14.3.2 角平分线的判定 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3.2 角平分线的判定班级： 姓名： 【学习目标】 1. 理解角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上； 2. 会写出判定定理的几何语言，并能独立证明该定理（HL）； 3. 能综合运用角平分线的性质与判定解决简单的证明与计算问题。 【学习重点】 角平分线判定定理的理解、证明及其应用（利用“到角两边距离相等”判定点在角平分线上）。 【学习难点】 探索并证明角的平分线的判定；证明以文字命题形式给出的角的平分线的判定。 【知识回顾】 【自学探究】 探究点一 角平分线的判定 问1.请将角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），改写成如果…那么..．的形式 问2.交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么结论？ 问3.这个结论正确吗？ 已知：点是内部一点，，，垂足分别为，，. 求证：点在的平分线上. 角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离 的点在角的平分线上. 应用具备的条件： ①位置关系：点在角的____________； ②数量关系：该点到角两边的距离_________. 几何语言 ∵____________________________ ∴_____________________________. 【典例解析】 例1 (1)如图，点在的内部，于点，于点，.当的长为_______时，点在的平分线上. (2)如图,在中，，，且，则=_______ 例2 如图，，于点，于点，和交于点，求证：平分. 【达标测试】 1．如图，是内部的一条射线，是射线上任意一点，，.下列命题： ①如果平分，那么； ②如果，那么平分； ③如果，那么平分. 其中真命题有() A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.如图，于, , ，,则=___. 3.如图，在中，是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为_________ （题1图） （题2图） （题3图） 4.如图，，交的延长线于点，于点，且，，求证：平分. 【拓展提升】如图，的角平分线，相交于点. 求证:(1)点到三边，，的距离相等； 求证:(2)的三条角平分线交于一点. (3)若的面积分别为，求的比值 (4)若的周长为18，，求的面积 #14.3.2 角平分线的判定 自学探究 问1：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。 问2：如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。 问3证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 { OP=OP PD=PE } ∴ Rt△PDO ≅ Rt△PEO (HL) ∴ ∠DOP=∠EOP ∴ OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上。 角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离 相等 的点在角的平分线上。 条件：①内部；②相等。 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴ 点P在∠AOB的平分线上。 典例解析 例1 (1) 3 (2) 25° 例2证明： ∵ CE⊥AB，BF⊥AC ∴ ∠BED=∠CFD=90° 在△BDE和△CDF中 { ∠BED=∠CFD ∠BDE=∠CDF BE=CF } ∴ △BDE≌△CDF(AAS) ∴ DE=DF 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC ∴ AD平分∠BAC。 达标测试 1.D 2.60° 3.110° 4证明： ∵ DE⊥AB，DF⊥AC ∴ ∠DEB=∠DFC=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中 { BD=CD BE=CF } ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴ DE=DF ∴ AD平分∠BAC。 拓展提升 (1)证明：过P作三边垂线，垂足D、E、F ∵BM平分∠ABC，∴PD=PE ∵CN平分∠ACB，∴PE=PF ∴PD=PE=PF，P到三边距离相等。 (2)证明：∵PD=PF，P到AB、AC距离相等， ∴P在∠BAC平分线上，∴三条角平分线交于P。 (3)S₁:S₂:S₃ = AB:BC:AC =6:7:5 (4)S△ABC = 1/2 ×周长×r =1/2 ×18×4 =36 学科网（北京）股份有限公司 $