15.3.2 等边三角形 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦等边三角形的性质与判定、含30°角直角三角形性质及最短路径问题，构建从概念性质到判定应用，再到特殊三角形性质与几何实践的学习支架，衔接紧密。 资料通过分层训练、典例与变式解析及实际问题（如造桥选址）设计，培养几何直观与推理能力，助力学生用数学语言解决实际问题，课中提升教学效率，课后辅助查漏补缺。

15.3.2等边三角形 学习目标导航 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等边三角形。 3. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。 洞悉◆教材知识 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理：①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 知识点04 最短路径的基本原理 3. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短 ②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。 知识点04 利用轴对称解决最短路径问题 （常见类型） 问题 在直线上求点，使值最小． 在直线上求一点，使值最小． 在直线、上分别求点、，使的周长最小． 在直线、上分别求点，使四边形的周长最小． 作法 连接，与交点即为． 作关于的对称点，连接，与交点即为． 分别作点关于两直线的对称点和，连接，与两直线交点即为． 分别作点关于直线、的对称点和，连接，与两直线交点即为、． 图示 知识点05 利用平移解决造桥选址问题 2. 造桥选址问题： 问题 如图，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。 作法 如图，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点 核心题型◆归纳 题型01 利用等边三角形的性质求线段 题型02 利用等边三角形的性质求角 题型03 等边三角形与平行线 题型04 等边三角形的判定 题型05 含30°角的直角三角形的性质的应用 题型06 最短路径的基本作图 题型07 与最短路径有关的计算 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用等边三角形的性质求线段 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝6，则△ADE的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【变式1】如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　） A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm 题型02 利用等边三角形的性质求角 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1】如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 题型03 等边三角形与平行线 【典例1】如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为∠1＝29°，则∠2的度数为（　　） A．29° B．41° C．31° D．30° 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　） A．142° B．128° C．98° D．92° 题型04 等边三角形的判定 【典例1】下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【变式1】已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型05 含30°角的直角三角形的性质的应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 题型06 最短路径的基本作图 【典例1】如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型07 与最短路径有关的计算 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，S△ABC＝36，直线EF垂直平分线段AC，若点D为边BC的中点，M为直线EF上一动点，则△MCD的周长的最小值为（　　） A．15 B．14 C．13 D．12 【变式1】如图，已知∠AOB＝30°，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE的周长最小值等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 ABC分层训练 1．如图，在等边中，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 3．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 4．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是角平分线，，，垂足分别为、．若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 7．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数为___________． 9．如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为_______． 10．如图，在点A处有，两条路，甲、乙两车同时从点A出发，甲车沿南偏西方向行驶至点C，乙车沿正西方向行驶至点B．经测量，点C位于点B的南偏东方向上，若米，则点C到公路的距离为______米． 11．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．若，则的长为_____． 12．如图，和均为等边三角形，连接、交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 13．已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 15．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．如图，等腰三角形纸片中，，，点H为边上的垂足．小花放入一张等边三角形纸片，E在上，F为与的交点，小都又放一张等边三角形纸片，G在上．小花和小都量得，，那么等腰三角形纸片的底边长应为（　　） A．8 B．10 C．11 D．13 18．如图，中，，，点在边上，且．若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 19．如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是________． 20．如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为_____． 21．如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则___________． 22．如图，已知等边三角形是直线上一点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)如图①，当点D在边上时，求证：． (2)在（1）的条件下，猜想之间的位置关系，并说明理由． (3)如图②，当点D在边的延长线上时，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 23．如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 24．如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2等边三角形 学习目标导航 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等边三角形。 3. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。 洞悉◆教材知识 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理：①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 知识点04 最短路径的基本原理 3. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短 ②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。 知识点04 利用轴对称解决最短路径问题 （常见类型） 问题 在直线上求点，使值最小． 在直线上求一点，使值最小． 在直线、上分别求点、，使的周长最小． 在直线、上分别求点，使四边形的周长最小． 作法 连接，与交点即为． 作关于的对称点，连接，与交点即为． 分别作点关于两直线的对称点和，连接，与两直线交点即为． 分别作点关于直线、的对称点和，连接，与两直线交点即为、． 图示 知识点05 利用平移解决造桥选址问题 2. 造桥选址问题： 问题 如图，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。 作法 如图，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点 核心题型◆归纳 题型01 利用等边三角形的性质求线段 题型02 利用等边三角形的性质求角 题型03 等边三角形与平行线 题型04 等边三角形的判定 题型05 含30°角的直角三角形的性质的应用 题型06 最短路径的基本作图 题型07 与最短路径有关的计算 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用等边三角形的性质求线段 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝6，则△ADE的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝∠A＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∵AD＝6， ∴△ADE的周长为6×3＝18， 故选：B． 【变式1】如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　） A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm 【答案】C 【解答】解：∵平移距离是4个单位， ∴AA′＝BB′＝4， ∵等边△ABC的边长为5， ∴B′C′＝BC＝5， ∴BC′＝BB′+B′C′＝4+5＝9， ∵四边形ABC′A′的周长＝4+5+9+5＝23（cm）． 故选：C． 题型02 利用等边三角形的性质求角 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°， 故选：B． 【变式1】如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵△APQ为等边三角形， ∴PQ＝AP＝AQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°， ∵PB＝QC＝PQ， ∴BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ， ∵∠B+∠BAP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP， ∴∠BAP＝∠QAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°． 故选：A． 题型03 等边三角形与平行线 【典例1】如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为∠1＝29°，则∠2的度数为（　　） A．29° B．41° C．31° D．30° 【答案】C 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵直线l∥m∥n，∠1＝29°， ∴∠DCB＝∠1＝29°，∠2＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝60°﹣29°＝31°， ∴∠2＝∠ACD＝31°． 故选：C． 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　） A．142° B．128° C．98° D．92° 【答案】C 【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示： ∵∠1＝38°， ∴∠ADE＝∠1＝38°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠AEF为△ADE的一个外角， ∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠AEF＝98°． 故选：C． 题型04 等边三角形的判定 【典例1】下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【答案】D 【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解答】解：∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0， 又∵|a﹣b|≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：A． 题型05 含30°角的直角三角形的性质的应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EF＝1， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， ∴AF＝2EF，BF＝2DF， ∵AF＝DF， ∴AF＝2EF＝2×1＝2＝DF， ∴BF＝2DF＝2×2＝4， ∴BE＝BF+EF＝4+1＝5， 故选：C． 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AFAD，CECF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝1， ∴AF，CF，CE， ∴BE＝BC﹣CE＝2， 故选：C． 题型06 最短路径的基本作图 【典例1】如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作A点关于直线l的对称点A'，连接BA'交l于点P， 由对称性可知，AP＝A'P， ∴AP+BP＝A'P+BP≥A'B， 当A'、P、B三点共线时，AP+BP的距离最短， 故选：B． 【变式1】有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据轴对称确定最短路线问题，D选项图形符合． 故选：D． 题型07 与最短路径有关的计算 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，S△ABC＝36，直线EF垂直平分线段AC，若点D为边BC的中点，M为直线EF上一动点，则△MCD的周长的最小值为（　　） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【解答】解：如图，连接AD，与EF的交点为M， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴点A与点C关于EF对称． 则此时点M为使△CDM周长最小时的位置． ∵△ABC是等腰三角形，且点D是底边BC上的中点，BC＝8， ∴AD⊥BC ， ∵BC＝8，S△ABC＝36， ∴， ∵直线EF垂直平分线段AC， ∴MC＝MA， ∴△MCD的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝9+4＝13， 故选：C． 【变式1】如图，已知∠AOB＝30°，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE的周长最小值等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【解答】解：作点C关于OA、OB的对称点，分别作点C关于OA的对称点C1，关于OB的对称点C2，连接C1C2，OC2，OC1， ∴CD＝C1D，CE＝C2E， 此时△CDE的周长＝CD+DE+CE＝C1D+DE+C2E＝C1C2； 即当D、E为上述所作的交点时，△CDE的周长取得最小值，最小值为C1C2的长度， ∵点C与C1关于OA对称，点C与C2关于OB对称， ∴OA是CC1的垂直平分线，OB是CC2的垂直平分线； ∴∠C1OA＝∠AOC，∠C2OB＝∠BOC， ∵∠AOB＝30°， ∴∠C1OC2＝2∠AOB＝2×30°＝60°； ∴OC1＝OC＝OC2＝3， 在△C1OC2中，OC1＝OC2＝3，∠C1OC2＝60°， ∴△C1OC2是等边三角形； ∴C1C2＝OC1＝OC2＝3， 即△CDE周长的最小值为3； 故选：A． ABC分层训练 1．如图，在等边中，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的定义和性质，由等边三角形的性质得出，由三角形外角的定义和性质可求出． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：A 2．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 3．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定条件，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法． 根据各选项结合等边三角形的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 有两个角是的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； B. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项不符合题意； C. 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该选项符合题意； D. 三边都相等的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，同理即可求出． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：D． 5．如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，则可证明得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，，是角平分线，，，垂足分别为、．若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 先根据角平分线的性质得到，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解． 【详解】解：是角平分线，，， ， 在中，， ． 故选：D． 7．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数为___________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，根据等腰直角三角形的性质得，结合图形计算即可． 【详解】解：AD是等边三角形ABC的角平分线， ． 以AD为斜边作等腰直角三角形ADE， ， ． 故答案为：． 9．如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为_______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 10．如图，在点A处有，两条路，甲、乙两车同时从点A出发，甲车沿南偏西方向行驶至点C，乙车沿正西方向行驶至点B．经测量，点C位于点B的南偏东方向上，若米，则点C到公路的距离为______米． 【答案】150 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了三角形内角和定理、等角对等边、直角三角形的性质，过点作于，则，由三角形内角和定理计算可得，由等角对等边可得米，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ， 则， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴米， ∴米， 即点C到公路的距离为150米， 故答案为：150． 11．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，利用线段垂直平分线的性质得，进而由等腰三角形的性质得，再利用外角的性质得，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，和均为等边三角形，连接、交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明； （2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形， ， ， ， ． 13．已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作，先由平行线的性质得到，再判定，由平行线的性质得到，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】解：∵等边， ∴， 作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质及中点的定义得，，再根据直角三角形两锐角互余得，最后根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 15．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ，， ∴，， ． 故选：A． 16．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 17．如图，等腰三角形纸片中，，，点H为边上的垂足．小花放入一张等边三角形纸片，E在上，F为与的交点，小都又放一张等边三角形纸片，G在上．小花和小都量得，，那么等腰三角形纸片的底边长应为（　　） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【知识点】三线合一、等边三角形的性质 【分析】此题考查等腰三角形的性质，以及等边三角形的性质．由三线合一得，，再计算出，最后计算出的长即得答案． 【详解】解：∵，是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 18．如图，中，，，点在边上，且．若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形，含的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，作辅助线，是解题的关键． 过点A作于点E，设，根据三线合一可得，然后根据，得到，得到求得，得到． 【详解】解：过点A作于点E，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 19．如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．利用垂线段最短分析可知：与重合时为3，根据含角的直角三角形的性质得出，结合点P不与点C，B重合，由此可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3， ∵在中，，，， ∴， ∵点P不与点C，B重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 20．如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为_____． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据和都是等边三角形，证明，，得到，根据解答即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：3． 21．如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则___________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是添加辅助线，能洞察到特殊角在求边长中的用法． 延长交于点，延长交于点，可得是等边三角形，，进而知，然后可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，已知等边三角形是直线上一点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)如图①，当点D在边上时，求证：． (2)在（1）的条件下，猜想之间的位置关系，并说明理由． (3)如图②，当点D在边的延长线上时，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)仍然成立，证明见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （3）同样的方法，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴． （3）解：仍然成立，证明如下： ∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证．得，，再由三角形的外角性质得即可； （2）证是等边三角形，得，，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分． 24．如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $