12.4 逆命题和逆定理-【无敌战卷】2025-2026学年八年级上册数学跟踪课时卷（华东师大版·新教材）

12.4逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 2.线段垂直平分线 一、选择题 1.下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是 A.全等三角形的对应角相等 B.等边三角形是锐角三角形 C.两直线平行，同位角相等 D.对顶角相等 2.如图，在△ABD中，AC⊥BD,BC=CD.若AB=4,则AD的长是 A.2 B.4 C.6 D.8 D (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点O是△ABC内一点，连结OB,OC,连结A0并延长交BC于点D.若 OB=OC,BC=10,则CD的长为 ( A.4 B.5 C.2 D.6 4.如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下说法正确的是 A.AB=PB B.BC=AC C.AC=AP D.PA=PB=PC 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E.当AD平分∠CAB 时，图中相等的线段有 A.5组 B.4组 C.3组 D.2组 6.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,M,交AB于点 E,交AC于点F.若△ADM的周长为8，则BC的长为 A.4 B.6 C.8 D.10 (第6题图) 二、填空题 7.定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理的是 8.如图，在△ABC中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,连 结CD.若AB=8,AC=4,则△ACD的周长为 (第8题图) 3 第12章 9.如图，C,D是线段AB外的两点，且AC=BC,AD=BD.若AB=5,CD=4,则△ACD的面积 为 D (第9题图) (第10题图) 10.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若DE垂直平分BC,则∠A的度数 为」 三、解答题 11.如图，AD垂直平分BE,且AB+BD=DC.求证：点E在线段AC的垂直平分线上 B D E (第11题图) 12.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，连结AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,连结DE. (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长； (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数. (第12题图) 13.如图，在△ABC中，BC=AC,∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE= BD,求证：BD是∠ABC的平分线 (第13题图) 5 全等三角形 3.角平分线 一、选择题 1.如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是 A.4 B.3 C.2 D.1 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AB于点E.若BC=9,AC=12, AB=15,则△BDE的周长为 A.6 B.12 C.15 D.21 3.如图，1,2,13是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个 加油站的位置共有 A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 4.如图，直线AB∥CD,且这两条直线之间的距离为8，∠AEF与∠EFC的平分线交于点P,则点P到EF 的距离为 () A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 5.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA,PE⊥OB,下列条件：①∠AOC= ∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分线的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，OP平分∠AOB,PF⊥OA于点F,点D在OB上，DH⊥OP于点H.若OD= 4,OP=8,PF=3.5,则DH的长为 ( A.4.5 B.5 C.7 n子 (第6题图) 二、填空题 7.如图，在Rt△BAC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥BC于点E.若△BDC的面积 为8，BC=8,则AD的长为 8.如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分 别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画3弧，在LABC内，两弧交于点P,作射线BP,交AD于点 M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= 3 无敌战卷数学八 A 456789 B B (第7题图) (第8题图) (第9题图)》 (第10题图) 9.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P,边OA与另一把直 尺边缘的交点为C,点C,P在这把直尺上的刻度分别是2cm、5cm,则OC的长度是 cm. 10.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5,连结BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动 点，连结DP,则DP长的最小值为 三、解答题 11.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证： PM=PN. （第11题图) 12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠BDE=∠CDF.求证：AD 平分∠BAC. D (第12题图) 13.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CP与∠ABC的平分线BP相交于点P,连结AP. (1)求证：AP是∠CAB的平分线； (2)若△ABC的周长为22，面积为3，求点P到AB的距离。 (第13题图) 6 年级上(HS)12.3等腰三角形 1.等腰三角形的性质（一）》 1.C2.B3.A4.D5.A6.B 7.80°或20°8.30°9.36°10.75° 11.证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. 在△ABD和△ACE中， :AB=AC,∠B=∠C,BD=CE, .△ABD≌△ACE(SAS),.AD=AE. 12.解：(1)BD=DC,∴.∠DBC=∠C :∠BDC=∠ABD+∠A=120°， ÷∠C=∠DBC=180°，120°=309 2 (2):BD=DC,DE⊥BC,∴.BC=2CE=10. :△BDC的周长为24， .BD+DC=24-10=14,.BD=7. 13.证明：，△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边 上的中线， ∴.AE=AD,AD为∠BAC的平分线， 即∠CAD=∠BAD=30°， ∴.∠BAE=∠BAD=30°. 在△ABE和△ABD中， ·.·AE=AD,∠BAE=∠BAD,AB=AB, ∴.△ABE≌△ABD(SAS),∴.BE=BD. 14.证明：如图，过点A作AG⊥BC于点G, 则LAGB=90°， ∴.∠B+∠BAG=90° DF⊥AB,.∠BDF=90°， ∴.∠B+∠F=90°，∴.∠F=∠BAG .AB=AC,AG⊥BC, LBAG-7LBACLF-7LBAC. 1.等腰三角形的性质（二） 1.D2.B3.D4.C5.D6.A 7.等腰三角形“三线合一”8.2.59.120° 10.38°或49° 11.证明：AB=AC,.∠ABC=∠C. .∠A+∠ABC+∠C=180°，∴.∠A+2∠C=180°. .·∠A=2∠DBC, .2∠DBC+2∠C=180°，∴.∠DBC+∠C=90°， ∴.∠BDC=180°-（∠DBC+∠C)=90°， 即BD⊥AC. 12.证明：△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ABC=60°. CD=CE,.∠CED=∠CDE. .'∠ACB=∠CED+∠CDE, LCBD=∠CDB=3∠ACB=7×60=30 BD ED. ∴.∠CBD=∠CED=30°， .∴.∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-30°=30°， ∴.∠ABD=∠CBD,∴.BD是△ABC的角平分线。 △ABC是等边三角形， .BD是△ABC的AC边上的中线， .D为AC的中点 13.（1)解：BE⊥AC,BE=AE,.∠BAE=45° AB=AC, ÷∠C=∠ABC=7×(180°-45)=67.50 (2)证明：AB=AC,AD⊥BC, ∴.BC=2BD,∠ADB=90°， ∴.∠EBC+∠BHD=90°. .BE⊥AC, ∴.∠AEB=∠BEC=90°，∠HAE+∠AHE=90°. .∠BHD=∠AHE,∴.∠EBC=∠HAE. 在△AHE和△BCE中， '∠AEH=∠BEC,AE=BE,∠HAE=∠CBE, ∴.△AHE≌△BCE(ASA), .AH=BC,∴.AH=2BD. 2.等腰三角形的判定 1.D2.B3.D4.B5.D6.C 7.60°8.30°，75°或120°9.510.64 11.证明：：DF平分∠CDE,∠CDE=120°， ∠CDF=7∠cDE=60e DF∥BA,∴.∠ABC=∠CDF=60 ,AB=BC,.△ABC是等边三角形. 参考 12.证明：∠ACB=90°，CD⊥AB, AE⊥BE,∴.∠BEF=90 .∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90. .·∠ACF=∠ACB=90°， BF平分∠ABC, ∴.∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°， .∠CBF=∠DBE,∠CFB=∠DEB. ∴.∠DBC=∠FAC. .·∠FEC=∠DEB, 在△ACF和△BCD中， ∴.∠CFB=∠FEC,∴.CE=CF. .·∠ACF=∠BCD=90°，AC=BC,∠FAC=∠DBC, 13.解：如图，△ABC即为所求 ∴.△ACF≌△BCD(ASA),∴.AF=BD. A AE-2BD. AE=宁4F=EF,即点E是AF的中点 BE⊥AF, 义D ∴.DE是AF的垂直平分线，∴.AB=BF, 12.4逆命题和逆定理 .BD是∠ABC的平分线. 1.互逆命题和互逆定理 3.角平分线 2.线段垂直平分线 1.C2.B3.D4.C5.D6.D 1.C2.B3.B4.D5.A6.C 7.28.69.310.5 7.同旁内角互补，两直线平行8.129.510.87° 11.证明：BD为∠ABC的平分线， 11.证明：AD垂直平分BE,∴AB=AE,BD=DE. ∴.∠ABD=∠CBD. AB BD DC,..AE DE DC. 在△ABD和△CBD中， DE+EC=DC,∴.AE=EC, AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD, ∴.点E在线段AC的垂直平分线上. ∴.△ABD≌△CBD(SAS),∠ADB=∠CDB. 12.解：(1)：BD是线段AE的垂直平分线， 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, ∴.AB=BE,AD=DE. ∴.PM=PN. :△ABC的周长为19，△DEC的周长为7， 12.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, .AB+BE CE CD +AD=19,CD EC DE CD ∴.∠DEB=∠DFC=90. +CE+AD=7, D是BC的中点，.BD=CD. .AB+BE=19-7=12,.AB=BE=6 在△BED和△CFD中， (2)∠ABC=30°，∠C=45°， ∠BDE=∠CDF,∠BED=∠CFD,BD=CD, .∠BAC=180°-30°-45°=105. ∴.△BED≌△CFD(AAS),∴.DE=DF. 在△BAD和△BED中， DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F, BA BE.BDBD.DA =DE. .AD平分∠BAC. ∴.△BAD≌△BED(SSS), 13.(1)证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D,作PE⊥ ∴.∠BED=∠BAC=105°， BC于点E,作PF⊥AC于点F, ∴.∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60° 13.证明：如图，延长AE,BC交于点F. 则PD,PE,PF分别是P到AB,BC,CA的距离. 答案 CP平分∠ACB,BP平分∠ABC, .PE =PF,PD =PE, .PF=PD,.AP是∠CAB的平分线 (2)解：△ABC的周长为22，∴.AB+AC+BC=22. :△AC的面积为2 Sac=Sam+Samc+Sael= 2 2AB~PD+号BC·PE+ACPF-2 由(1)得PE=PF=PD, 22×22PD=33 (AB+BC+CA)·Pm=37 PD=子，即点P到AB的距离为号 第12章测试 1.C2.D3.C4.B5.C6.A7.B8.C 9.1010.80°11.等角对等边12.55°13.1 14.60° 15.证明：：C是AB的中点，.AC=CB. 在△ACD和△CBE中， AC=CB,AD=CE,CD =BE, .△ACD≌△CBE(SSS). 16.解：(1)如图，△ABC即为所求. 0A 17.解：AB=AC,∠BAC=80°，AD⊥BC, ÷∠BAD=LCMD=2LBMC=40 AD=AB, ·∠BDA=∠ABD=2(180°-∠BAD)=2×(I0- 40°)=70° ∴.∠ADE=180°-∠BDA=180°-70°=110°. 18.解：如图。 M E B F N ·四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=90°，∴.∠1+∠2=90°. 'AE⊥EF,CF⊥EF, ∴.∠AEB=∠BFC=90°，∴.∠1+∠BAE=90°， .∠BAE=∠2. 在△AEB和△BFC中， ·∠AEB=∠BFC,∠BAE=∠2，AB=BC, ∴.△AEB≌△BFC(AAS),∴.AE=BF,BE=CF. AE =3,CF =5,..BF =3,BE=5, ∴.EF=BE+BF=8,即EF的长是8. 19.证明：AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B=∠C=30° .AD⊥AC,AE⊥AB,∴.∠DAC=90°，∠EAB=90°， .∠ADC=60°，∠AEB=60°， .∠EAD=180°-60°-60°=60°， .∠ADE=∠AEB=∠EAD, ∴.△ADE是等边三角形. 20.证明：：OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB, ∴.PC=PD, ∴.P是线段CD垂直平分线上的点 在Rt△POC和Rt△POD中， .·OP=OP,PC=PD ∴.Rt△POC≌Rt△POD(HL),∴.OC=OD, .O是线段CD垂直平分线上的点， ∴.OP垂直平分CD. 21.证明：如图，过点P作PE⊥OM于点E,PF⊥ON于 点F D F N cPECD PF. AB=CD,..PE=PF. 又.·PE⊥OM,PF⊥ON ∴.点P在∠MON的平分线上. 7 无敌战卷数学八 22.（1)证明：：△ABC是等边三角形， ∴.∠DAG=∠ADC=90°，∠DAH=∠ADB=90°， ∴.∠ABC=∠ACB=60°. .∠DAG-∠BAD=∠DAH-∠CAD, :∠E+∠EDB=∠ABC=60°，∠ACD+∠DCB= 即∠BAG=∠CAH. 60°，∠EDB=∠ACD, ·.AG=AH, .∠E=∠DCE,∴.DE=DC, .AD是GH的垂直平分线， .△CDE是等腰三角形 .DG=DH,.∠AGD=∠AHD. (2)解：设∠EDB=a,则∠BDC=5a, 在△AGM和△AHN中， ∴.∠E=∠DCE=60°-a, .∠MAG=∠NAH,AG=AH,∠AGM=∠AHN, .6a+60°-a+60°-a=180°，解得a=15°， .△AGM≌△AHN(ASA),.GM=HN. ∴.∠E=∠DCE=45°，∴.∠EDC=90. (3)∠BAC=40°， 如图，过D作DH⊥CE于H. ∠BAD=∠CMD=3∠BAC=20, ∴.∠GAM=∠GAD-∠BAD=90°-20°=70°. ①若AG=GM,∴.∠AMG=∠GAM=70°， .∠AGM=180°-∠AMG-∠GAM=40°， .∠AHN=∠AGM=40°， △DEC是等腰直角三角形， .∠GDH=180°-∠AGM-∠AHN=100. .∠EDH=∠E=45°， ②若AG=AM, .EM-G-DM-ZEC-x8=4. A∠AGM=∠AwG=180°-，∠CM_180,70=55°， 2 2 六△BDC的面积=5C·0H=分×8x4=16, ∴.∠AHN=∠AGM=55°，.∠GDH=70°. ③若AM=GM,∴.∠AGM=∠GAM=70°， 23.解：(1)2tcm(8-at)cm ∴.∠AHN=∠AGM=70°，∴.∠GDH=40°. (2)△BPQ与△CDQ能全等. 综上所述，∠GDH的度数为100°，70°或40°. ∠B=∠C, 期中测试 ∴.△BPQ与△CDQ全等存在两种情况： 1.A2.C3.D4.B5.D6.C7.A8.B ①当△PBQ≌△QCD时，BQ=CD,PB=CQ, 9.-3510.711.72°12.113.13米 ∴.2t=6,8-at=8-2t,∴.t=3,a=2; 14.①②④ ②当△PBQ≌△DCQ时，BQ=CQ,PB=DC, 15.解：(1)原式=5+3-9=-1. ∴.2t=8-2t,8-at=6,.t=2,a=1. 综上所述，△BPQ与△CDQ能全等，此时t=3,a=2 (2)原式=2+9g·=2+2 或t=2,a=1. 16解：1)原式=--+)- 24.解：(1)EF=DF 理由：：直线l∥BC, (2)原式=(4a+b)2-[2(a+b)]2 ∴.∠AEF=∠BDF,∠FAE=∠FBD. =[4a+b+2(a+b)][4a+b-2(a+b)] 在△AEF和△BDF中， =(6a+3b)(2a-b) :∠AEF=∠BDF,AE=BD,∠FAE=∠FBD =3(2a+b)(2a-b). .△AEF≌△BDF(ASA),.EF=DF 17.解：原式=(42-8y+4-4+÷子y (2)AB=AC,AD是BC边上的中线， =20xy-32. .∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD. 直线l∥BC, 当x=-2y=2时，原式=20-32=-12 年级上(HS)》