黑龙江省佳木斯市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

佳一中2026-2027学年度高二上学期第一次月考 数学试题 时间:120分钟 总分:150分 一、单选题(共8道题，每题5分，满分40分) 1．直线的倾斜角为，则=（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A． B．3 C．2 D．1 二.多选题(共3道题，每题6分，满分18分) 9．下列说法正确的是（　　） A．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B．已知事件A，B相互独立， C．1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是12 D．数据的方差为32，则数据的方差为64 10．已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 11．已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到点的距离最大值为 C．曲线围成图形的面积为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 三.填空题(共3道题，每题5分，满分15分) 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为__________ 13．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 14．已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则y0的取值范围是___________. 四.解答题(共5道题，满分77分) 15．(13分)已知圆：和圆： (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程． 16．(15分)已知直线l：和圆C：， (1)直线l与圆C相切时，求m的值； (2)直线l与圆C相交于A，B两点，若弦，求m的值； (3)当时，P为直线l上的动点，过P作圆C的切线，切点为T，求的最小值； 17．(15分)某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数(精确到0.01); (2)现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ （ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． 18．(17分)已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程； (3)若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值. 19．(17分)如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《佳一中2026-2027学年度高二上学期第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A B C C B AB AC 题号 11 答案 AD 1．A 2．D 【分析】先求得，再求模即可. 【详解】复数z满足，则， 所以. 3．B 【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可. 【详解】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5. 故选：B 4．A 【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可. 【详解】解：若，则或，所以A选项错误； 若，则，所以B选项正确； 若，则，所以C选项正确； 若，由线面平行的性质可得，所以D选项正确. 故选：A 5．B 6．C 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 7．C 【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 8．B 9．AB 10．AC 【分析】对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值. 【详解】对于A选项，由得， 则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确； 对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误； 对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可得， 则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增， 所以，因此没有最大值，故D选项错误. 11．AD 【分析】用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD. 【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即， 则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确； 当时，，即，是以为圆心， 2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，， 即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分， 对于C，曲线在直线及上方的半圆面积为，C错误； 对于B，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为 ，B错误； 对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的， 观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大， 设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确. 故选：AD 12． 13． 14． 15．(1)或 (2)． 【分析】（1）分切线斜率存在以及不存在讨论，结合点到直线的结论公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，结合椭圆的定义可知动圆M的圆心的轨迹为椭圆，求出，即可得到结果. 【详解】（1）圆心为，半径为， 当切线斜率不存在时，显然满足要求； 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为， 即：， 所以圆心到切线的距离等于半径2，即：， 则切线方程为，化简可得； 所以切线方程为：或 （2），，设，动圆的半径为， 所以， 所以M点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 所以，，，所以轨迹方程为． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径计算； （2）利用弦长求出圆心到直线的距离即可计算； （3）求出圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算. 【详解】（1）因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，得； （2）因为，所以圆心到直线的距离等于， 即，得； （3）当时，圆心到直线的距离等于， 则， 故的最小值为. 17．(1)，中位数为 （或 ）； (2)（i）平均数 ，方差 （或 ）；（ii）． 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1 求出 ，再根据中位数左右两侧面积相等求解即可； （2）（i）先根据分层抽样确定第七、八组抽取的人数，再利用分层抽样平均数和方差公式计算即可；（ii）利用古典概型概率公式求解． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为 10． 因为所有小矩形的面积之和为 1， 所以，解得 ． 前四组的频率之和为 ， 前五组的频率之和为 ， 所以中位数位于第五组内． 设中位数为 ，则 ， 解得． 故估计该中学高二年级学生成绩的中位数为 ． （2）第七组 的频率为，人数为 ； 第八组 的频率为 ，人数为 ． 按分层抽样方法抽取 5 名学生，则从第七组抽取人数为： ，从第八组抽取 人数为： ． （i）设第七组抽取的 3 名学生得分为，第八组抽取的 2 名学生得分为． 由题意知，，方差，，方差. 这 5 人得分的平均数： 这 5 人得分的方差 ． 且 故 所以， 同理则 ， 故. （ii）记第七组抽取的 3 名学生为 （成绩低于 130 分），第八组抽取的 2 名学生为（成绩不低于 130 分）． 从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，所有可能的情况有：，共 10 种． 其中恰有 1 名成绩不低于 130 分的情况有： (共 6 种． 故所求概率 18．(1) (2)或. (3). 【分析】（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）根据直线过圆心且斜率存在写出直线方程，求出在坐标轴上截距，根据截距相等求解即可； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值． 【详解】（1）由题意知，圆心在直线上，故设圆心为， 因为点在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径，即圆的标准方程为. （2）由题意知，直线斜率存在且圆心，设直线的方程为，令，解得，令，解得， 因为直线过圆心且在轴，轴上截距相等，所以，解得 当时，直线，此时轴，轴上截距为0，符合题意； 当时，直线，此时轴，轴上截距为2，符合题意. 综上，直线的方程为或. （3）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 又直线的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，整理可得， 由，得，即， 解得或， 因为，所以，则，故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 19．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $