4.5 函数的应用（函数与方程）检测卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5 函数的应用（函数与方程）检测卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第四章（2019）人教A版） 一、单选题 1．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 4．在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 5．已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 6．已知方程有一正根和一负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．当函数的图像与轴有交点时，实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 y 1.3 0.9 下列区间中函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数恰有两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解集为 C．不等式的解集为 D．的大小关系是 11．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（   ） A．精确到0.1的近似解为1.4 B．函数的零点在内 C．精确到0.1的近似解为1.5 D．函数的零点在内 三、填空题 12．函数的零点为 ． 13．函数f（x）＝2x－5的零点所在区间为[m，m＋1]（m∈N），则m＝ ． 14．函数的零点个数为 . 四、解答题 15．已知函数 （1）求该函数的定义域； （2）若该函数的零点为x=3，求a的值. 16．当取什么实数时，方程分别有： (1)两个正实数根； (2)一正根和一负根. 17．函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 18．已知. (1)若，求不等式的解集； (2)若方程的两根满足一根大于1，一根小于1，求的取值范围. 19．若函数在区间上的最大值为9，最小值为1. (1)求a，b的值； (2)若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围. 4.5 函数的应用（函数与方程）检测卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第四章（2019）人教A版） 一、单选题 1．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 答案：C 解析：由，得函数有2个零点．故选：C. 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：判断函数的单调性，再借助零点存在性定理判断作答. 解析：函数在R上单调递增，而，， 所以函数的零点所在区间为.故选：B 3．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 答案：B 分析：根据给定条件，求出函数的零点即可. 解析：当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7.故选：B 4．在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 答案：C 分析：利用二分法可得出结果. 解析：已知，则函数的零点的初始区间为， 又因为，且，所以零点在区间上， 又，所以所求近似值可以为.故选：C. 5．已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 答案：D 分析：根据函数的解析式计算得出的值，可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；数形结合可判断D选项. 解析：对于A选项，，故，A错； 对于B选项，当时，；当时，. 因此，函数的值域为，B错； 对于C选项，因为，，则，故函数在不是增函数，C错； 对于D选项，如下图所示： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 此时关于的方程有两个不相等的实数根， 故实数的取值范围是，D对. 故选：D. 6．已知方程有一正根和一负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：由题意列出不等式组，求解即可. 解析：因为方程有一正根和一负根， 所以，解得：，所以的取值范围是.故选：D. 7．当函数的图像与轴有交点时，实数的取值范围是 A． B． C． D． 答案：C 分析：函数的图象与轴有交点转化成函数有解，把问题转化为函数的值域问题． 解析：函数的图象与轴有交点，有解. ，，.故选C. 点睛：本题考查函数与方程思想在求解范围问题中的应用，通过参变分离，把问题转化为两个函数图象交点，转化为两个函数值域相同问题. 8．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据绝对值与二次函数的图像性质画图分析即可. 解析：由题, 因为，对称轴为， 故，在定义域内为增函数， 由图像可知，若存在实数，使得关于x的方程有三个不同的根, 则当时,的值大于的值， 因为，所以，解得，故B正确. 故选：B. 二、多选题 9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 y 1.3 0.9 下列区间中函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 答案：AC 分析：根据零点的存在性定理即可得出答案. 解析：因为函数的图象是一条连续不断的曲线，且， 函数在区间和上一定有零点。 故选：AC 10．已知函数恰有两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解集为 C．不等式的解集为 D．的大小关系是 答案：ABD 分析：对于A根据零点的定义即可得，对于B方程得到解出即可，对于C根据零点的定义有，所以不等式等价于，对于D画出的草图即可判断. 解析：对于A：因为是函数的两个零点，所以，故A正确； 对于B：方程或，所以方程的解集为，故B正确； 对于C：因为函数恰有两个零点，所以， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于D：先画的图像，把向下平移一个单位得的图像如下： 由图可知，故D正确.故选：ABD. 11．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（   ） A．精确到0.1的近似解为1.4 B．函数的零点在内 C．精确到0.1的近似解为1.5 D．函数的零点在内 答案：AB 解析：因为，所以零点在内，则B正确，D错误；又，且1.40625与1.4375精确到0.1的近似数都是1.4，则A正确，C错误． 三、填空题 12．函数的零点为 ． 答案： 分析：令，解方程即可求得结果. 解析：当时，令，解得； 当时，令，解得(舍去)， 所以函数存在零点，且零点为.故答案为：1. 13．函数f（x）＝2x－5的零点所在区间为[m，m＋1]（m∈N），则m＝ ． 答案：2 解析：因为f(2)＝22－5=-1<0，f(3)＝23－5=3>0, f(2) f(3)<0,且f(x)是增函数 所以函数f(x)＝2x－5在区间[2,3]上存在零点，所以m=2. 点评：零点存在性定理只能判断函数是否存在零点，而不能判断函数零点的个数．要想判断零点的个数，还需要判断函数的单调性． 14．函数的零点个数为 . 答案：2 分析：令，可得，可将函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题，进而画出函数的图象，可得出答案. 解析：令，可得， 所以函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题. 函数和的图象，如下图所示： 根据图象可得有两个交点，故原函数有两个零点. 故答案为：2. 点睛：本题考查求函数零点的个数（方程解的个数）问题.常用的方法： （1）直接解方程，求出方程的解的个数，也就是函数的零点个数； （2）作出函数的图象，其图象与轴交点的个数就是函数的零点的个数； （3）化函数零点个数问题为方程的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数的零点的个数. 四、解答题 15．已知函数 （1）求该函数的定义域； （2）若该函数的零点为x=3，求a的值. 分析：（1）要使函数有意义，则需，求解即可； （2）由该函数的零点为x=3，可得，求解即可得解. 解析：（1）要使函数有意义，则需，即，即该函数的定义域为； （2）由该函数的零点为x=3，即，即，故. 点睛：本题考查了函数定义域的求法，重点考查了函数的零点，属基础题. 16．当取什么实数时，方程分别有： (1)两个正实数根； (2)一正根和一负根. 分析：（1）根据题意，结合方程两个正根，结合判别式和韦达定理，列出不等式组，即可求解. （2）根据题意，方程一正一负根，结合判别式和两根之积，列出不等式组，即可求解. 解析：（1）解：若方程有两个正实数根，设为， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （2）解：若方程有一正一负根，设为， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 17．函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 分析：（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可； （2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域； （3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围. 解析：（1）由解析式得图象如下， （2） 由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减， 且，，，， 综上，在上值域为. （3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点，所以. 18．已知. (1)若，求不等式的解集； (2)若方程的两根满足一根大于1，一根小于1，求的取值范围. 分析：（1）由题意条件可求得，从而解二次不等式即可得解； （2）利用二次方程根的分布与二次函数的图像性质即可得解. 解析：（1）因为，， 所以，即，则 故可化为，即，解得或， 故不等式的解集为. （2）因为方程的两根满足一根大于1，一根小于1， 又开口向上，所以，求得， 故的取值范围为. 19．若函数在区间上的最大值为9，最小值为1. (1)求a，b的值； (2)若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围. 分析：（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出； （2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出. 解析：（1）令，则， 则题目等价于在的最大值为9，最小值为1， 对称轴，开口向上， 则，解得； （2）令，则，于是方程可变为，即， 因为函数在单调递减，在单调递增， 且， 要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$