15.3.2等边三角形讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦等边三角形核心知识点，系统梳理其定义（特殊等腰三角形）、性质（边相等、角均60°、三组三线合一、3条对称轴、四心合一）、判定（三边相等、三角相等、等腰+60°角）及含30°角直角三角形性质，承接等腰三角形知识，构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于知识脉络清晰，突出与等腰三角形的联系及重点性质，例题设计典型（如平行线证等边培养几何直观，判定综合题发展推理能力）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过知识框架与例题回顾强化理解，查漏补缺。

人教版八上 · 15.3.2 等边三角形 讲义 15.3.2 等边三角形 讲义 一、知识梳理 1. 定义 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此具有等腰三角形的一切性质。 2. 性质 性质① 边相等 三条边都相等：AB = BC = CA。 性质② 角相等 三个内角都相等，且每个角都等于 60°。 ∠A = ∠B = ∠C = 60° 性质③ 三线合一（重点） 每条边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合，即“三线合一”。 等边三角形有 三组 三线合一，这是它区别于一般等腰三角形（仅 1 组）的重要特征。 【注意】在△ABC中，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC且BD=CD；反之亦然。三线合一常用于证明线段相等或垂直。 性质④ 对称性 等边三角形是轴对称图形，有 3 条 对称轴，分别是三边上的中线（或高线、角平分线）所在直线。 同时，它绕中心旋转 120°、240° 都能与自身重合，因此也是旋转对称图形。 性质⑤ 四心合一 重心、内心、外心、垂心 四心重合于一点，称为等边三角形的中心。 3. 判定 判定①（定义法）：三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定②（角判定）：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定③（等腰+60°）：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【注意】判定③最常用。做题时优先判定“等腰”，再找一个 60° 角即可证等边。 判定方法汇总 方法 条件 说明 定义法 三边相等 AB=BC=CA 角判定 三角相等 ∠A=∠B=∠C=60° 等腰+60° 等腰且有一角=60° 顶角或底角为60°均可 4. 含 30° 角的直角三角形性质（重点） 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在 Rt△ABC 中，∠A=30° ⇒ BC = ½ AB 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。 【注意】该性质只在直角三角形中成立，不能用于一般三角形。证明常借助等边三角形：将Rt△沿长直角边翻折，拼成等边三角形。 二、典型例题精讲 例题1 利用平行线证明等边三角形 （教材P82例4）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：△ADE是等边三角形。 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°。 ∵ DE ∥ BC， ∴ ∠ADE = ∠B = 60°，∠AED = ∠C = 60°（两直线平行，同位角相等）。 ∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED = 60°， ∴ △ADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。 【注意】关键：利用平行线转移角，得到三个60°角。 例题2 含30°角直角三角形——求边长 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8。求 BC 和 AC 的长。 解： ∵ ∠B = 30°，∠C = 90°， ∴ ∠A = 60°。 由含30°角直角三角形性质：AC = ½ AB = ½ × 8 = 4。 由勾股定理：BC = √(AB² − AC²) = √(64 − 16) = √48 = 4√3。 答：BC = 4√3，AC = 4。 【注意】记住结论：含30°的直角三角形中，三边之比为 1 : √3 : 2（短直角边 : 长直角边 : 斜边）。 例题3 三线合一与角度计算 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，BD=BF。求∠CDF的度数。 分析：利用等边三角形每个角60°、角平分线得30°、等腰三角形性质求角。 解： ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC = 60°。 ∵ BD 平分 ∠ABC，∴ ∠DBC = 30°。 在△BDC中，∠C=60°，∠DBC=30°，∴ ∠BDC = 90°。 ∵ BD = BF，∴ ∠BDF = ∠BFD。 在△BDF中，∠DBF=30°，∴ ∠BDF = (180°−30°)÷2 = 75°。 ∴ ∠CDF = ∠BDC − ∠BDF = 90° − 75° = 15°。 答：∠CDF = 15°。 例题4 等边三角形判定综合 已知△ABC中，AB=AC，∠A=60°。求证：△ABC是等边三角形。 证明： ∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C（等边对等角）。 ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，且 ∠A = 60°， ∴ ∠B + ∠C = 120°，∴ ∠B = ∠C = 60°。 ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°， ∴ △ABC 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。 【注意】这是判定③的核心证明：等腰三角形 + 一个60°角 → 等边。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $