黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

龙东十校联盟高二学年月考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 0 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：直线和圆的方程，椭圆。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.椭圆2x2+3y2=12的短轴长为 A.2 B.4 C.√2 D.2√2 T 2.圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x十1)2+(y一1)2=1的位置关系是 A外离 B.外切 C.相交 D.内切 3.设直线l:3x+2y一1=0的倾斜角为a,则 A B<a< c<a<晋 封 4.一束光线从点M(7,2)处射出，经过y轴反射后经过点N(1,一3)，则入射光线所在直线的方程为 A.5x-8y-19=0 B.5x+8y+19=0 C.8x-5y-46=0 D.8x+5y+7=0 5.已知直线l经过点(-3，一2)，l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，且1不经过原点， 则L在x轴上的截距为 A.-2 B.-4 C.2 D.4 6已知m>1椭圆E十2之1，E千字1，四 A.E1比E2更扁平 B.E2比E1更扁平 线 C.E1与E2的扁平程度相同 D.E1与E2的扁平程度与m有关 7.曲线y=√一x2-4x+5的长度为 A.2π B.3π C.4π D.6π 8.在水平地面上，两根高为6m的竖杆AB,CD相距8m,将一条20 A 长的绳子两端系在竖杆的顶端A,C上（绳子消耗长度忽略不 计)，并按如图所示的方式绷紧，设P是绳子与水平地面的接触点， 且P,B,D三点在同一条水平线上，则P到两根竖杆的距离之和为 B A.206 ,7m B(4+207)m C407 7 m D(8+20)m 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a十b>0,则直线l:ax一y十b=0的图象可能是 D 设F,F2分别是椭圆E:。十义I0<m<9)的左、右焦点，P是E上一点，且P亚 m PF2,PF1I=2PF2|,则下列结论正确的是 A.m=5 B.△PF1F2的面积为4 C若P职，与y省交于点Q则0-号 D.若P是第一象限内一点，0是坐标原点，则直线OP的斜率为号 11.已知ab≠0，直线l:ax十ay=ab,圆C:(x十a)2+(y-b)2=a,则 A.存在无数个b,使得1与C相切 B.有且仅有2个a,使得l与C相切 C.当l与C相交时，l截C的弦长与b无关 D.当l与C相交时，l截C的弦长的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆C:x2+y2一2x十m=0的半径为2，则m=▲ 13.设点A(一2,1)，B(3,4),若直线y=x一1与线段AB恒有公共点，则的取值范围为 14.若A(x1y1),B(x2,y2),则定义它们之间的“曼哈顿距离”为|AB|=|x1一x2|十|y1一y2. 已知P是梢圆C号+y=1上的点，0为坐标原点，则1OP1的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4； (2)经过A(√2,2)，B(W3,√2)两点. 【高二数学第2页（共4页）】 16.(15分) 已知直线l1:(2a+1)x-(a+1)y-a=0,l2:x-2y-1=0,l3:3x+y-4=0. (1)若l1∥儿2，求a的值； (2)当l1与l3不重合时，证明：无论a取何值，l1与l3都相交. 17.(15分) 设O为坐标原点，点A(3,0),动点P满足|AP|=2|OP|,记P的运动轨迹为曲线E. (1)求E的方程. (2)已知直线l:x十y十6=0. (ⅰ)判断1与E的位置关系，并说明理由； (ⅱ)设M是直线L上的动点，过M作E的切线，切点为N,求|MN|的取值范围. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 设O为坐标原点，圆M过A(a一1,1)，B(1,a),C(2a-2,a-1)三点. (1)当a=2时，求圆M的方程； (2)若O在圆M的内部，求a的取值范围； (3)过O且斜率为a的直线l与圆M交于P,Q两点，求|PQ|的最大值. 19.(17分) 已知周E后+若=1a>6>0的腐心率为厚P(6,号)是E上的点 (1)求E的方程 (②)记O为坐标原点，点A停，号)M,N是E上两个不重合的动点， (ⅰ)若A为线段MN的中点，求直线MN的方程； (i)若A既在线段MN上，也在∠MON的角平分线上，求△OMN的面积. 【高二数学第4页（共4页）】龙东十校联盟高二学年月考 数学参考答案 1.B将椭圆的方程化为若+号-1，侧该椭圆的知轴长为1 2.CC1的圆心为C1(0,0),半径为2，C2的圆心为C2(一1,1)，半径为1.因为|C1C2|=√2， 2-1<√2<2+1，所以C1与C2相交. 8.D将1的方程转化为y=-号x十分，可得1的斜率及=m。=一是因为一5<-是< -1,所以g<a< .2-(-3)_5 星A设N(1,一3)关于y轴对称的点为N(-1,一3)，则w-7-)=8,MN的方程 为y一2=日（红一7），整理得5x一8y一19=0，故人射光线所在直线的方程为5x一8y-19 5 =0. B由题可设1的方程为后十六=1，将(-3，-2》代人方程，可得。+2是-1，得a=-4, a 故l在x轴上的截距为一4. 6.A设E1,E,的离心率分别为e1,e.因为m>1,所以m2+2>2,4m>4,则e好=m 2+2=1 2 十23c2=4m-412因为m2+2-2m=(m-D2+1>0,所以m2+2>2m, >e,故E1比E2更扁平. 7.B由y=√一x2-4x+5,得(x+2)2+y2=9(y≥0)，这表示以（一2,0）为圆心，3为半径的 圆在x轴上方的半圆弧，故曲线y=√一x2一4x+5的长度为3元. 8.C以AC所在直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（图略），则 A(-4,0),C(4,0),PA|+|PC|=20>|AC引=8，所以P是以A,C为焦点，长轴长为20 的椭圆上的点，该椭圆的方程为品+-1,5（一4，一6），将y=一6代入桃圆方程，可得一 ”,则P(-20,-6),所以P到两根竖杆的距离之和为一4+20+4+20y9_0y 7 7m. 9.ACD将l的方程转化为y=ax十b,由选项B可知，a<0,b<0,不符合a十b>0,其余选项 均符合a十b>0. 10.BCD因为0<m<9,所以|PF|+|PF2|=6.又PF1⊥PF2, |PF1I=2|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,|FF2|= √PF12+PF2=25,则v9-m=√5，得m=4,△PF1F2 的面积S=2PF,PF,=4,A不正确，B正确.如图，由题可 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 PF 知△PF,F2∽△OF1Q,则OF= g则正QLF,O125xw5-5 PF 4 2 3 |PQ|3 IPQ=|PF1-FQ=2,则F,过号C正确.设P()(x>0,>0,因为 1OP1-多F,F15,所以<+=5.又号+号-1，所以可得号-号i-9,则直线 4 OP的斜率&=。-台D正确， 11.AC由ab≠0，C为圆，可得a>0,则l的方程可化为x十y=b,C的圆心为（一a,b),半径 为石，圆心到1的距离d=二a产-b-会当1与C相切时号石，解得a=2,此时 √2 √2 任意的b≠0均满足条件，故存在无数个b,使得1与C相切，有且只有1个a,使得1与C相 a2 切，A正确，B不正确.当1与C相交时，号<a,得0<a<2,l截C的弦长为2，√Q一2，与 6无关.C正确因为-号+a=- a-1+合<分，当且仅当a=1时，等号成立，则1裁 C的弦长的最大值为√2，D不正确. 12.一3将C的方程转化为(x一1)2十y2=1一m,因为C的半径为2，所以1一m=4,得m= 一3 1a.-,-1nu[3+) 由题可知，直线y=kx一1经过定点 -1-1 P(0,-1),且kpa= 0-(-2) =-1,kpB=- 吉-号因为直线 y=kx一1与线段AB恒有公共点，所以k的取值范围为（一∞， -11u[号，+o, 14.√3设P(xo,yo).若P是C的顶点，则OP|川=1或√2.若P不是C的顶点，根据对称 性，不妨设P是第一象限点，则|OP||=|xo|+|yo|=xo十yo,令xo十yo=d,可知P是 x2 直线14x十y一d=0上的点，由2+)-1可得3x2-4dz+2a-2=0,则 x+y=d, (△=16d2-12(2d2-2)≥>0， 得1<d≤3，从而|IOPI的最大值为√3. 2d2>0, 3 15.解：(1)因为椭圆的焦点在z轴上，所以可设椭圆的方程为2+2=1(a>b>0).…1分 2a=6, 又椭圆的长轴长为6，焦距为4，所以 …3分 a2-b2=4, 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 a=3, 解得 5分 b=√5. 故椭圆的标准方程为 9十5=1. 6分 (2)设椭圆的方程为之+上 =1(m>0,n>0且m≠n）,… 8分 m n (2+4 1 m n 则 10分 3+2 二1， m n m=4, 解得 …12分 n=8, 故精圆的标在方程为+苦-1 …13分 16.(1)解：因为l1儿2，所以-2(2a十1)+(a+1)=0,…3分 解得a=一 1 3 …5分 经检验，当a=-3时，l1:x一2y十1=0与l2平行，故a= 6分 (2)证明：将l1的方程转化为(2x一y一1)a十x一y=0, …7分 ∫2x-y-1=0, 令 …9分 x-y=0, x=1, 得 11分 y=1, 则11经过定点P(1,1). 12分 因为P(1,1)在l3上，且l1与l3不重合，…14分 所以无论a取何值，L1与L3都相交.…15分 17.解：(1)设P(x,y).由AP|=21OP|,得√(x-3)2+y2=2√x2+y, …3分 整理得(x十1)2十y2=4,故E的方程为(x十1)2十y2=4.…5分 (2)(1)由(1)可知，E是圆心为（一1,0），半径为2的圆.………7分 圆心到1的距离d=一1+0+61_52 >2,…9分 W12+12 21 所以与E相离。…10分 52 ()由(1)可知，圆心与M之间距离的最小值为2， …11分 则IMN≥ (-4- 5…600…4…0…14分 故MN的取值范围为[ 15分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 18.解：(1)当a=2时，A(1,1),B(1,2),C(2,1), 易得AB⊥AC,则BC为圆M的直径， 1分 则圆M的圆心为BC的中点(2,2)， 33 2分 半径为BC-2-1)2+1-2)V2 2 2, 3分 则圆M的方程为(x-》'+(-)=2 …4分 (2)由题可得AB=(2-a,a-1),AC=(a-1,a-2), 5分 则AB.AC=(2-a)(a-1)+(a-1)(a-2)=0,则AB⊥AC,…6分 故5C为圆M的直径，则圆M的圆心为C的中点(2.1,22) …7分 半径为BC-√2a-32+=V4a2-12a+10 2 2 8分 0到圆心M的距离为V2(2a-1 -,由O在圆M的内部，得2(2a-1)2<4a2-12a+10, 2 …9分 解得一2<a<1,则a的取值范围为（一2,1）.… 10分 (3)由题可知L的方程为)y=ax,则圆心M到L的距离d=K2a-1)a-1),由d<BC, 2Wa2+1 2 可得a≠3， ..0 …11分 1PQ1=2BC-4-√4a2-12a+10-L2a-aJ (a-3)2 。。。 a2+1 a2+1· …13分 令t=a-3,t≠0，则a3)2 1 1 a2+1t2+6t+10 10, …16分 当且仅当元 1三，即a=时，PQ取得最大值0，……7分 19.解：(1)由题可得 1分 wa2-b2_√42 解得a2=7,b2=1, 3分 故E的方程为号+y=1. …4分 (2)设M(x1,y1),N(x2y2). (1)因为A为线段MN的中点，所以x1十x2=y1十y2= 2√7 3 …5分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 十y= 由 得i,+-g2w7+27) 7 21 3 …6分 7+=1 则=一1 …7分 x1-x2 则直线MN的方程为y亨-号(。-停).即3x十2y87=-0…8 分 (i)直线OA的方程为y=x,因为A在∠MON的角平分线上，所以直线OM,ON关于 OA对称.…… 9分 点M(x1,y)关于直线y=x的对称点为M'(y1,x),则直线OM'的方程为x1x-y1y=0. 因为N(x2,y2)在OM'上，所以x1x2=y1y2.…10分 若直线MN的斜率不存在，由A在线段MN上，得x=-,代入E的方程，得。 6,则yy2≠x1x2,不符合题意，…11分 若直线MN的斜率存在，可设直线MN的方程为y=k缸x十m,则m= 31-. 1z2 由7+=1得(7+1Dx2+14mx十7m2-7=0, y=kx十m, 14km 7m2-7 则x1十x2=一76+1，x1x27k2+1 …12分 由x1x2=y1y2,得x1x2=(kx1十m)(kx2十m)=k2c1x2十km(x1十x2)+m2, 整理得71-6)-6m=0.又m-号（1-6).所以(1-)1十5)=0，得k=1或k= 1 5 …13分 当=1时，M,O,N三点共线，不符合题意. 14分 当=吉时m-2的方餐为2十5y-27-0 IMN|=1+2e,+)-4x1g= 8, 15分 0到直线MN的距离d=-27一2☑ …16分 √/1+25 √26 烟△OMN的面积为号MNd=名x爬×2识-子 81 w√26 81 17分 回透回 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】