第四章 指数函数与对数函数 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A B B C B ACD BD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】利用特殊值以及指数函数的单调性逐项分析即可.. 【详解】取满足， 对于A，此时，故A错误； 对于B，此时，故B错误； 对于D，，故D错误； 对于C，因为函数在上单调递增，且， 所以，故C正确. 2．A 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 令，则，解得，可知函数的零点为，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 因为，可知函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不为偶函数，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有零点，故D错误. 3．B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 4．A 【详解】函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数， 又函数的定义域为R，得，解得， 函数，，则是奇函数， 所以. 5．B 【详解】因为“”的充要条件为“”， 而“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 6．B 【详解】由题知当时，，当时，. ，. 又，. 7．C 【分析】由分段函数在上单调递增，可得两段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 8．B 【分析】先由 落在昼间确定声强级上限为 ，再按声强级的定义解对数不等式，把声强级限制转化为实际声强的范围. 【详解】 位于 到 之间，属昼间时段，故该商住混合区的声强级应满足 ； 由 得 ，即 ，故 ， 最大值为 ； 9．ACD 【详解】 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 10．BD 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，在定义域上单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，在定义域上单调递增，要满足，需，即A错误，B正确. 11．AC 【分析】根据对数与指数运算法则进行计算． 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 12．或 【详解】由题意， 所以或，所以或. 13． 【分析】利用奇函数的性质将转化为，再代入时的函数解析式计算即可得到结果. 【详解】根据奇函数的定义，对定义域内的任意，均满足,， 已知当时，，且， 因此先计算： ，， 故， 因此. 14． /0.5 【详解】 15．(1) (2)3， 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数零点的定义，通过解一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以，即， 解得． （2）由（1）得，令， 即．解得，或， 所以函数的零点为3，． 16．(1)奇函数 (2)在内是减函数， 设， 则 ． ，，则． ，． ，． ，即． 故在内是减函数． (3)， ． ， ． 【分析】（1）根据条件，直接利用奇偶函数的判定方法，即可求解； （2）利用函数单调性的定义，设，再判断与的大小，即可证明； （3）利用对数的运算，直接代入，即可证明 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数． （2）在内是减函数，略. （3）略 17． 【详解】. 18．(1) (2) 【详解】（1），，， 故原式. （2）由得；由得， 所以. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可. （2）根据二次函数的性质，结合区间定轴动问题求解方法求解即可. （3）根据二次函数在固定区间的最值求解即可. 【详解】（1）函数开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以. 故实数的取值范围为. （2）当时，恒成立，等价于当时，. 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，， 所以，即，解得，结合可得； 当时，在上单调递减，所以. 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由，令，则， 令，函数开口向上，对称轴为. 因为在上的最大值只能在区间端点处取得，而，， 当时，，所以，解得，满足题意； 当时，，所以，解得，与矛盾，不满足题意. 综上所述，. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数 一、单选题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 3．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象关于原点对称，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．1 7．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB  3096—2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22：00至次日6：00．按此标准，若某商住混合区在19：00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．设，．下列各项中，能推出的一项是（     ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 11．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数（，），若，求a的值______. 13．已知是奇函数，当时，，则的值是________． 14．计算的结果为______________. 四、解答题 15．已知函数的图象过点．求： (1)的值； (2)的零点． 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求证：． 17． 计算： 18．完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 19．设函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，若时，的最大值为10，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $