12.4 逆命题和逆定理 题型专练 2026-2027 学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）八年级上册 12.4 逆命题和逆定理 题型专练 【题型1】原命题、逆命题与互逆命题 【典例】关于命题“等边三角形是锐角三角形”及其逆命题的真假，下列说法正确的是(　　) A．都是真命题 B．都是假命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题为假命题，逆命题为真命题 【举一反三1】下列说法中，正确的是（ ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【举一反三2】给你一个原命题：“等腰三角形两腰上的中线相等”，请你写出它的逆命题是：__________． 【举一反三3】已知命题∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD. (1)写出其逆命题. (2)判断(1)中命题的真假，若是真命题，请写出证明过程，若是假命题，举出反例. 【举一反三4】如图①所示，将两个含角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题：       ．    (1)请在上面空格中写出该命题； (2)小聪发现(1)中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：在中，， 　　　　　　　． 求证： 　　　　　　． 证明： 【题型2】互逆定理 【典例】下列说法错误的是(　　) A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【举一反三1】下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有(   )个． A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三2】定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是__________． 【举一反三3】定理“全等三角形的对应角相等”__________(填“有”或“没有”)逆定理． 【举一反三4】判断下面两个定理是否有逆定理，若有，请写出它的逆定理，若没有请说明理由. (1)在一个三角形中，等角对等边； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 【题型3】牧民饮马问题 【典例】某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的方案是 A． B． C． D． 【举一反三1】如图，军官从军营C出发先到河边(河流用AB表示)饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．13 【举一反三3】如图，在中，，直线 是 中 边的垂直平分线，是直线上的一动点，周长的最小值为__________． 【举一反三4】如图，在直角坐标系中，，，，，当四边形周长最小时，的值是 __________ ． 【举一反三5】[提出问题] 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ [分析问题] (1)小亮：作B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的(如图2). 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要说明AC＋CB<AC'＋C'B即可.因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB＝　　　　，C'B＝　　　　，所以AC＋CB＝AC＋CB'＝　　　　，AC'＋BC'＝AC'＋C'B'， 在△AC'B'中，因为AB'<AC'＋C'B'，所以　　　　<AC'＋C'B，即AC＋CB最短. 请完善小亮的说明过程. 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“　　　　”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决； [解决问题] (2)如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径. 【题型4】线段垂直平分线的性质 【典例】如图，在中，D为边上的一点，，为线段的垂直平分线，若，则的周长为（ ） A．22 B．20 C．18 D．16 【举一反三1】如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C，则∠A=　　°. 【举一反三3】如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB，AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC=3，CB=4，则△ACF周长的最小值是__________ . 【举一反三4】(课本P134习题T8)在线段 的垂直平分线上任取两个不同的点 ，则 和 之间有什么关系? 为什么? 【举一反三5】如图，和相交于点O，. （1）求证. （2）分别过点B、O作的垂线，交于点E.若，求的长. 【题型5】线段垂直平分线的判定 【典例】如图，在，已知点在上，且，则点在（ ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【举一反三1】如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．以上答案都不对 【举一反三2】如图，在中．，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上：③；④；⑤，其中正确的有（ ） A．①②③⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【举一反三3】在中，，，，点在边上运动（不与重合），以为边向外作正，如图，过点作射线垂直于线段，为射线上一动点，取中点，连结，则的最小值为 __________ . 【举一反三4】如图，以正五边形的一边为边，在正五边形内作等边，连接，则 (1)是否垂直？__________．(填“是”或“否”)； (2)的度数是__________． 【举一反三5】如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【题型6】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典例】如图，在等腰△ABC中，∠A=40°，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连结AD，若BC＝10 cm，BD＝4 cm，则AD的长为(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 【举一反三2】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为__________ ． 【举一反三4】如图，在四边形中，，，.连接，过点D作分别交，于点E，F.若，，则的长为__________ . 【举一反三5】如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8 cm，△OBC的周长为18 cm. (1)求线段BC的长； (2)连接OA，求证：OB=OC； (3)求线段OA的长. 【题型7】线段垂直平分线的实际应用 【典例】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是__________． 【举一反三2】小明制作的风筝形状如图所示，他根据DE=DF，EH=FH， ①不用测量就知道∠DEH=∠DFH，请你运用所学知识给予证明； ②风筝骨架EF，DH的位置关系如何？请说明理由. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称P为的关联点. (1)在中，的关联点是__________ ； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当__________ 时，；此时，__________ ； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围. 【题型8】角平分线的性质 【典例】如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点.下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【举一反三1】如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为__________ ． 【举一反三2】如图，已知BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝__________ (用含α，β的式子表示). 【举一反三3】如图，AD平行于△ABC的边BC.若作∠CBA的平分线，与DA相交，交点恰为D，求证：BA＝AD. 【举一反三4】如图，在中，是的平分线，于，于，在上，． 求证：(1)； (2)如果，，，求的面积． 【题型9】角平分线的判定 【典例】如图，点D在上，若于点E，于点F，则对于和的大小关系，下列说法正确的是(　　) A．一定相等 B．一定不相等 C．当时相等 D．当时相等 【举一反三1】如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A．是的角平分线 B． C． D． 【举一反三2】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为 __________ . 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么__________． 【举一反三4】如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，．求证：是的角平分线． 【举一反三5】在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【题型10】角平分线性质与判定的综合 【典例】如图，已知，都是直角，以下说法错误的是（　　） A． B． C．若平分，则平分 D．的平分线与的平分线是同一条射线． 【举一反三1】如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论： ； 点在的平分线上； ， 其中正确的有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三2】如图是三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有__________个. 【举一反三3】如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于__________． 【举一反三4】如图(1)是一个平分角的仪器，其中 . (1)如图(2)所示，将仪器放置在 上，使点 与顶点 重合， 分别在边 上，沿 画一条射线 ，交 于点 是 的平分线吗? 请判断并说明理由. (2)如图(3)所示，在(1)的条件下，过点 作 于点 ，若 的面积是 60，求 的长. 【题型11】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典例】如图，△ABC的外角∠ACF的平分线CP与∠EAC的平分线AP交于点P，过点P作PM⊥BE于点M，PN⊥BF于点N，连接BP，则下列结论中正确的有 ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠CAB=2∠CPB；④S△PAC=S△PMA+S△PNC. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为(　　) A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠An－1BC与∠An－1CD的平分线相交于点An，得∠An.若要使∠An的度数为整数，则n的最大值为 （      ）  A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三3】如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线，若 ，则 _____。 【举一反三4】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 __________ . 【举一反三5】如图，已知，是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于.求证：. 【举一反三6】如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 【题型12】角平分线性质与判定的实际应用 【典例】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 __________处． 【举一反三2】已知，某三角形的周长是30，两个内角的平分线交于点，点到其中一边的距离为2，则该三角形的面积是__________． 【举一反三3】如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．(比例尺) 【举一反三4】太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10 m，AC＝6 m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 华东师大版（2024）八年级上册 12.4 逆命题和逆定理 题型专练（参考答案） 【题型1】原命题、逆命题与互逆命题 【典例】关于命题“等边三角形是锐角三角形”及其逆命题的真假，下列说法正确的是(　　) A．都是真命题 B．都是假命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题为假命题，逆命题为真命题 【答案】C 【解析】根据等边三角形的性质可知“等边三角形是锐角三角形”是真命题. “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，例如，在△ABC中，∠A＝30，∠B＝70°，∠C＝80°，该三角形是锐角三角形，但不是等边三角形. 【举一反三1】下列说法中，正确的是（ ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A. 【举一反三2】给你一个原命题：“等腰三角形两腰上的中线相等”，请你写出它的逆命题是：__________． 【答案】如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题是：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故答案为：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形. 【举一反三3】已知命题∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD. (1)写出其逆命题. (2)判断(1)中命题的真假，若是真命题，请写出证明过程，若是假命题，举出反例. 【答案】解　(1)其逆命题是已知∠A＝∠C，若BC∥AD，则AB∥CD. (2)问题(1)中的命题是真命题， 证明：∵BC∥AD(已知)， ∴∠ABE＝∠A(两直线平行，内错角相等)， ∵∠A＝∠C(已知)， ∴∠ABE＝∠C(等量代换)， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 【举一反三4】如图①所示，将两个含角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题：       ．    (1)请在上面空格中写出该命题； (2)小聪发现(1)中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：在中，， 　　　　　　　． 求证： 　　　　　　． 证明： 【答案】解　(1)由题意可得， 命题为：若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则直角边所对的角为角； (2)由(1)得， 已知：在中，，， 求证：； 证明：延长至D使，连接，    ∵， ∴， 在与， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故所填答案为：；． 【题型2】互逆定理 【典例】下列说法错误的是(　　) A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【解析】A．两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件时，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，所以任何命题都有逆命题，即A说法正确，不符合题意； B．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，这两个定理称为互逆定理，并不是所有定理的逆命题都是正确，故B说法错误，符合题意． C．真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等，其逆命题是如果两个角相等，则这两个角是对顶角，不是真命题，故C说法正确，不符合题意． D．定理和逆定理都是证明了它们的正确性之后才称为定理和逆定理的，所以一定是正确的，故D说法正确，不符合题意． 故选：B． 【举一反三1】下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有(   )个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两底角相等，正确，①存在逆定理； 全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的三角形全等，错误，②没有逆定理； 同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，正确，③存在逆定理， 故选C． 【举一反三2】定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是__________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，内错角相等”， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 【举一反三3】定理“全等三角形的对应角相等”__________(填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】没有 【解析】命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 【举一反三4】判断下面两个定理是否有逆定理，若有，请写出它的逆定理，若没有请说明理由. (1)在一个三角形中，等角对等边； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 【答案】解　(1)有逆定理，在一个三角形中，等边对等角. (2)无逆定理，因为它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角都是直角”为假命题. 【题型3】牧民饮马问题 【典例】某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的方案是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点M， 根据“两点之间，线段最短”可知机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短. 【举一反三1】如图，军官从军营C出发先到河边(河流用AB表示)饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由选项D中图可知， 作D点关于直线AB的对称点D'，连接CD'交AB于点N， 由对称性可知，DN＝D'N， ∴CN＋DN＝CN＋D'N≥CD'， 当C，N，D'三点共线时，CN＋DN的距离最短. 【举一反三2】如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【解析】∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 【举一反三3】如图，在中，，直线 是 中 边的垂直平分线，是直线上的一动点，周长的最小值为__________． 【答案】15 【解析】如图，连接， 则由中垂线的性质可得， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴要使得的周长最小，使得最小即可， ∵两点之间线段最短， ∴当P、A、B三点共线时，最小此时，P点即在边上，， ∴最小值为10， ∴的周长最小为：， 故答案为：15． 【举一反三4】如图，在直角坐标系中，，，，，当四边形周长最小时，的值是 __________ ． 【答案】 【举一反三5】[提出问题] 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ [分析问题] (1)小亮：作B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的(如图2). 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要说明AC＋CB<AC'＋C'B即可.因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB＝　　　　，C'B＝　　　　，所以AC＋CB＝AC＋CB'＝　　　　，AC'＋BC'＝AC'＋C'B'， 在△AC'B'中，因为AB'<AC'＋C'B'，所以　　　　<AC'＋C'B，即AC＋CB最短. 请完善小亮的说明过程. 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“　　　　”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决； [解决问题] (2)如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径. 【答案】解　(1)因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上， 所以CB＝CB'，C'B＝C'B'， 所以AC＋CB＝AC＋CB'＝AB'，AC'＋BC'＝AC'＋C'B'， 在△AC'B'中，因为AB'<AC'＋C'B'， 所以AC＋CB<AC'＋C'B，即AC＋CB最短， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决. (2)如图，AC－CD－BD即为最短路径. 【题型4】线段垂直平分线的性质 【典例】如图，在中，D为边上的一点，，为线段的垂直平分线，若，则的周长为（ ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【解析】∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 【举一反三1】如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵平分， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意； ∵不一定是等腰三角形， ∴不能证明，故选项B的结论错误，符合题意； ∵垂直平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故选项C的结论正确，不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】如图，线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C，则∠A=　　°. 【答案】60 【解析】如图，连接BC ∵线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C. ∴CA=CB，AB=CB. ∴AB=CA=CB.∴△ABC为等边三角形. ∴∠A=60°. 【举一反三3】如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB，AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC=3，CB=4，则△ACF周长的最小值是__________ . 【答案】7 【解析】如图，连接BF， 因为直线l垂直平分△ABC的边AB， 所以FA=FB， 所以△ACF的周长AC+FA+FC=AC+FB+FC， 因为FB+FC≥BC， 所以当点F与点D重合时，FB+FC=BC的值最小， 所以AC+FA+FC≥AC+BC=3+4=7， 所以△ACF周长的最小值是7. 【举一反三4】(课本P134习题T8)在线段 的垂直平分线上任取两个不同的点 ，则 和 之间有什么关系? 为什么? 【答案】解:。 理由:如图所示，因为 是线段 的垂直平分线，所以 , 所以。 (1)如图①所示，点 在 的同侧， 所以， 即。 (2)如图②所示，点 在 的两侧， 所以， 即。 【举一反三5】如图，和相交于点O，. （1）求证. （2）分别过点B、O作的垂线，交于点E.若，求的长. 【答案】（1）证明：∵和相交于点O， ∴. 在和中， ∴. ∴； （2）解：连接. ∵， ∴. ∵， ∴ . ∵， ∴是的垂直平分线， ∴. 【题型5】线段垂直平分线的判定 【典例】如图，在，已知点在上，且，则点在（ ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 【解析】∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A. 【举一反三1】如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．以上答案都不对 【答案】C 【解析】∵AC＝AD， ∴点A在CD的垂直平分线上， ∵BC＝BD， ∴点B在CD的垂直平分线上， ∴AB垂直平分CD. 【举一反三2】如图，在中．，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上：③；④；⑤，其中正确的有（ ） A．①②③⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】A 【解析】∵平分交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴，∴，故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 故选：A． 【举一反三3】在中，，，，点在边上运动（不与重合），以为边向外作正，如图，过点作射线垂直于线段，为射线上一动点，取中点，连结，则的最小值为 __________ . 【答案】 【解析】作，取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正三角形， ∴，点在的垂直平分线上，， ∴在同一直线上， ∴当时，取得最小值，此时， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：. 【举一反三4】如图，以正五边形的一边为边，在正五边形内作等边，连接，则 (1)是否垂直？__________．(填“是”或“否”)； (2)的度数是__________． 【答案】(1)是　　(2)84° 【解析】(1)如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； (2)∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【举一反三5】如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】解　与的位置关系是；理由见如下： ∵， ∴， 是的中点， ， 又∵， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ∴垂直平分， ∴． 【题型6】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典例】如图，在等腰△ABC中，∠A=40°，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】B 【解析】由作法得MN垂直平分AB，∴DA=DB. ∴∠ABD=∠A=40°. ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×(180°-40°)=70°. ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连结AD，若BC＝10 cm，BD＝4 cm，则AD的长为(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 【答案】C 【解析】∵BC＝10 cm，BD＝4 cm， ∴DC＝BC－BD＝10－4＝6(cm)， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝DC＝6 cm. 【举一反三2】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为. 故选：. 【举一反三3】如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，∴的最小值为， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在四边形中，，，.连接，过点D作分别交，于点E，F.若，，则的长为__________ . 【答案】2 【解析】连接交于点，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，∴，， ∴为等边三角形， 设， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：. 【举一反三5】如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8 cm，△OBC的周长为18 cm. (1)求线段BC的长； (2)连接OA，求证：OB=OC； (3)求线段OA的长. 【答案】(1)解　∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA=DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA=EC， ∵△ADE的周长为8 cm， ∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8 cm. (2)证明　连接OA，如图. ∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA=OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA=OC，∴OB=OC. (3)解　∵△OBC的周长为18 cm， ∴OB+OC+BC=18(cm)， ∵BC=8 cm，∴OB=OC=5 cm， ∵OA=OB，∴OA=5 cm. 【题型7】线段垂直平分线的实际应用 【典例】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于点M. 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短. 【举一反三1】如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是__________． 【答案】18厘米 【解析】∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∵△ABD的周长等于13厘米， ∴AD+BD+AB=CD+BD+AB=13厘米， 即AB+BC=13厘米， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+5=18(厘米)， 故答案为：18厘米． 【举一反三2】小明制作的风筝形状如图所示，他根据DE=DF，EH=FH， ①不用测量就知道∠DEH=∠DFH，请你运用所学知识给予证明； ②风筝骨架EF，DH的位置关系如何？请说明理由. 【答案】①证明　在△DEH和△DFH中， ∴△DEH≌△DFH(SSS)， ∴∠DEH=∠DFH. ②解　EF⊥DH.理由： ∵DE=EF，EH=FH， ∴DH垂直平分EF，即EF⊥DH. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称P为的关联点. (1)在中，的关联点是__________ ； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当__________ 时，；此时，__________ ； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围. 【解析】(1) 【题型8】角平分线的性质 【典例】如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点.下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【解析】如图，过点作于点，过点作于点. ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故①正确， 平分，，， ， ，， ， ， ，故②正确， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故③④正确； 若成立， 则有， 显然，， ∴④不正确， 故选：A. 【举一反三1】如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为__________ ． 【答案】4 【解析】∵，平分， ∴点D到的距离等于， ∵，， ∴， ∴点D到的距离是4． 故答案为：4． 【举一反三2】如图，已知BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝__________ (用含α，β的式子表示). 【答案】(α＋β) 【解析】如答图，连结BC. ∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP， ∴∠PBQ＝∠ABP，∠PCQ＝∠ACP. ∵∠PBC＋∠PCB＝180°－∠BPC＝180°－β， ∠ABC＋∠ACB＝2(∠PBQ＋∠PCQ)＋(∠PBC＋∠PCB)＝180°－∠A＝180°－α， ∴∠PBQ＋∠PCQ＝(β－α)， ∴∠BQC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)－(∠PBQ＋∠PCQ)＝180°－(180°－β)－(β－α)＝(α＋β). 【举一反三3】如图，AD平行于△ABC的边BC.若作∠CBA的平分线，与DA相交，交点恰为D，求证：BA＝AD. 【答案】证明：如答图，BD平分∠CBA， 则∠CBD＝∠DBA. ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠D， ∴∠DBA＝∠D， ∴BA＝AD. 【举一反三4】如图，在中，是的平分线，于，于，在上，． 求证：(1)； (2)如果，，，求的面积． 【答案】(1)证明　平分，，， 、， 在和中． ， ， ； (2)解　，， ， 、， ，， ， ． 【题型9】角平分线的判定 【典例】如图，点D在上，若于点E，于点F，则对于和的大小关系，下列说法正确的是(　　) A．一定相等 B．一定不相等 C．当时相等 D．当时相等 【答案】D 【解析】∵， ∴当时，． 故选D． 【举一反三1】如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A．是的角平分线 B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F， 则， 平分， 即是的角平分线， 故选项A正确，不符合题意； 对于B， ，， ， 平分， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 对于C， ，， ， ， ， ， 故选项C错误，符合题意； 对于D， 设，则， ， ， ， ， ， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为 __________ . 【答案】 【解析】作交于点， 依题得：，，， 点在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， . 故答案为：. 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么__________． 【答案】 【解析】过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，．求证：是的角平分线． 【答案】证明　∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴是的角平分线． 【举一反三5】在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形. ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB. 【题型10】角平分线性质与判定的综合 【典例】如图，已知，都是直角，以下说法错误的是（　　） A． B． C．若平分，则平分 D．的平分线与的平分线是同一条射线． 【答案】B 【解析】∵， ∴，故①不符合题意； ∵只有当，分别为和的平分线时， 则，故②符合题意； ∵，平分， ∴，则， ∴平分，故③不符合题意； ∵，（已证）； ∴的平分线与的平分线是同一条射线，故④不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论： ； 点在的平分线上； ， 其中正确的有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 正确； 综上，都正确． 故选：． 【举一反三2】如图是三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有__________个. 【答案】4 【解析】如图，加油站可建的地点有4个. 【举一反三3】如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于__________． 【答案】 【解析】过点D作于H，于E，于F， ∵的平分线与的外角平分线交于点， ∴，， ∴平分， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【举一反三4】如图(1)是一个平分角的仪器，其中 . (1)如图(2)所示，将仪器放置在 上，使点 与顶点 重合， 分别在边 上，沿 画一条射线 ，交 于点 是 的平分线吗? 请判断并说明理由. (2)如图(3)所示，在(1)的条件下，过点 作 于点 ，若 的面积是 60，求 的长. 【答案】解　(1) 是 的平分线.理由如下： 在 和 中， (SSS). ， 是 的平分线. (2)如图所示，过点 作 于点 . 平分 . ， . 【题型11】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典例】如图，△ABC的外角∠ACF的平分线CP与∠EAC的平分线AP交于点P，过点P作PM⊥BE于点M，PN⊥BF于点N，连接BP，则下列结论中正确的有 ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠CAB=2∠CPB；④S△PAC=S△PMA+S△PNC. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】如图，过P作PQ⊥AC于点Q， ∵CP平分∠ACF，AP平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ∴Rt△PMARt△PQA(HL)， ∴∠MPA=∠QPA， 同理∠QPC=∠NPC， ∴∠APC=∠QPA+∠QPC=∠MPN， ∵∠PMB=∠PNB=90°， ∴∠MBP+∠MPB=90°，∠NBP+∠NPB=90°， 两式相加得∠ABC+∠MPN=180°， 即∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵PC平分∠ACF，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMARt△PQA， Rt△PQCRt△PNC， ∴S△PAC=S△PQA+S△PQC=S△PMA+S△PNC，故④正确， 即正确的结论有4个. 【举一反三1】如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为(　　) A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】∵平分，， ∴， ∵， ∴，即，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵平分，平分， ∴为外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠An－1BC与∠An－1CD的平分线相交于点An，得∠An.若要使∠An的度数为整数，则n的最大值为 （      ）  A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC. ∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD， ∴∠A1＋∠A1BC＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠A1BC， ∴∠A1＝∠A＝×64°＝32°. 同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠An＝∠A＝°. 又∵∠An的度数为整数，∴n的最大值为6. 【举一反三3】如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线，若 ，则 _____。 【答案】30 【解析】 是 的平分线， 是 的平分线， . 是 的外角， . 【举一反三4】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 __________ . 【答案】60° 【解析】∵△ABC三个内角的平分线交于点O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD和△COB中， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°. 【举一反三5】如图，已知，是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于.求证：. 【答案】证明：∵BD平分∠ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴. 【举一反三6】如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 【答案】解　(1)∵， ∴(三角形的外角性质)， 又∵平分， ， ∴， ∴， 又∵在中， ， 即， ∴， 又∵是的外角， ∴． (2)如图，过点分别作于点，于点．    平分，， (角平分线上的点到角两边的距离相等)， 又，，， (角平分线上的点到角两边的距离相等)， ; 又，的面积为12， 即， ， 又， ∴． 【题型12】角平分线性质与判定的实际应用 【典例】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过分别作于，于， 是的平分线， ， ，的面积为， ， 的面积， 故选：B． 【举一反三1】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 __________处． 【答案】4 【解析】∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等， ∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处． 故答案为：4． 【举一反三2】已知，某三角形的周长是30，两个内角的平分线交于点，点到其中一边的距离为2，则该三角形的面积是__________． 【答案】30 【解析】如图，设△ABC的两个内角∠ABC和∠ACB的平分线交于点，连接AO，则AO平分∠BAC，作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，则OD=OE=OF=2， ∵AB+BC+AC=30， ∴． 故答案为：30． 【举一反三3】如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．(比例尺) 【答案】解　设距离交点， ， 解得：， ． ． 如图所示：作的角平分线，在射线上截取，使得，    集贸市场应建于点处，点即为所求． 【举一反三4】太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10 m，AC＝6 m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】解　过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 学科网（北京）股份有限公司 $