精品解析：黑龙江省佳木斯市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

佳一中2026-2027学年度高二上学期第一次月考 数学试题 时间:120分钟 总分:150分 一、单选题(共8道题，每题5分，满分40分) 1. 直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率得倾斜角的正切，再利用同角间的三角函数关系求得正弦值． 【详解】由题意，又，所以， 从而，，而， 所以， 故选：A． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，再求模即可. 【详解】复数z满足，则， 所以. 3. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（ ） A. 7 B. 7或5 C. 10 D. 10或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可. 【详解】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5. 故选：B 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可. 【详解】解：若，则或，所以A选项错误； 若，则，所以B选项正确； 若，则，所以C选项正确； 若，由线面平行的性质可得，所以D选项正确. 故选：A 5. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量，满足，，，则， 即，可得， 故，则向量与的夹角为. 6. 已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 7. 已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 8. 已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（     ） A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 二.多选题(共3道题，每题6分，满分18分) 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 已知事件A，B相互独立， C. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12 D. 数据的方差为32，则数据的方差为64 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的定义判断即可；对于B，由独立事件的公式求解；对于C，由上四位数的定义求解；对于D，根据方差的性质可判断. 【详解】对于A，从中任选2名同学参加演讲比赛， 有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况， 而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”， 所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确； 对于B，已知事件A，B相互独立，则，故B正确； 对于C，由，则上四分位数是，故C错误； 对于D，根据方差的性质可知，数据的方差为，故D错误． 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值. 【详解】对于A选项，由得， 则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确； 对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误； 对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可得， 则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增， 所以，因此没有最大值，故D选项错误. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线上的点到点的距离最大值为 D. 若点是曲线上的点，则的最大值为1 【答案】AD 【解析】 【分析】用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD. 【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即， 则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确； 当时，，即，是以为圆心， 2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，， 即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分， 对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误； 对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为 ，C错误； 对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的， 观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大， 设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确. 故选：AD 三.填空题(共3道题，每题5分，满分15分) 12. 在中，内角的对边分别为，若，，，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【详解】根据余弦定理，得， 即，解得（舍去） 13. 椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义把替换成，将所求式子转化为，再用三角不等式求出最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】椭圆 ，则， ，， 左焦点 ，右焦点 ，由椭圆定义：，所以 ， ， 因为，当且仅当为线段的延长线与椭圆的交点时，等号成立， ， 所以， 则的最小值为. 14. 已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，在中根据得到，结合求出的范围，最后利用两点间距离公式建立不等式计算求解. 【详解】由题可知圆心，半径， 过点作于点，连接， 在中，，所以， 又，所以， 又在直线上，所以， 所以， 所以， 解得，所以的取值范围是. 四.解答题(共5道题，满分77分) 15. 已知圆：和圆： （1）过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2）． 【解析】 【分析】（1）分切线斜率存在以及不存在讨论，结合点到直线的结论公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，结合椭圆的定义可知动圆M的圆心的轨迹为椭圆，求出，即可得到结果. 【小问1详解】 圆心为，半径为， 当切线斜率不存在时，显然满足要求； 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为， 即：， 所以圆心到切线的距离等于半径2，即：， 则切线方程为，化简可得； 所以切线方程为：或 【小问2详解】 ，，设，动圆的半径为， 所以， 所以M点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 所以，，，所以轨迹方程为． 16. 已知直线l：和圆C：， （1）直线l与圆C相切时，求m的值； （2）直线l与圆C相交于A，B两点，若弦，求m的值； （3）当时，P为直线l上的动点，过P作圆C的切线，切点为T，求的最小值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径计算； （2）利用弦长求出圆心到直线的距离即可计算； （3）求出圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算. 【小问1详解】 因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，得； 【小问2详解】 因为，所以圆心到直线的距离等于， 即，得； 【小问3详解】 当时，圆心到直线的距离等于， 则， 故的最小值为. 17. 某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数； （2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ （ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． 【答案】（1），中位数为 （或 ）； （2）（i）平均数 ，方差 （或 ）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1 求出 ，再根据中位数左右两侧面积相等求解即可； （2）（i）先根据分层抽样确定第七、八组抽取的人数，再利用分层抽样平均数和方差公式计算即可；（ii）利用古典概型概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为 10． 因为所有小矩形的面积之和为 1， 所以，解得 ． 前四组的频率之和为 ， 前五组的频率之和为 ， 所以中位数位于第五组内． 设中位数为 ，则 ， 解得． 故估计该中学高二年级学生成绩的中位数为 ． 【小问2详解】 第七组 的频率为，人数为 ； 第八组  的频率为 ，人数为 ． 按分层抽样方法抽取 5 名学生，则从第七组抽取人数为：  ，从第八组抽取 人数为： ． （i）设第七组抽取的 3 名学生得分为，第八组抽取的 2 名学生得分为． 由题意知，，方差，，方差. 这 5 人得分的平均数：  这 5 人得分的方差 ． 且 故 所以， 同理则 ， 故. （ii）记第七组抽取的 3 名学生为 （成绩低于 130 分），第八组抽取的 2 名学生为（成绩不低于 130 分）． 从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，所有可能的情况有：，共 10 种． 其中恰有 1 名成绩不低于 130 分的情况有： (共 6 种． 故所求概率  18. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）根据直线过圆心且斜率存在写出直线方程，求出在坐标轴上截距，根据截距相等求解即可； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值． 【小问1详解】 由题意知，圆心在直线上，故设圆心为， 因为点在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径，即圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线斜率存在且圆心，设直线的方程为，令，解得，令，解得， 因为直线过圆心且在轴，轴上截距相等，所以，解得 当时，直线，此时轴，轴上截距为0，符合题意； 当时，直线，此时轴，轴上截距为2，符合题意. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 又直线的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，整理可得， 由，得，即， 解得或， 因为，所以，则，故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2026-2027学年度高二上学期第一次月考 数学试题 时间:120分钟 总分:150分 一、单选题(共8道题，每题5分，满分40分) 1. 直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（ ） A. 7 B. 7或5 C. 10 D. 10或2 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A. B. C. D. 6. 已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（     ） A. B. 3 C. 2 D. 1 二.多选题(共3道题，每题6分，满分18分) 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 已知事件A，B相互独立， C. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12 D. 数据的方差为32，则数据的方差为64 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线上的点到点的距离最大值为 D. 若点是曲线上的点，则的最大值为1 三.填空题(共3道题，每题5分，满分15分) 12. 在中，内角的对边分别为，若，，，则的值为__________ 13. 椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 14. 已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 四.解答题(共5道题，满分77分) 15. 已知圆：和圆： （1）过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程． 16. 已知直线l：和圆C：， （1）直线l与圆C相切时，求m的值； （2）直线l与圆C相交于A，B两点，若弦，求m的值； （3）当时，P为直线l上的动点，过P作圆C的切线，切点为T，求的最小值； 17. 某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数； （2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ （ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． 18. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值. 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $