于原点成中心对称，则y＝xα是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为　 　．（填序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算：（1）log25×log34×log527+log2（log216）. （2）. （3）. （4）. 16．（15分）（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围？ （2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围？ 17．（15分）已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 18．（17分）已知函数f（x）＝logax（a＞1）在[a，2a]上的最大值与最小值之差为1． （1）求实数a的值； （2）求f（x2﹣x+1）的最小值； （3）求不等式f（4x﹣2x）≤2+log25×log53的解集． 19．（17分）已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）． （1）当时，解不等式f（x）+log25＞0； （2）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数和对数函数单元测试 高一数学第四章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．．已知关于x的函数y＝ax﹣1+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（　　） A．（1，0） B．（1，2） C．（2，2） D．（1，3） 解：令x﹣1＝0即x＝1时，求出函数值y＝a0+2＝1+2＝3，函数过定点（1，3）．故选：D． 2．设，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解：a20.3，b＝30.3，c＝log0.32＜0，又1＜20.3＜30.3，则c＜a＜b．故选：A． 3．函数y的定义域为（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，0] D．[0，1] 解：由，得，即2﹣x≤2，∴﹣x≤1，即x≥﹣1．∴函数y的定义域为[﹣1，+∞）．故选：B． 4.函数的单调递减区间是（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．[﹣1，1] D．[1，3] 解：因为2＞1，所以g（x）＝2x是增函数 所以函数这里y和指数﹣x2+2x+3单调性相同要求指数的减区间， 就是：﹣x2+2x+3＝﹣x2+2x﹣1+4＝﹣（x﹣1）2+4开口向下所以在对称轴x＝1左边递增，右边递减， 所以y减区间是（1，+∞）.故选：B． 5.“函数f（x）＝lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R”是“0＜a＜4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：若函数f（x）＝lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R， 则ax2﹣ax+1≥0对任意实数x恒成立． 当a＝0时，f（x）＝lg1＝0，符合要求； 当a≠0时，有，解得0＜a＜4． 综上所述，若函数f（x）＝lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R，则0≤a＜4． 故“函数f（x）＝lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R”是“0＜a＜4”的必要不充分条件．故选：B． 6.已知f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，6） B．[，6） C．[1，] D．（1，+∞） 解：f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数；∴； 解得，；∴实数a的取值范围为．故选：B． 7.设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 解：函数在区间上为减函数，其最大值为，最小值为.根据题意，需满足： 验证时，真数部分始终为正，故实数的最小值为.故选：D. 8.已知定义在区间上的函数，若存在，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解：已知.设,则. 易知在上单调递增,故在上单调递增. 设,则.若,则,.在区间上有解. 在区间上有解,且,,在区间上有解,且在区间上恒成立..故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若，则下列等式正确的是() A. B. C. D. 解：由，可得，利用换底公式可得，A正确； 因为，且，所以，则，所以，B错误； 因为，所以，C错误； ，所以，D正确. 故选：AD. 10.设函数，若实数满足，且，则下列结论恒成立的是（ ） A. B. C. D. 解：画出函数图象，如图. 因为，且，， 所以.又，即. A因为，所以.故A正确. B因为，所以，由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，则.故B正确. C因为，所以.又，则.令，解得，即当时，，所以当时，有.故C错误. D因为，所以，由对勾函数的性质知，在上单调递减，则，且在上单调递减，所以.故D正确. 故选：ABD. 11.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则( ) A.当时， B.的单调递增区间为 C.若，则的取值范围是 D.方程的所有实数根之积为 解：对于A,当时,,则,又为偶函数,所以,故A正确; 对于B,函数的图象如图所示,的单调递增区间有3个,故B错误; 对于C,因为,所以只需对于任意,由图知,即,故C正确; 对于D,令,则,解得,即, 若,即,解得或; 若,即,解得, 所以方程所有实数根之积为,故D正确. 故选ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log189＝　　 ． 解：因为lg2＝a，lg3＝b，由对数运算性质可得，． 故答案为：． 13.已知函数f（x），x∈R （1）函数f（x）的单调增区间为　 　； （2）函数f（x）的最小值为　 　． 解：（1）因为底数2＞1，所以函数f（x）的增区间就是g（x）＝x2﹣2x的增区间， 又g（x）＝x2﹣2x是一元二次函数，开口向上，对称轴是x＝1，所以增区间是[1，+∞）； （2）因为底数2＞1，所以函数f（x）． 故答案为：（1）[1，+∞），（2）. 14.给出下列4个结论， ①函数y＝ax（a＞0，a≠1）与函数的定义域相同； ②函数y＝k•3x（k＞0）（k为常数）图像可由y＝3x的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于y轴对称； ④若幂函数y＝xα的图像关于原点成中心对称，则y＝xα是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为　 　．（填序号） 解：对于①，函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义域为R，要使函数有意义，则ax＞0，可得x∈R，则两函数的定义域相同，故①正确； 对于②，，当k＞1时，函数y＝k•3x（k＞0）（k为常数）图像可由y＝3x的图像向左平移log3k个单位得到，当0＜k≤1时，函数y＝k•3x（k＞0）（k为常数）图像可由y＝3x的图像向右平移|log3k|个单位得到，所以函数y＝k•3x（k＞0）（k为常数）图像可由y＝3x的图像平移得到，故②正确； 对于③，函数的定义域为{x|x≠0}，又因为，所以函数为奇函数，而函数y＝x为奇函数，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故③正确； 对④，如幂函数y＝x﹣1关于原点中心对称，但该幂函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，不满足是定义域上的严格增函数，故④错误． 故答案为：①②③． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算：（1）log25×log34×log527+log2（log216）. （2）. （3）. （4）. 解：（1）原式=log29×log34+2log510+log0.24＝4×log23×log32+log5100﹣log54＝4+log525＝4+2＝6. （2）原式＝. （3）原式. （4）原式1011. 16．（15分）（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围？ （2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围？ 解：（1）由函数的定义域为R， 则ax2+ax+1＞0在R上恒成立， 当a＝0时，1＞0恒成立，符合题意； 当a≠0时，有，解得0＜a＜4， 所以实数a的取值范围为[0，4）． （2）由函数的值域为R， 则y＝ax2+ax+1的值域必须包含（0，+∞）， 当a＝0时，y＝1，不符合题意； 当a≠0时，有，解得a≥4， 所以实数a的取值范围为[4，+∞）． 17．（15分）已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 解：（1）当a＝﹣1时，f（x），令g（x）＝﹣x2﹣4x+3， 由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减， 而y＝（）t在R上单调递减， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增， 即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）． （2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，y＝（）h（x），由于f（x）有最大值3， 所以 h（x）应有最小值﹣1，因此1，解得a＝1． 即当f（x）有最大值3时，a的值等于1． （3）由指数函数的性质知，要使y＝h（x）的值域为（0，+∞）． 应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，因此只能有a＝0． 因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．故a的取值范围是{0}． 18．（17分）已知函数f（x）＝logax（a＞1）在[a，2a]上的最大值与最小值之差为1． （1）求实数a的值； （2）求f（x2﹣x+1）的最小值； （3）求不等式f（4x﹣2x）≤2+log25×log53的解集． 解：（1）因为函数f（x）＝logax（a＞1）， 当a＞1时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增． 所以f（x）＝logax在区间[a，2a]上单调递增， 又因为函数f（x）在[a，2a]上的最大值与最小值之差为1， 所以loga（2a）﹣logaa＝loga2＝1，解得a＝2． （2）由（1）得f（x）＝log2x， 则． 因为对任意的x∈R，恒成立，当且仅当时，等号成立， 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以， 即f（x2﹣x+1）的最小值为log23﹣2． （3）由（1）知f（x）＝log2x，， 又因为， 所以f（4x﹣2x）≤2+log25×log53， 即，所以0＜4x﹣2x≤12， 令2x＝t，t＞0，则0＜4x﹣2x≤12，即0＜t2﹣t≤12， 解得t＞1；解得0＜t≤4． 所以0＜t2﹣t≤12，t＞0的解集为{t|1＜t≤4}，即1＜2x≤4，解得0＜x≤2， 所以不等式f（4x﹣2x）≤2+log25×log53的解集为{x|0＜x≤2}． 19．（17分）已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）． （1）当时，解不等式f（x）+log25＞0； （2）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由． 解：（1）∵，∴的定义域为（1，+∞）． 由， 化简得，解得，又x＞1， ∴所求不等式的解集为{x|1＜x＜3}． （2）对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，等价于f（x）max≤1， ∵， 设， 则t在[3m，4m]上是增函数，下面按照y＝logmt的单调性分类讨论： 当0＜m＜1时，f（x）在[3m，4m]上递减，则，解得， 当m＞1时，f（x）在[3m，4m]上递增，则，解得与m＞1矛盾，故舍去． 综上，实数m的取值范围为[，1）； （3）∵， ∴f（x）在（，+∞）上递减， ∴，即，即关于x方程（x﹣m）（x﹣2m）＝x在（，+∞）上有两个不等的实根，设h（x）＝（x﹣m）（x﹣2m）﹣x＝x2﹣（3m+1）x+2m2， 则，即⇒m∈∅． 综上，不存在这样的α，β满足条件． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $