12.2 三角形全等的判定 题型专练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）八年级上册 12.2 三角形全等的判定 题型专练 【题型1】全等三角形的有关概念 【典例】有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【举一反三1】已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是(　　) A．50° B．58° C．60° D．72° 【举一反三2】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形． A．15 B．16 C．18 D．21 【举一反三3】如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是__________，对应边是__________，__________，__________ . 【举一反三4】周长相等的两圆相同，周长相等的两个正方形相同，那么，周长相等的两个三角形全等吗？ 【举一反三5】(人教课本P30练习T1)如图, 和 和 是对应角.说出这两个三角形的对应边和另一组对应角. 【题型2】全等三角形的性质 【典例】如图，点在线段上，且，若，，则的长为（ ）. A．3 B．4 C．5 D．10 【举一反三1】如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB＝35°，∠CBD＝30°，那么∠DAB度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【举一反三2】如图，△AEB≌△ADC，C和B是对应顶点，∠B＝25°，∠AEB＝135°则∠A＝　　度，∠C＝　　度，∠ADC＝　　度． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD，则△ACD的周长为 　　cm． 【举一反三4】如图，点A，B，C在同一条直线上，点E在BD上，且△ABD△EBC，AB＝2 cm，BC＝3 cm. (1)求DE的长； (2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由； (3)判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由. 【题型3】用SAS判定三角形全等 【典例】如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是 A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 【举一反三1】有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，BC＝5，按下列方案用剪刀沿着箭头的方向剪开该纸片，得不到全等三角形纸片的是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，AB与OM相交于点A，与ON相交于点B，OP⊥AB，垂足为点P，添加一个条件__________ ，使△AOP≌△BOP.（答案不唯一） 【举一反三3】如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为__________． 【举一反三4】如图，在中，，点是边的中点，点在上. 求证：. 【题型4】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，把长度确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，将木棍AC绕点A转动，得到△ABD，这个实验说明 （      ）  A．有两边分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB=20 cm，点E在边AD上，且AE=12 cm.动点P在边AB上，从点A出发以4 cm/s的速度向点B运动，同时，点Q在边BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，若在运动过程中存在△EAP与△PBQ全等的时刻，则v的值为__________ . 【举一反三2】如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则 __________  【举一反三3】如图，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【举一反三4】已知为等腰三角形，，点为直线上一动点(点不与点、点重合)以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【题型5】SAS的实际应用 【典例】如图所示，用螺丝钉将两根小棒 的中点固定，利用全等三角形的知识，测得 的长就是锥形瓶内径 的长。其中，判定△ 和△ 全等的依据是(　　)。 A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【举一反三1】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，点D是AC的中点，AD＝5 cm，DE⊥AC交AB于点E，连结CE，若△BCE的周长是22 cm，则△ABC的周长等于__________cm. 【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗? 请说明理由：__________. 【举一反三4】如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上)，并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长． 【题型6】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，小红练习本上三角形被墨水污染了一部分，她根据所学的知识画出了一个与它全等的三角形，那么小红画出全等三角形的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【举一反三2】如图，在和中，，，请你添加一个条件__________，使且满足． 【举一反三3】如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，，求证：． 【题型7】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若BD=2，CF=5，则AB的长为 A．1 B．3 C．5 D．7 【举一反三1】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三2】如图，AB∥CD，DF=EF，AB=12，CD=9，则AE等于__________ . 【举一反三3】如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是__________，的面积的最大值为__________． 【举一反三4】已知：如图，，，．求证：． 【题型8】ASA的实际应用 【典例】计划测量一片湖的宽度，现采用如图所示的方案： ①过点A作于点A，且点在的下方； ②连接，从点进行观测，在的延长线上找一点，使．现只需测量一条线段的长，这条线段是(　　) A． B． C． D．点A到的垂线段 【举一反三1】如图，王华站在河边的A处，在河对面(王华的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了25步到达电线杆C处，接着再向前走了25步到达D处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔B、电线杆C与所处位置在一条直线上时，他共计走了100步，若王华步长约为0.4米，则A处与电线塔B的距离约为(　　) A．20米 B．22米 C．25米 D．30米 【举一反三2】如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离(两点之间有障碍无法直接测量)，在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是__________． 【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度　　． 【举一反三4】如图，，于点E，于点D. (1)求证：； (2)若点D为的中点，求的度数. 【举一反三5】小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD， (1)如图1，求证：AC＝BD； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5，EF＝9，请求出池塘宽度AC． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中一定和△ABC全等的是 A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．乙 【举一反三1】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是 （      ）  A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．BD=DC D．AB=AC 【举一反三2】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件 A．AD=BC B．BD=AC C．∠D=∠C D．∠DAB=∠C 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件：__________ ，使△AEH≌△CEB. 【举一反三4】如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点.若，则的面积为 __________ . 【举一反三5】如图，在中，D为边上一点，，．求证： (1)． (2)平分． 【举一反三6】如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． 【题型10】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是(　　) A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2 C．△ABC△CED D．∠1＝∠2 【举一反三1】已知直线与轴，轴分别交于，两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知AB∥CF，D为AB上一点，连结DF，BC，连结AC交DF于点E，E恰为DF的中点，若AB＝9，BD＝4，则CF的值是__________. 【举一反三3】如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则__________ ． 【举一反三4】如图，已知，点E是的中点，，，求的长． 【举一反三5】如图，在中，，，垂直于直线，垂足为点． (1)求作的角平分线，交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)连接，请补全图形，若，求证：平分． 【题型11】AAS的实际应用 【典例】小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.9 m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是(　　) A．1 m B．1.5 m C．1.6 m D．1.9 m 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC上一点，AB＝BE，AD⊥BE于点D，若BD＝2，BC＝7.则△EBC的面积为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三2】如图，方明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，方明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 【举一反三3】如图所示，在△ 中, 是 上一点, 交 于点 ,若 ,则图中阴影部分的面积为_____。 【举一反三4】(课本P119复习题T16)如图，太阳光线 与 是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗? 说说你的理由。 【题型12】用SSS判定三角形全等 【典例】如图，已知AB=DC，若用定理“SSS”证明△ABC≌△DCB，则需要添加的条件是 A．OA=OD B．AC=DB C．OB=OC D．BC=CB 【举一反三1】如图，中，，，直接使用“”可判定(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有(　　) A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE 【举一反三3】如图，，，则，应用的判定方法是__________． 【举一反三4】如图所示为5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫做格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画__________ 个． 【举一反三5】如图，CD是线段AB的垂直平分线，求证：∠CAD＝∠CBD.请补全证明过程和推断三角形全等的依据． 证明：∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝____，AD＝BD. 在△CAD和△CBD中， ∵ ∴△CAD≌△CBD(____)， ∴∠CAD＝∠CBD. 【题型13】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'=∠AOB的依据是 （      ）  A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【举一反三1】如图，在和中，，，，若的面积为2，则的面积为__________． 【举一反三2】如图，在中，，，D，E是边上的点，连接，，以的边所在直线为对称轴作的轴对称图形，连接，若，则__________． 【举一反三3】数学课上，王老师布置如下任务： 如图，直线外一点A，过点A作直线的平行线. 小路的作法如下： ①在上任取一点B，作射线； ②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交和于C，D两点（点D位于的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点E（点E位于点A上方）； ③以E为圆心，的长为半径画弧，交弧于点F（点F位于左侧）； ④作直线. 结论：直线即为所求作平行线. （1）请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）； （2）并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵________， ∴.________________________. 【举一反三4】已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF. 求证：(1)△AEC≌△BFD； (2)DE=CF. 【题型14】SSS的实际应用 【典例】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　) A．S. B． C． D． 【举一反三2】强家有两块三角形的菜地，他想判断这两块三角形菜地的形状大小是否完全一样，他设想了如下四种方法，下列方法中，不一定能判断两个三角形全等的是(　　) A．测量三边对应相等 B．测量两角及其夹边对应相等 C．测量两边及除夹角外的另一角对应相等 D．测量两边及其夹角对应相等 【举一反三3】肖老师为班级中每名同学准备了长分别为、、三根木条，所有同学都用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法依据__________． 【举一反三4】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来__________．(写出一种即可) 【举一反三5】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由． 【题型15】用HL判定直角三角形全等 【典例】如图，，，，则判定的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有(　　) A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【举一反三2】能使两个直角三角形全等的条件有__________． ①一条直角边及其对角对应相等；②斜边和一条直角边对应相等；③斜边和一锐角对应相等；④两个锐角对应相等． 【举一反三3】如图，是的高，且，求证：. 【题型16】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在边BC上，DE＝AD，DF⊥AB于点F，AF＝CE，连结BD，若AB＝10，CE＝2，则线段BE的长是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 【举一反三1】在中，，，为边上一点，．则的值为__________ ． 【举一反三2】如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论__________． 【举一反三3】已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明　 ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 【题型17】HL的实际应用 【典例】如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，则下列说法正确的是(　　) A．下滑过程中，始终有CC'＝DD' B．下滑过程中，始终有CC'≠DD' C．若OC＜OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' D．若OC＞OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当△ABC和△PQA全等时，AP长为(　　) A．4 B．6 C．6或8 D．4或8 【举一反三2】如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC＝35°，则∠DFE的度数是 　　． 【举一反三3】如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9 cm，5.1 cm，则OC的长度是__________cm. 【举一反三4】(人教课本P43练习T1)如图, 是路段 的中点，两人从 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 两地，且 到路段 的距离相等吗? 为什么? 【举一反三5】如图，点A，B分别在∠MON的边OM，ON上，∠MON的平分线OC与AB的垂直平分线CD交于点C，CE⊥OM于点E，CF⊥ON于点F. (1)求证：AE＝BF； (2)若OB＝8，OE＝6，求OA的长. 华东师大版（2024）八年级上册 12.2 三角形全等的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】全等三角形的有关概念 【典例】有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】两个三角形全等，它们的形状一定相同，故①正确， 两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，故②错误， 两个三角形全等，它们的面积一定相等，故③正确， 两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，故④错误， 综上，正确的说法是①③， 故选C. 【举一反三1】已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是(　　) A．50° B．58° C．60° D．72° 【答案】A 【解析】∵两个三角形全等， ∴α＝50°. 【举一反三2】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形． A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【解析】根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 【举一反三3】如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是__________，对应边是__________，__________，__________ . 【答案】∠ADB和∠AEC　　AB和AC　　AD和AE　　BD和CE 【解析】∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB和∠AEC是对应角；AB和AC是对应边；AD和AE是对应边；BD和CE是对应边. 故答案为：∠ADB和∠AEC，AB和AC，AD和AE，BD和CE． 【举一反三4】周长相等的两圆相同，周长相等的两个正方形相同，那么，周长相等的两个三角形全等吗？ 【答案】解　不一定全等． 例如，两个三角形的周长均为10，一个三角形的三边长为4，3，3，而另一个三角形的三边长为4，4，2，这两个三角形显然不全等，但当两个三角形为正三角形时，这两个三角形全等． 【举一反三5】(人教课本P30练习T1)如图, 和 和 是对应角.说出这两个三角形的对应边和另一组对应角. 【答案】解　 和 和 和 是对应边; 另一组对应角是 和 . 【题型2】全等三角形的性质 【典例】如图，点在线段上，且，若，，则的长为（ ）. A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】，，， ，， . 故选B. 【举一反三1】如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB＝35°，∠CBD＝30°，那么∠DAB度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】B 【解析】先根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAB＝35°，∠DAB＝∠CBA，然后计算出∠CBA＝65°，从而得到∠DAB的度数． 解：∵△ABC≌△BAD， ∴∠DBA＝∠CAB＝35°，∠DAB＝∠CBA， ∴∠CBA＝∠DAB+∠CBD＝35°+30°＝65°， ∴∠DAB的度数是65°． 故选：B． 【举一反三2】如图，△AEB≌△ADC，C和B是对应顶点，∠B＝25°，∠AEB＝135°则∠A＝　　度，∠C＝　　度，∠ADC＝　　度． 【答案】20，25，135 【解析】根据△AEB≌△ADC再运用三角形内角和定理由此得解，要正确找准对应角． 解：△ABE，∠B＝25°，∠AEB＝135°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣25°﹣135°＝20°， ∵△AEB≌△ADC， ∴∠C＝∠B＝25°，∠ADC＝∠AEB＝135°． 故分别填20，25，135． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD，则△ACD的周长为 　　cm． 【答案】16． 【解析】根据全等三角形的性质和平移的性质即可求解． 解：根据平移的性质得△ABC≌△DCE，AB＝DC＝6cm，AC＝DE＝6cm，AD＝BC＝4cm， ∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝4+6+6＝16（cm）， 故答案为：16． 【举一反三4】如图，点A，B，C在同一条直线上，点E在BD上，且△ABD△EBC，AB＝2 cm，BC＝3 cm. (1)求DE的长； (2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由； (3)判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由. 【答案】解　(1)∵△ABD△EBC， ∴BD＝BC＝3 cm，BE＝BA＝2 cm. ∴DE＝BD－BE＝1(cm). (2)DB与AC垂直， 理由：∵△ABD△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC， 又∵A，B，C在同一条直线上， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴AC与BD垂直. (3)直线AD与直线CE垂直. 理由：如图，延长CE交AD于点F， ∵△ABD△EBC， ∴∠D＝∠C， ∵Rt△ABD中，∠A＋∠D＝90°， ∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠AFC＝90°，即直线AD与直线CE垂直. 【题型3】用SAS判定三角形全等 【典例】如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是 A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 【答案】B 【举一反三1】有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，BC＝5，按下列方案用剪刀沿着箭头的方向剪开该纸片，得不到全等三角形纸片的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．符合全等三角形的判定定理S.A.S.，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； B．符合全等三角形的判定定理S.A.S.，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； C．如图1， ∵∠B＝∠C＝x°， ∴∠BED+∠BDE＝180°﹣x°，∠BDE+∠CDF＝180°﹣x°， ∴∠BED＝∠CDF， 即BD和CF是对应边，BE和CD是对应边，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项符合题意； D．由选项C可知：∠BED＝∠CDF，符合全等三角形的判定定理S.A.S.，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】如图，AB与OM相交于点A，与ON相交于点B，OP⊥AB，垂足为点P，添加一个条件__________ ，使△AOP≌△BOP.（答案不唯一） 【答案】AP=BP（答案不唯一） 【解析】添加AP=BP，理由如下： 因为OP⊥AB， 所以∠APO=∠BPO=90°， 在△AOP和△BOP中， 所以△AOP≌△BOP(SAS). 【举一反三3】如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为__________． 【答案】4或 【解析】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 【举一反三4】如图，在中，，点是边的中点，点在上. 求证：. 【答案】证明：∵，点是的中点， ∴， 在和中，， ∴. 【题型4】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，把长度确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，将木棍AC绕点A转动，得到△ABD，这个实验说明 （      ）  A．有两边分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】由题意知，△ABD与△ABC中有两边和其中一边的对角分别相等， 因为△ABD与△ABC不全等， 所以有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB=20 cm，点E在边AD上，且AE=12 cm.动点P在边AB上，从点A出发以4 cm/s的速度向点B运动，同时，点Q在边BC上，以v cm/s的速度由点B向点C运动，若在运动过程中存在△EAP与△PBQ全等的时刻，则v的值为__________ . 【答案】4或 【解析】设运动时间为t s，则AP=4t cm， BP=AB-AP=(20-4t)cm，BQ=vt cm， 因为在长方形ABCD中，∠A=∠B=90°， 所以当AE=BP，AP=BQ，即12=20-4t，4t=vt时，△AEP≌△BPQ(SAS)， 解得t=2，v=4； 当AE=BQ，AP=BP，即12=vt，4t=20-4t时，△AEP≌△BQP(SAS)， 解得t=v=. 综上所述，v的值为4或. 【举一反三2】如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则 __________  【答案】180 【解析】是等边三角形 ， ≌ ． ，， ， 故答案为180． 【举一反三3】如图，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ 在和中， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴． 【举一反三4】已知为等腰三角形，，点为直线上一动点(点不与点、点重合)以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】解　(1)， ， ， 在和中， ， ； ②由知，， ， ； (2)， ， ， 在和中， ， ∴ ， 【题型5】SAS的实际应用 【典例】如图所示，用螺丝钉将两根小棒 的中点固定，利用全等三角形的知识，测得 的长就是锥形瓶内径 的长。其中，判定△ 和△ 全等的依据是(　　)。 A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解析】因为点 是 的中点, 所以 。 在 和 中, , 所以(SAS)， 所以 。 【举一反三1】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，点D是AC的中点，AD＝5 cm，DE⊥AC交AB于点E，连结CE，若△BCE的周长是22 cm，则△ABC的周长等于__________cm. 【答案】32 【解析】∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝∠CDE＝90°， 在△ADE与△CDE中， ∴△ADE△CDE(SAS)， ∴AE＝CE， ∵△BCE的周长是22 cm，AD＝5 cm， 【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗? 请说明理由：__________. 【答案】证明得出，即海岛在观测点的正北方 【解析】由题意得：，， 海岛分别到观测点的距离相等， ， 在和中， ， ， ， 海岛在观测点的正北方， 故答案为：证明得出，即海岛在观测点的正北方． 【举一反三4】如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上)，并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长． 【答案】解　∵为中点, ∴, 在和中, ， ∴, ∴ 米, 答：池塘的长为米． 【题型6】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，小红练习本上三角形被墨水污染了一部分，她根据所学的知识画出了一个与它全等的三角形，那么小红画出全等三角形的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可据此得到与原图形全等的三角形， 即小红画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（）， 故选：D. 【举一反三1】如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】B 【解析】根据所给三角形，小明根据“”，画了一个与原三角形一样的三角形， 故选：B. 【举一反三2】如图，在和中，，，请你添加一个条件__________，使且满足． 【答案】 【解析】在和中， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明　∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ 【题型7】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若BD=2，CF=5，则AB的长为 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】因为FC∥AB，所以∠ADE=∠F， 因为∠AED=∠CEF，DE=FE， 所以△AED≌△CEF(ASA)， 所以AD=CF=5， 又因为BD=2， 所以AB=AD+BD=5+2=7. 【举一反三1】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【举一反三2】如图，AB∥CD，DF=EF，AB=12，CD=9，则AE等于__________ . 【答案】3 【解析】因为AB∥CD， 所以∠D=∠FEB， 在△DFC与△EFB中， 所以△DFC≌△EFB(ASA)，所以CD=BE， 因为AB=12，CD=9， 所以AE=AB-BE=12-9=3. 【举一反三3】如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是__________，的面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】∵在中，， ∴， 解得； 如下图，延长交于点，      ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：，． 【举一反三4】已知：如图，，，．求证：． 【答案】证明　， ， ，， ， ， ， 即， 又， ， ， ． 【题型8】ASA的实际应用 【典例】计划测量一片湖的宽度，现采用如图所示的方案： ①过点A作于点A，且点在的下方； ②连接，从点进行观测，在的延长线上找一点，使．现只需测量一条线段的长，这条线段是(　　) A． B． C． D．点A到的垂线段 【答案】A 【解析】 ， ， 在和中， ， ， 要测量的宽度，只需要测量的长即可， 故选：A． 【举一反三1】如图，王华站在河边的A处，在河对面(王华的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了25步到达电线杆C处，接着再向前走了25步到达D处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔B、电线杆C与所处位置在一条直线上时，他共计走了100步，若王华步长约为0.4米，则A处与电线塔B的距离约为(　　) A．20米 B．22米 C．25米 D．30米 【答案】A 【解析】如图，设王华走了100步时到达点E处，则E、C、B三点在同一条直线上， 连接BE，则点C在BE上，∠DCE＝∠ACB， 由题意得DC＝AC＝25步，DE+DC+AC＝100步，∠D＝∠A＝90°， ∴DE+25+25＝100， 解得DE＝50， ∵0.4×50＝20(米)， ∴DE＝20米， 在△DEC和△ABC中， ， ∴△DEC≌△ABC(A.S.A.)， ∴DE＝AB， ∴AB＝20米， ∴A处与电线塔B的距离约为20米， 故选：A． 【举一反三2】如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离(两点之间有障碍无法直接测量)，在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是__________． 【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等 【解析】在和中， ， ， 判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度　　． 【答案】16米 【解析】∵AB∥CD， ∴∠ABP＝∠CDP， ∵PD⊥CD， ∴∠CDP＝90°， ∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD＝PB， 在△ABP与△CDP中， ， ∴△ABP≌△CDP(A.S.A.)， ∴CD＝AB＝16(米)， 故答案为：16米． 【举一反三4】如图，，于点E，于点D. (1)求证：； (2)若点D为的中点，求的度数. 【答案】(1)证明：∵，， ∴. 在和中， ， ∴， ∴； (2)解：连接. ∵，点D为的中点， ∴，， ∴. 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴. 【举一反三5】小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD， (1)如图1，求证：AC＝BD； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5，EF＝9，请求出池塘宽度AC． 【答案】(1)证明　在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD(SAS)， ∴AC＝BD； (2)解　延长DE，AF交于点B， ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠D， 在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD(A.S.A.)， ∴AC＝BD， ∵∠DEF＝120°，∠OFE＝90°， ∴∠BFE＝90°，∠BEF＝60°，∠B＝30°， ∵EF＝9， ∴BE＝2EF＝18， ∵DE＝5， ∴BD＝BE+DE＝23， ∴AC＝23， 答：池塘宽度AC为23． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中一定和△ABC全等的是 A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．乙 【答案】C 【举一反三1】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是 （      ）  A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．BD=DC D．AB=AC 【答案】B 【解析】由题可知，题目已经有∠1=∠2，AD=AD，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”. 【举一反三2】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件 A．AD=BC B．BD=AC C．∠D=∠C D．∠DAB=∠C 【答案】C 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件：__________ ，使△AEH≌△CEB. 【答案】AH=CB（答案不唯一） 【举一反三4】如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点.若，则的面积为 __________ . 【答案】 【解析】过点D作于点M， 则 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：. 【举一反三5】如图，在中，D为边上一点，，．求证： (1)． (2)平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∴（）； (2)证明：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴平分． 【举一反三6】如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； 【题型10】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是(　　) A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2 C．△ABC△CED D．∠1＝∠2 【答案】D 【解析】∵AC⊥CD，∠B＝∠E＝90°， ∴∠ACD＝∠E＝90°， ∠1＋∠2＝180°－∠ACD＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠1＋∠A＝180°－∠B＝90°， ∴∠A＝∠2，故B正确； ∵AC＝CD， ∴△ABC△CED(AAS)， 故C正确； ∵∠2＋∠D＝180°－∠E＝90°， ∴∠A＋∠D＝90°， 故A正确， 综上，A，B，C，均正确， ∠1＋∠2＝90°，D错误，故本选项符合题意. 【举一反三1】已知直线与轴，轴分别交于，两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，过点C作轴于Q， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 【举一反三2】如图，已知AB∥CF，D为AB上一点，连结DF，BC，连结AC交DF于点E，E恰为DF的中点，若AB＝9，BD＝4，则CF的值是__________. 【答案】5 【解析】∵CF∥AB， ∴∠ECF＝∠A， ∵E是DF的中点， ∴FE＝DE， 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE△CFE(AAS)， ∴CF＝AD＝AB－BD＝5. 【举一反三3】如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则__________ ． 【答案】12 【解析】如图，过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 【举一反三4】如图，已知，点E是的中点，，，求的长． 【答案】解　∵， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，在中，，，垂直于直线，垂足为点． (1)求作的角平分线，交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)连接，请补全图形，若，求证：平分． 【答案】(1)解：如图，点E即为所求； (2)证明：如图，过点E作交于N，过点E作交延长线于M， ∵在中，，是的角平分线， ∴E为中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴平分． 【题型11】AAS的实际应用 【典例】小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.9 m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是(　　) A．1 m B．1.5 m C．1.6 m D．1.9 m 【答案】B 【解析】∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD＋∠COE＝90°， ∵BD⊥OA， ∴∠BOD＋∠OBD＝90°， ∴∠OBD＝∠COE， 在△OBD和△COE中， ∴△OBD△COE(AAS)， ∴OE＝BD，OD＝CE， ∵妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.9 m， ∴OE＝1.4 m，OD＝1.9 m， ∴DE＝OD－OE＝1.9－1.4＝0.5(m)， ∵点B与地面距离为1 m， ∴AD＝1 m， ∴AE＝AD＋DE＝1＋0.5＝1.5(m)， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.5 m. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC上一点，AB＝BE，AD⊥BE于点D，若BD＝2，BC＝7.则△EBC的面积为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】如图，过点E作BC的垂线，垂足为点M， ∵AD⊥BE，∠ABC＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝∠ABD＋∠EBM＝90°， ∴∠BAD＝∠EBM. 在△ABD和△BEM中， ∴△ABD△BEM(AAS)， ∴EM＝BD＝2. 又∵BC＝7， ∴S△EBC＝×2×7＝7. 【举一反三2】如图，方明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，方明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】．，，，根据一定符合要求； ．，，，根据一定符合要求； ．，，，不一定符合要求； ．，，，根据一定符合要求； 故选：. 【举一反三3】如图所示，在△ 中, 是 上一点, 交 于点 ,若 ,则图中阴影部分的面积为_____。 【答案】24 【解析】因为 ,所以。 在 和 中, 因为, 所以, 所以 , 所以题图中阴影部分的面积 。 【举一反三4】(课本P119复习题T16)如图，太阳光线 与 是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗? 说说你的理由。 【答案】解:影子一样长。 理由:因为, 所以。 因为, 所以。 在 和 中,, 所以(AAS), 所以 ,即影子一样长。 【题型12】用SSS判定三角形全等 【典例】如图，已知AB=DC，若用定理“SSS”证明△ABC≌△DCB，则需要添加的条件是 A．OA=OD B．AC=DB C．OB=OC D．BC=CB 【答案】B 【解析】因为AB=DC，BC=CB， 所以当添加AC=DB时，△ABC≌△DCB(SSS). 【举一反三1】如图，中，，，直接使用“”可判定(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 【举一反三2】若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有(　　) A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE 【答案】C 【解析】根据图象可知△ACD和△ADE全等， 理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC， 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED(S.S.S.)，故C正确． 故选：C． 【举一反三3】如图，，，则，应用的判定方法是__________． 【答案】S.S.S. 【解析】在和中， ， ． 故答案为：． 【举一反三4】如图所示为5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫做格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画__________ 个． 【答案】6 【解析】如答图． 以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个格点三角形与原三角形全等； 以AB为公共边可画出△ABG，△ABM，△ABH三个格点三角形与原三角形全等； 以AC为公共边不能画出符合题意的格点三角形． 综上所述，这样的格点三角形最多可以画6个． 【举一反三5】如图，CD是线段AB的垂直平分线，求证：∠CAD＝∠CBD.请补全证明过程和推断三角形全等的依据． 证明：∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝____，AD＝BD. 在△CAD和△CBD中， ∵ ∴△CAD≌△CBD(____)， ∴∠CAD＝∠CBD. 【答案】BC    AC＝BC    CD＝CD    SSS 【题型13】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'=∠AOB的依据是 （      ）  A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】A 【解析】由作图知OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'， 所以△OCD≌△O'C'D'(SSS)， 所以∠A'O'B'=∠AOB， 所以依据是SSS. 【举一反三1】如图，在和中，，，，若的面积为2，则的面积为__________． 【答案】2 【解析】在和中 ∴， 则； 故答案为：2． 【举一反三2】如图，在中，，，D，E是边上的点，连接，，以的边所在直线为对称轴作的轴对称图形，连接，若，则__________． 【答案】60 【解析】与是关于的轴对称图形， ， 在和中， ， ， ， ， 与是关于的轴对称图形， ， 即， 故答案为：60． 【举一反三3】数学课上，王老师布置如下任务： 如图，直线外一点A，过点A作直线的平行线. 小路的作法如下： ①在上任取一点B，作射线； ②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交和于C，D两点（点D位于的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点E（点E位于点A上方）； ③以E为圆心，的长为半径画弧，交弧于点F（点F位于左侧）； ④作直线. 结论：直线即为所求作平行线. （1）请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）； （2）并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵________， ∴.________________________. 【答案】解：（1）如图，即为所求， 证明：如图，根据作图过程，知：， 连接和， 在和中，， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）. （2）∵， ∴（同位角相等，两直线平行）. 故答案为：；同位角相等，两直线平行 【举一反三4】已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF. 求证：(1)△AEC≌△BFD； (2)DE=CF. 【答案】证明　(1)∵AD=BC， ∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD(S.S.S.)， (2)由(1)可知△AEC≌△BFD， ∴∠A=∠B， 在△AED和△BFC中， , ∴△AED≌△BFC(S.A.S.)， ∴DE=CF. 【题型14】SSS的实际应用 【典例】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在和中 ， ， 故选：A． 【举一反三1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　) A．S. B． C． D． 【答案】D 【解析】在和中， ， ， 故选：D． 【举一反三2】强家有两块三角形的菜地，他想判断这两块三角形菜地的形状大小是否完全一样，他设想了如下四种方法，下列方法中，不一定能判断两个三角形全等的是(　　) A．测量三边对应相等 B．测量两角及其夹边对应相等 C．测量两边及除夹角外的另一角对应相等 D．测量两边及其夹角对应相等 【答案】C 【解析】全等三角形的判定方法有：S.S.S.，S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.； A：根据S.S.S.，两个三角形全等； B：根据A.S.A.，两个三角形全等； C：两个三角形不一定不全等； D：根据S.A.S.，两个三角形全等； 故选：C． 【举一反三3】肖老师为班级中每名同学准备了长分别为、、三根木条，所有同学都用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法依据__________． 【答案】S.S.S. 【解析】小陈同学的说法依据， 故答案为：． 【举一反三4】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来__________．(写出一种即可) 【答案】a，b，c 【解析】分别测量原来三角形玻璃装饰物的三条边的长度，可以画到一样的三角形玻璃装饰物． 故答案为：a，b，c 【难度】基础题 【举一反三5】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由． 【答案】解　，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． 【题型15】用HL判定直角三角形全等 【典例】如图，，，，则判定的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在和中， ， ∴． 故选：C． 【举一反三1】如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有(　　) A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【解析】∵于E，于F    ∴ ∵ ∴； ∴ ∵ ∴； ∴ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【举一反三2】能使两个直角三角形全等的条件有__________． ①一条直角边及其对角对应相等；②斜边和一条直角边对应相等；③斜边和一锐角对应相等；④两个锐角对应相等． 【答案】①②③ 【解析】∵所有的直角都相等， ∴①一条直角边及其对角对应相等，符合角角边定理，正确； ②斜边和一条直角边对应相等，符合，正确； ③斜边和一锐角对应相等，符合角角边定理，正确； ④两个锐角对应相等，缺少边元素，无法判定，错误． 故答案为：①②③． 【举一反三3】如图，是的高，且，求证：. 【答案】证明　∵是的高， ∴， 在和中，， ∴． 【题型16】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在边BC上，DE＝AD，DF⊥AB于点F，AF＝CE，连结BD，若AB＝10，CE＝2，则线段BE的长是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】∵DF⊥AB于点F，∠C＝90°， ∴△ADF和△EDC都是直角三角形， 在Rt△ADF和Rt△EDC中， ∴Rt△ADFRt△EDC(HL)， ∴DF＝DC， ∵AB＝10，CE＝2， ∴AF＝2， ∴BF＝AB－AF＝10－2＝8， 在Rt△BDFRt△BDC中， ∴Rt△BDFRt△BDC(HL)， ∴BC＝BF＝8， ∴BE＝BC－CE＝8－2＝6. 【举一反三1】在中，，，为边上一点，．则的值为__________ ． 【答案】 【解析】作于点，则点是的中点， 在外作，则， 作，，则（角平分线的性质）， 在和中，， ， 所以． 又因为，， 所以， 因此． 故答案为：． 【举一反三2】如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论__________． 【答案】PM=PN，∠PON=∠POM(答案不唯一)． 【解析】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可． ∵AN⊥OB，BM⊥OA， ∴在Rt△OPM与Rt△OPN中 ， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN(H.L.)， ∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM， 在△APM与△PBN中 ， ∴△APM≌△PBN(A.S.A.)， ∴BN=AM， ∵OA=AM+OM，OB=BN+ON， ∴OA=OB． 故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM(答案不唯一)． 【举一反三3】已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明　 ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 【答案】解　，， ， 是的中点， ， 又， ， ． 【题型17】HL的实际应用 【典例】如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，则下列说法正确的是(　　) A．下滑过程中，始终有CC'＝DD' B．下滑过程中，始终有CC'≠DD' C．若OC＜OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' D．若OC＞OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' 【答案】D 【解析】将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'， 可得：CD＝C'D'， A．下滑过程中，CC'与DD'不一定相等，说法错误； B．下滑过程中，当△OCD与△OD'C'全等时，CC'＝DD'，说法错误； C．若OC＜OD，则下滑过程中，不存在某个位置使得CC'＝DD'，说法错误； D．若OC＞OD，则下滑过程中，当△OCD与△OD'C'全等时，一定存在某个位置使得CC'＝DD'，说法正确； 故选：D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当△ABC和△PQA全等时，AP长为(　　) A．4 B．6 C．6或8 D．4或8 【答案】D 【解析】AQ⊥AC，∠C＝90°， ∴∠QAP＝90°＝∠C， ∵PQ＝AB， ∴当AP＝CB＝4时，△PQA△BAC， 当AP＝CA＝8时，△PQA△ABC， ∴AP＝4或8时，△ABC和△PQA全等. 【举一反三2】如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC＝35°，则∠DFE的度数是 　　． 【答案】55° 【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.)， ∴∠DEF＝∠ABC＝35°， ∴∠DFE＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55°． 【举一反三3】如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9 cm，5.1 cm，则OC的长度是__________cm. 【答案】3.2 【解析】过点P作PF⊥OB于点F，如图所示， ∵点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9 cm，5.1 cm， ∴PC＝5.1－1.9＝3.2(cm)， ∵两把直尺的宽度相同， ∴PE＝PF，∠OEP＝∠OFP＝90°， 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEPRt△OFP(HL)， ∴∠EOP＝∠FOP， ∵CP∥OF， ∴∠CPO＝∠FOP， ∴∠EOP＝∠CPO， 过点C作CM⊥OP于点M， ∴∠OMC＝∠PMC＝90°， 在△OMC和△PMC中， ∴△OMC△PMC(AAS)， ∴OC＝PC＝3.2 cm， ∴OC的长度是3.2 cm. 【举一反三4】(人教课本P43练习T1)如图, 是路段 的中点，两人从 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 两地，且 到路段 的距离相等吗? 为什么? 【答案】解　, 到路段 的距离相等.理由: . 是 的中点, . 由题意可知 . 在 Rt 和 Rt 中, . 到路段 的距离相等. 【举一反三5】如图，点A，B分别在∠MON的边OM，ON上，∠MON的平分线OC与AB的垂直平分线CD交于点C，CE⊥OM于点E，CF⊥ON于点F. (1)求证：AE＝BF； (2)若OB＝8，OE＝6，求OA的长. 【答案】(1)证明　∵CD垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∵CE⊥OM，CF⊥ON，OC平分∠MON， ∴CE＝CF，∠CEA＝∠CFB＝90°， 在Rt△CEA和Rt△CFB中， ∴Rt△CEARt△CFB(HL)， ∴AE＝BF. (2)解　∵CE⊥OM，CF⊥ON，OC平分∠MON， ∴CE＝CF，∠CEO＝∠CFO＝90°， 在Rt△CEO和Rt△CFO中， ∴Rt△CEORt△CFO(HL)， ∴OF＝OE＝6， ∴BF＝OB－OF＝8－6＝2， 由(1)知AE＝BF＝2， ∴OA＝OE－AE＝6－2＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $