对数与对数函数单元练习题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数及对数函数单元练习题 一、单选题 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 3．已知，，若，则（    ） A． B． C． D．36 4．已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 6．已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 7．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 8．的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 10．若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 三、填空题 12．函数在上的最大值与最小值的差为1，则 ． 13．函数在上的值域为 . 14．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 16．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 17．已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 18．已知，函数的最大值为3，最小值为. (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 19．已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 对数及对数函数单元练习题 一、单选题 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 所以有. 故选：C 2．已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【详解】， 所以，则，解得. 故选：C. 3．已知，，若，则（    ） A． B． C． D．36 【详解】易知，所以， 所以. 故选：C 4．已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知， . 故选：B 5．已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 6．已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【详解】由题设， 且，则， 由，可得. 故选：A 7．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 8．的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 10．若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 【详解】由于，取常用对数得：，易知同号或者. 当都是正数，由可得（其中）， 因为，所以，故， 所以，即，故A选项可能成立； 当都是正数，由于，取常用对数得：， 则，同时由于对数函数在定义域上是增函数， 进而，所以； 同理，进而，所以； 所以，故C选项可能成立； 当都是负数，由于，取常用对数得：， 同时由于对数函数在定义域上是增函数， 则，则，则，则， 即，故B选项可能成立； ，所以；同理，进而， 所以，所以，D不可能成立， 故选：ABC 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．函数在上的最大值与最小值的差为1，则 ． 【详解】当时在上单调递增， 因此，最大值为，最小值为. 由题知，， 即，得（满足）. 当时在上单调递减， 因此，最大值为，最小值为. 由题知， ， 即，得（满足）. 综上所述，或. 故答案为：或 13．函数在上的值域为 . 【详解】因为函数在定义域上单调递增. 当时，，可得； 当时，，可得； 综上所述：所以的值域为. 故答案为：. 14．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【详解】时，，设，则， ， ∴时， 所以， 故答案为：． 四、解答题 15．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. 16．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，则， 即，所以，即，解得， 当时，则函数无意义，故舍去； 当时，则，令，解得， 可知函数是定义在内的奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可知，， 则， 若恒成立，即对任意的恒成立， 因为在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围是. 17．已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以， 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 18．已知，函数的最大值为3，最小值为. (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【详解】（1）依题意，， 由，得，，又， 因此，， 所以，. （2）由（1）知，则， 即，依题意，不等式在上有解， 因此，不等式成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，则，于是， 所以k的取值范围是. 19．已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $