第一章 空间向量与立体几何 单元综合测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年高二选择性必修1第一章综合测试 满分：150分 用时：120分钟 命题人：周宝连 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面（    ） A．垂直 B．平行或在平面内 C．平行 D．在平面内 3．设为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 4．在四棱锥中，若，则实数组可能为（    ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．3 D． 6．已知点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D．5 7．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）   A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 8．已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，答对部分按比例得分，有错误选项不得分，共18分） 9．下列命题中是假命题的是（    ） A．若为空间的一个基底，则不能构成空间的另一个基底 B．若非零向量与平面内一个非零向量平行，则所在直线与平面也平行 C．若平面的法向量分别为，则 D．已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则 10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面的对称点的坐标为_________． 13．已知四面体的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则________. 14．已知向量，，，则______； _______. 四、解答题（第15题13分，第16，17题每题15分，第18，19题每题17分，共77分） 15．如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 16．已知，，. (1)求的值； (2). 17．如图，在正方体中，M，N分别为棱AD，的中点，设，，，试分别用，，表示，． 18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 19．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，在底面内的射影分别为，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 2026年高二选择性必修1第一章综合测试试卷第1页（共3页） 2026年高二选择性必修1第一章综合测试试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年高二选择性必修1第一章综合测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B A A B D C BCD BC BD 1．B 【分析】依题意可得两平面的法向量共线，即可得到，从而得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，即，解得； 故选：B． 2．B 【解析】计算出，即可判断得解. 【详解】． ． 或． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用向量判断直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．B 【分析】利用空间向量与立体几何的关系即可得到二者的逻辑关系，进而可得“”是“”的必要非充分条件. 【详解】为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量， 则由 ，可得或，则“”不是“”的充分条件； 由，可得，则“”是“”的必要条件. 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 4．A 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断BCD． 【详解】选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，A可能取得； 选项B，若，则，B错误； 选项C，若，则，C错误； 选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，D错． 故选：A． 5．A 【分析】首先求得点B的坐标，然后根据距离公式求解点到轴的距离. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以， 所以点到轴的距离， 故选：A． 6．B 【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可. 【详解】设， 可求得， 所以． 故选：B 7．D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用空间向量求出线线角的余弦判断C；利用等体积法确定的体积情况判断B. 【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别 为轴建立空间直角坐标系，  设正方体棱长为2，则 ， 由在线段上运动，设（）， 则， 平面的法向量，显然， 则直线与平面不平行，A错误； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得， 当时，，因此平面，D正确； 点在正方体的对角面矩形的边上，则， 而平面平面，则，又， 可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误. 故选：D 【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，可选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 8．C 【分析】依题意可得轴的方向向量可以为，再利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解； 【详解】解：依题意轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以， 故选：C 9．BCD 【分析】由可判断选项A；利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D. 【详解】选项A. 设,即 由为空间的一个基底，即不共面，则，解得 即，所以共面，即不能构成空间的另一个基底，故选项A正确. 选项B. 若非零向量与平面平行，则所在直线可能与平面平行，也可能在平面内，选项B不正确； 选项C. 显然向量不共线，因此平面不平行，选项C不正确； 选项D. 由，得直线与平面平行，也可能直线在平面内，选项D不正确； 故选：BCD 10．BC 【分析】利用共面向量定理，对于A观察即可发现满足定理条件，即可确定三个向量共面；对于BCD，先假设向量共面，由定理列出方程组，根据方程组是否有解判断向量是否共面即可得解. 【详解】解：由题意，∵构成空间的一个基底， ∴是不共面的非零向量. 对于选项A，∵， ∴，，共面，故A错误； 对于选项B，假设，，共面， 则存在实数使得， ∴，方程组无解，故假设不成立， ∴，，不共面，故B正确； 对于选项C，假设，，共面， 则存在实数使得， ∴，方程组无解，故假设不成立， ∴，，不共面，故C正确； 对于选项D，假设，，共面， 则存在实数使得， ∴，解得：，即， ∴，，共面，故D错误； 故选：BC. 11．BD 【分析】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可. 【详解】A： 与夹角的余弦值为，夹角为，故A错误； B： 与夹角的余弦值为，夹角为，故B正确； C： 与夹角的余弦值为，夹角为，故C错误； D： 与夹角的余弦值为，夹角为，故D正确； 故选：BD 12． 【分析】根据空间点关于平面对称点的特点即可得到答案. 【详解】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以. 故答案为：. 13． 【分析】在四面体中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又， 再根据数量积的定义求解． 【详解】由题意可得，所以． 故答案为：.   14． 0 1 【分析】由向量模的坐标公式运算可求得，再由向量数量积的坐标运算计算出数量积。 【详解】由题意，解得， 。 故答案为：0；1。 【点睛】本题考查空间向量模的坐标运算，考查数量积的坐标运算，属于基础题。 15．（1）；（2）；（3）. 【分析】根据三棱柱的几何特征，结合空间向量加减、数乘的几何意义化简各式. 【详解】（1）由空间向量加法的几何意义知：； （2）∵，则，又， ∴. （3），则， ∴. 16．(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 17．，. 【分析】利用向量的线性运算可得两个向量的线性表示. 【详解】， . 18．(1). (2) 【分析】（1）根据底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设异面直线AF与EC所成角为α，|求解； （2）根据直线EC的一个方向向量，结合=（0，2，1），||=，由d=求解. 【详解】（1）解：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， 所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，0，1），E（2，1，0），P（0，0，2），C（0，2，0）. 所以=（2，0，1），=（2，1，0）， 设异面直线AF与EC所成角为α，则=， 所以异面直线AF与EC所成角的余弦值为. （2）因为=（2，1，0），所以直线EC的一个方向向量. 又=（0，2，1），||=， 所以点F到直线EC的距离d===. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可证、，则可得面，即可知，又，则可得面，即可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为在底面内的射影为，所以面面， 又因为，面面，面 所以面， 又因面因此， 同理， 又,面,面 所以面， 又面,所以， 连接，易得，，又， 所以 所以 故， 又,面,面 因此面， 又面 即； （2）由（1），以分别为的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，，则 ，所以， 取，可得， 设平面的法向量为，，则 ，所以， 取，可得， 所以， 结合图形可得二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 2026年高二选择性必修1第一章综合测试答案第1页（共2页） 2026年高二选择性必修1第一章综合测试答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $