16.3 乘法公式 基础夯实练2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3 乘法公式 基础夯实练2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 2．计算：（　　） A．535000 B．835000 C．585000 D．无法计算 3．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 5．已知，则a的值为（    ） A．4 B．±4 C．2 D．12 6．若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 7．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 8．某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法： ①方案一、方案二提价一样； ②方案一提价有可能高于方案二提价； ③三种方案中，方案三的提价最多； ④方案三的提价有可能低于方案一的提价． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 9．小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 二、填空题 10．化简的结果是_____ ． 11．若多项式是一个完全平方式，则_____． 12．现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为___________． 13．若，则________． 14．若，则的最大值是______． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) 16．（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． 比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a，b表示）；    （2）已知：，求的值； （3）计算：． 17．如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法表示该图形阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）①______；②______； (2)若图中满足，求的值． 18．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，每个小长方形的长为，宽为． (1)用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简； (2)当，时，求该零件模型的面积． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A C C C A B A A 1．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，符合平方差公式； B、，不符合平方差公式； C、，不符合平方差公式； D、，不符合平方差公式； 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．利用平方差公式将原式转化为两个数的和与差的乘积计算即可． 【详解】解：． 故选A． 3．【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，结合面积相等，即可解题． 【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为， 乙图形阴影部分的长为，高为，则其面积为， 即， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方式把左边展开，并比较等式两边对应项的系数，建立方程求解a的值． 【详解】∵， 且给定， ∴． 比较x项系数：， ∴； 验证常数项：，符合． ∴a的值为2． 故选C． 6．【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式，对比原式确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴根据完全平方公式，可得， ∴． 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据图1阴影部分面积公式推导出与及的关系，结合图2阴影部分面积及选项特征求解． 【详解】解：甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意得：， ∴①， 又，点H为的中点， ∴， 图2中阴影的面积为②， 得：， 整理得， ∵， ∴，即， ∴图1的阴影部分面积 ． 8．【答案】A 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查列代数式，分别求出三次方案提价后变为原来的多少，再进行比较即可． 【详解】解：方案一：两次提价后变为原来的， 方案二：两次提价后变为原来的， 方案三：两次提价后变为原来的， 所以方案一和方案二提价一样，故①正确，②错误； ， ∵， ∴， ∴方案三提价最多，故③正确，④错误． 故选：A． 9．【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、完全平方公式、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 仿照小李同学的思路，由 表示 ，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ， ∴， ∴有最小值3． 故选A． 10．【答案】9 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先利用平方差公式计算多项式乘法，再去括号合并同类项即可得到化简结果. 【详解】解：原式 11．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【详解】因为多项式是一个完全平方式，且， 所以． 所以． 所以． 12．【答案】/ 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．根据正方形和的边长为和可得，，由完全平方公式变形即可得出答案． 【详解】解：正方形和的边长分别为和， 图甲阴影部分面积为：，图乙阴影部分面积为：， ． 故答案为：． 13．【答案】2 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先利用平方差公式化简，再求解平方根，即可. 【详解】解： ， ， ， ， ， . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了数的平方根，平方差公式，正确化简是解题的关键. 14．【答案】17 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用、非负数的性质，根据连等式将都转化为同一个参数是解题的关键． 设，用含的式子分别表示，通过计算可得，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为17， 即的最大值是17． 故答案为：17． 15．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】单项式乘多项式的应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 16．【答案】（1）；（2）45；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）利用两个面积相等列式即可得到乘法公式； （2）利用所得平方差公式变形，代入计算即可； （3）将算式乘以，再利用平方差公式逐步计算即可． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为，图②的面积为， ∵这两个面积相等， ． 故答案为：； （2）∵， ∴； （3） ． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． 17．【答案】(1)，； (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，解决问题的关键是熟练运用完全平方公式． （1）依据正方形和长方形的面积公式，即可得到该图形阴影部分的面积； （2）由（1）可得：，即可得出的值； 【详解】（1）解：①该图形阴影部分的面积， ②该图形阴影部分的面积； （2）由（1）可得：， ，， ， ， ； 18．【答案】(1) (2)67 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则． （1）根据该零件模型的面积=大长方形的面积-2个小长方形的面积，列出算式，再根据多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则进行化简即可； （2）把代入（1）中化简的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：该零件模型的面积为： ； （2）解：当时， 该零件模型的面积 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $