第1章 2.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦圆的标准方程这一核心知识点，从圆心坐标与半径的基础识别，到根据条件求圆的方程，再到点与圆的位置关系、圆的对称等综合应用，构建从基础到进阶的学习支架。 资料通过多样化题目设计，引导学生用数学眼光抽象问题（如设圆心坐标建模），用数学思维推理求解（如曲线方程化为圆的方程），用数学语言规范表达（如标准方程书写）。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺。

1．已知圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，则圆心坐标为(　　) A．(2，1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(－2，－1) 答案：B 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，1)的圆的标准方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析：选C．由题意，设圆心坐标为(0，b)，半径r＝1，可设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，由圆过点(1，1)可得1＋(1－b)2＝1，解得b＝1，则所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 3．曲线y＝与x轴围成区域的面积为(　　) A．4π B．2π C．π D． 解析：选B．曲线的方程可化为y2＝4－(x＋1)2(y≥0)，即(x＋1)2＋y2＝4(y≥0)，所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径r＝2的半圆，其面积为S＝πr2＝2π. 4．已知a，b是方程x2－x－2＝0的两个不等实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定 解析：选C．由a，b是方程x2－x－2＝0的两个不等实数根，得a＋b＝，ab＝－2，则a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝9>8，所以点P(a，b)在圆C外． 5．(2026·青岛月考)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5关于x轴对称的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 解析：选B．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5的圆心坐标为(－1，2)，故关于x轴对称的圆的圆心坐标为(－1，－2)，半径不变仍为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 6．(多选)(2026·哈尔滨期中)已知点P(－2，－3)和圆Q：(x－1)2＋(y－2)2＝9，下列说法正确的是(　　) A．圆Q的圆心为Q(1，2)，半径为r＝9 B．点P在圆Q外 C．圆Q关于直线2x＋y－4＝0对称 D．设点M是圆Q上任意一点，则|PM|的最小值为－3 解析：选BCD．圆Q的圆心为Q(1，2)，半径为r＝3，A错误； 因为|PQ|＝＝＞r，所以点P在圆Q外，B正确； 因为圆心Q(1，2)在直线2x＋y－4＝0上，所以圆Q关于直线2x＋y－4＝0对称，C正确； 因为|PQ|＝，圆Q的半径r＝3，所以－3≤|PM|≤＋3，D正确． 7．若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋(y＋a)2＝1的一条对称轴，则圆心坐标为________． 解析：圆x2＋(y＋a)2＝1的圆心为(0，－a)，因为直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以圆心(0，－a)在直线2x＋y－1＝0上，所以2×0＋(－a)－1＝0，解得a＝－1，故圆心坐标为(0，1). 答案：(0，1) 8．已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是________． 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，由得则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点坐标为(k－1，3k－1)，依题意得(k－1)2＋(3k－1)2<4，解得－<k<1.所以实数k的取值范围是(－，1). 答案：(－，1) 9．若半径为3的圆经过点(6，8)，则其圆心到原点的距离的最小值为________． 解析：设圆心坐标为(x，y)，则＝3，即(x－6)2＋(y－8)2＝9，即圆心轨迹是以(6，8)为圆心，3为半径的圆，圆心(6，8)到原点的距离为＝10，故圆(x－6)2＋(y－8)2＝9上的点到原点距离的最小值为10－3＝7，即半径为3的圆经过点(6，8)，则其圆心到原点的距离的最小值为7. 答案：7 10．(13分)求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(4分) (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(4分) (3)过两点C(－1，2)和D(1，2)，圆心在x轴上．(5分) 解：(1)由题意可知，r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)， 则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8， 所以圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)设圆心为M(a，0)， 因为|MC|＝|MD|，所以(a＋1)2＋(0－2)2＝(a－1)2＋(0－2)2， 即a2＋2a＋1＋4＝a2－2a＋1＋12， 所以a＝2，r＝|MC|＝， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝13. 11．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为(　　) A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－4)2＋(y－2)2＝4 C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 D．(x－2)2＋(y－4)2＝4 解析：选A．由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0，0)，圆C1和圆C2的半径均为2，设圆心C1(0，0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)， 则解得 所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4. 12．(多选)设圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆C的面积都是4π B．存在k∈R，使得圆C过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 解析：选AD．对于A，不论k取何值，圆C的半径都是2，故面积都是4π，故A正确； 对于B，由于(3－k)2＋(0－k)2＝2k2－6k＋9＝2(k－)2＋≥>4，故圆C必定不过点(3，0)，故B错误； 对于C，对于k＝2－和k＝2＋，均有(2－k)2＝2，故(2－k)2＋(2－k)2＝4，即圆C经过点(2，2)，故C错误； 对于D，圆心(k，k)始终在直线y＝x上，故D正确． 13．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点C(3，1)，直线2x＋y－4＝0与x轴、y轴分别交于点A，B，圆M经过A，B，C三点． (1)求圆M的标准方程；(6分) (2)判断点D(2，4)，E(2，5)，F(2，3)是否在圆M上．(7分) 解：(1)由题可得A(2，0)，B(0，4)，又C(3，1)，设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 解得故圆M的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. (2)由(1)得圆M的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 代入D(2，4)得(2－1)2＋(4－2)2＝5，故点D在圆M上； 代入E(2，5)得(2－1)2＋(5－2)2＝10>5，故点E在圆M外； 代入F(2，3)得(2－1)2＋(3－2)2＝2<5，故点F在圆M内． 14．(15分)已知圆心为C的圆经过O(0，0)，A(0，2)两点，且圆心C在直线l：y＝x上． (1)求圆C的标准方程；(7分) (2)点P在圆C上运动，求|PO|2＋|PA|2的取值范围．(8分) 解：(1)由圆经过O(0，0)，A(0，2)两点，得圆心在OA的中垂线y＝上， 又圆心C在直线l：y＝x上， 联立得 即圆心为C(1，)，又r2＝|CO|2＝4， 故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝4. (2)设P(x0，y0)，易知x0∈[－1，3]， 则|PO|2＋|PA|2＝x＋y＋x＋(y0－2)2＝2x＋2(y0－)2＋6，(*) 因为点P在圆C上运动， 则(x0－1)2＋(y0－)2＝4， 故(*)式可化简为|PO|2＋|PA|2＝2x＋2[4－(x0－1)2]＋6＝4x0＋12，由x0∈[－1，3]得|PO|2＋|PA|2的取值范围为[8，24]. 15．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在△ABC中，A(－2，0)，B(4，4)，C(2，2)，则△ABC的九点圆的方程是____________________________________． 解析：记△ABC的边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，则AB边的中点M(1，2)，BC边的中点N(3，3)，AC边的中点P(0，1)， 因为直线MP的斜率kMP＝＝1，线段MP的中点坐标为(，)， 所以线段MP的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，即y＝－x＋2. 因为直线NP的斜率kNP＝＝，线段NP的中点坐标为(，2)， 所以线段NP的垂直平分线方程为y－2＝－(x－)，即y＝－x＋. 联立解得 由垂径定理推论得，(，－)即为圆心， 结合圆上点P(0，1)可得半径 r＝＝， 所以△ABC的九点圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝. 答案：(x－)2＋(y＋)2＝ 学科网（北京）股份有限公司 $