第四章指数函数与对数函数单元测试--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修一第四章（指数函数与对数函数）单元卷，覆盖基础巩固到综合应用，适配单元复习，注重抽象能力、推理能力与应用意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|指数函数定义、函数最值、大小比较|基础概念辨析，如指数函数参数求解（题2）| |多项选择|3/18|函数奇偶性、单调性|多角度考查性质，如奇偶性与单调性判断（题9）| |填空|3/15|单调性参数范围、二分法次数、不等式解集|聚焦方法应用，如二分法精确度计算（题13）| |解答题|5/77|函数性质综合、零点问题、不等式恒成立|分层设计，如零点个数讨论及定值证明（题19），体现逻辑推理与数学表达|

高中数学人教A版必修一 第四章单元测试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 2．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 3．已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. 4．已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 5．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，， 所以. 6．“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出选项中的关系，利用充要条件的定义即可判断. 【详解】对于选项A，由得，即，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B，取，则，所以不是的必要条件，故B错误； 对于选项C，等价于，所以是的充要条件，故C错误； 对于选项D，等价于，所以是的充要条件，故D错误. 7．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上都单调递增， 得函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 8．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可以直接判断奇偶性，再把化简成利用复合函数单调性的判断方法可以判断单调性，最后利用指数函数的性质结合不等式的性质可以求值域，逐项判断即可. 【详解】定义域为,，符合奇函数定义，故A对，D不对. ， 已知在上单调递增，那么在上单调递减， 所以在上单调递增，故B对. ，因为，所以，由此可得， 即的值域为，故C对. 10．（多选）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设.由题意得的定义域为． ，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误； 由，可得，又在上单调递减， 则，故C正确，D错误． 11．已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12．函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】复合函数：，其中 外层函数底数，外层函数单调递增， 所以在上单调递减，且在区间恒成立. 是开口向上抛物线，对称轴： 所以， 所以a的取值范围是 13．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行__________次函数值的计算. 【答案】4 【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解. 【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1， 第1次计算后区间长度为； 第2次计算后区间长度为； 第3次计算后区间长度为； 第4次计算后区间长度为； 故至少计算4次. 故答案为：4. 14．不等式的解集是______. 【答案】 【分析】分析出函数的单调性，求出函数的交点，结合函数图象即可得到解集. 【详解】由题意知，原不等式的定义域为. 函数、函数、函数在上均单调递增， 函数、函数在上相交于点，. 函数简图如下： 结合函数图象可知，不等式成立的解集为. 故答案为：. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15．（本题满分13分）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果； （2）由平方可得的值，再对平方可得的值，代入即可得出答案. 【详解】（1） （2）， 16．（本题满分15分）（已知函数为奇函数. (1)求的值； (2) ，求的值域; (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，再代入检验即可； （2）利用单调性得出函数在上的值域，令，换元后，再由二次函数的性质可得函数的值域； （3）由函数的单调性及奇偶性，可得恒成立，分类讨论，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）函数是定义域上的奇函数， ，即，解得． 此时，则，符合题意； （2）因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 所以函数在上为增函数，所以可得， 令，则，且， 所以原函数可化为， 所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为， 所以可得的值域为． （3）由不等式恒成立， 可得恒成立，即恒成立， 即恒成立， 当时，对不恒成立，故不符合题意； 当时，不等式恒成立， 需满足，解得， 所以实数的取值范围. 17．（本题满分15分）已知函数． (1)证明的图象为中心对称图形，并求出其对称中心； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 由题可知，解得，所以的定义域为． 若的图象为中心对称图形，则其对称中心的横坐标为2． 因为， 所以的图象为中心对称图形，且对称中心为点． (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ． 因为，所以， 则，即， 所以， 所以，所以， 于是，所以在上单调递增． (3)． 【分析】（1）证明即可； （2）由单调性的定义进行证明； （3）由单调性及对称性进行求解不等式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）可知，，则， 由（2）可知，在上单调递增， 所以不等式即， 等价于， 于是解得， 故所求不等式的解集为． 18．（本题满分17分）已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)讨论的单调性； (3)当时，若存在，使得不等式能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为； (2) 当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为． (3) 【分析】（1）利用对数真数大于0，结合指数函数单调性分和解不等式求定义域； （2）根据复合函数“同增异减”，结合内外层函数单调性讨论单调性； （3） 由得递增，将不等式转化为函数值大小关系，再分离参数求的取值范围. 【详解】（1）要使函数有意义必须，即． 若，则； 若，则． 综上所述：当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为； （2）令． 当时，函数为增函数，为增函数， 所以函数为增函数，增区间为； 当时，函数为减函数，为减函数， 所以函数为增函数，增区间为． （3）当时，函数的定义域为，在上单调递增． 所以原不等式可化为在上能成立，只需能成立. 令，则． 又所以， 所以，即实数的范围为． 19．（本题满分17分）已知函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有4个零点，判断是否为定值，并说明你的理由. 【答案】(1)单调递增区间为：，；单调递减区间为：，. (2)①当时，无零点；②当时，有1个零点；③当或时，有2个零点；④当或时，有3个零点；⑤当时，有4个零点. (3)， 由（2）知，当时，有4个零点，不妨设， 由二次函数的对称性可知 所以. 【分析】（1）讨论的正负号，即可去掉绝对值，再由二次函数的性质求出答案； （2）讨论的正负号，即可求出答案； （3）由二次函数的对称性即可求出的值. 【详解】（1）①当即或时，，二次函数开口向下，对称轴为，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当即时，，二次函数开口向上，对称轴为，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以的单调递增区间为：，；单调递减区间为：，. （2）由（1）知， , ①当即时，无零点； ②当即时，有1个零点； ③当即时，有2个零点； ④当即时，有3个零点； ⑤当即时，有4个零点； ⑥当即时，有3个零点； ⑦当即时，有2个零点； 综上所述：①当时，无零点； ②当时，有1个零点； ③当或时，有2个零点； ④当或时，有3个零点； ⑤当时，有4个零点. （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教A版必修一第四章单元测试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1,本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.下列各式计算正确的是() A.d2.as=alo B.(-dP-a5 C.la-b)2=a2-b2 D.(-x-yll-x+yl=x-y 2.若函数y=a-a-1a是指数函数，求实数。的值（） A.1 B.2 C.0 D.-1 3.己知函数fx= 1 x-2x+20的最大值为2027，则g的值为（） 2027 B.-1 C.1 D. 4.己知函数fx= logax,x>0, 3x+4-1,X≤0 则ff-2=（） 3 A.2 B.1 c.-1 D.-2 5.已知a=-0.3,b=log0.2,c=0.32,则a、bc的大小关系是（）· A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 6.“a>b”的一个必要不充分条件是() 试卷第1页（共3页） 2 ≤1 B.In(a-b)>0 C.2>2 D.dzb 7.已知函数fx=X-ax-1,x<0,在R上单调递增，则o的取值范围是() 2*+lnx+1+a,x≥0 A.-2,0 B.0,+∞ C.0,2 D.-2,+∞ 8。已知函数fx=3+3x,g(x)=1og,x+3x,h(x)=X2+3x的零点分别为a,b,c则a,b,c的大小顺 序为() A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9,已知函数fx=2-1,则下列说法正确的是() 2*+1 A.fx是奇函数 B.fx在R上单调递增 C.fx的值域为(-1,1 D.fx是偶函数 10.（多选)已知函数fx=1ogx-1在区间-0,1上单调递增，则（） A.0<a<1 B.a>1 c.fa+2026>f2027 D.fa+2026<f2027 11.已知函数f引x= Inx),x>0, x2+4x+1,x≤0 若方程fx=k有四个不同的零点x'x,'X'X'且 X<x2<X3<x4' 则下列结论正确的是() A.0<k<1 B.X3X4=1 C.0<x+x2+x+x<1 D.0≤X1X2X3X4<1 e 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数fxX=1og,X+2ax+5在1,2上单调递减，则实数。的取值范围是 13.已知函数fx=x-3X+2在2,3上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0,1)时，至少 试卷第2页（共3页） 需要进行 次函数值的计算 14.不等式1ogx<X2<2的解集是 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(本题满分13分)(1)求值：0.0643-(-π°+(16+(3-π： (2)己知号- ,求值：a+a1+2 a2+a2=3a>0 a2+a2+2 16.（本题满分15分)（已知函数fX=2+a-2为奇函数 (1)求a的值： ②gx=4+4-fx,x∈l0,1,求gx的值域 ③)若不等式tX+f-X-X-2s0对x∈R恒成立，求实数，的取值范围. 17.(本题满分15分)已知函数fx=x-1+lnX-1 3-x (1)证明fx的图象为中心对称图形，并求出其对称中心； (2)判断fx的单调性，并用定义证明； (3)求不等式f3x-1+fx+1>2的解集. 18。（本题满分17分)已知函数fx=loga-1,(a>0且a≠1) (1)求函数fx)的定义域： (2)讨论fx)的单调性： (3)当。>1时，若存在x∈[-1,1]使得不等式f2+1上fk-2能成立，求实数k的取值范围。 19.(本题满分17分)已知函数fx=X2-2x-x-m (1)求fx的单调区间： (2)讨论fx零点的个数： (3)若fx有4个零点X1,X2,X3,X4,判断X1+X2+X3+x4是否为定值，并说明你的理由. 试卷第3页（共3页）