第一章空间向量与立体几何单元测试卷（一）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何 单元测试卷（一） （2026—2027学年 · 人教A版（2019）新教材 · 高二数学 · 选择性必修第一册） 满分：100分　　考试时间：90分钟 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．本卷为试题卷，满分100分，考试时间90分钟，请在答题卡（或答题区域）上作答。 2．答题前，请认真填写班级、姓名等信息。 3．考试结束后，请将试题卷交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项） 1．已知向量 ，，则 ＝（　　） 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　D． 2．已知向量 ，，则 ＝（　　） 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　D． 3．下列各组向量中，能作为空间的一组基底的是（　　） 　　A．，， 　　B．，， 　　C．，， 　　D．，， 4．已知平面 内两个向量 ，，则平面 的一个法向量为（　　） 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　D． 5．已知直线 与 的方向向量分别为 ，，则 与 所成角的大小为（　　） 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　D． 6．已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　D． 7．已知平面 经过原点 ，其法向量为 ，则点 到平面 的距离为（　　） 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　D． 8．已知两平面的法向量分别为 ，，则两平面所成锐二面角的大小为（　　） 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．已知向量 ，，若 ，则 ＝＿＿＿＿＿＿。 10．已知向量 ，，则 ＝＿＿＿＿＿＿。 11．已知向量 ，则 ＝＿＿＿＿＿＿。 12．已知向量 ，，则 在 方向上的投影数量为＿＿＿＿＿＿。 13．已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为＿＿＿＿＿＿。 14．四面体 中， 为 的中点， 为 的中点，若向量 ，则 ＝＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共5小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（10分）已知向量 ，。 （1）求 与 的坐标； （2）求 ，； （3）求 。 16．（10分）已知 ，，，。 （1）求平面 的一个法向量； （2）求点 到平面 的距离。 17．（12分）如图，在棱长为 1 的正方体 - 中，以 为原点，、、 所在直线分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。 （1）求 与 所成角的余弦值； （2）证明： 平面 ； （3）求点 到平面 的距离。 18．（12分）如图，直三棱柱 - 中，，，，以 为原点，、、 所在直线分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。 （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求二面角 -- 的余弦值； （3）求点 到平面 的距离。 19．（14分）如图，四棱锥 - 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ，，以 为原点，、、 所在直线分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。 （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求二面角 -- 的余弦值； （3）求点 到平面 的距离。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 1．A　　2．C　　3．B　　4．D　　5．B　　6．D　　7．A　　8．C 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．　　10．　　11． 12．　　13．　　14． 三、解答题（共58分） 15．空间向量坐标运算（10分） （1），（3分） 。（3分） （2），（1分） 。（1分） （3）， ∴ 。（2分） 16．法向量与点到平面距离（10分） （1），，（2分） 设 为平面 的法向量，则 ，， 即 ，，取 ，得 。（3分） （2）平面 过点 ，其方程为 ，（2分） 。（3分） 17．正方体中的空间向量（12分） （1），，，，，，，，（1分） ，，（1分） ∴ 。（2分） （2），（1分） ，，设平面 的法向量为 ， 由 ，，取 ，得 ，（2分） ∵ 与 共线， ∴ 平面 。（1分） （3），（1分） 点 到平面 的距离 。（3分） 18．直三棱柱中的空间向量（12分） （1），，，，，，（1分） ，平面 的一个法向量 ，（1分） 设直线 与平面 所成角为 ，则 。（2分） （2），，（1分） 设平面 的法向量为 ， 由 ，，取 ，得 ；（1分） 平面 的一个法向量为 ， ， ∴ 二面角 -- 的余弦值为 。（2分） （3），（1分） 点 到平面 的距离 。（3分） 19．四棱锥中的空间向量（14分） （1），，，，，（1分） ，平面 的一个法向量 ，（1分） 设直线 与平面 所成角为 ，则 。（2分） （2），，（1分） 设平面 的法向量为 ， 由 ，，取 ，得 ；（2分） 底面 的一个法向量为 ， ， ∴ 二面角 -- 的余弦值为 。（2分） （3）平面 过点 ，，（1分） 点 到平面 的距离 。（4分） 附：双向细目表（教师用） 题号 题型 考查内容（对应节次） 分值 难度预估 1 选择 空间向量坐标减法（1.1/1.3） 3 基础 2 选择 数量积坐标运算（1.1.2/1.3.2） 3 基础 3 选择 空间向量基底判定（1.2） 3 基础 4 选择 平面法向量求法（1.4.1） 3 基础 5 选择 线线角（方向向量）（1.4.2） 3 中档 6 选择 线面角正弦（1.4.2） 3 中档 7 选择 点到平面距离（1.4.2） 3 中档 8 选择 二面角（法向量夹角）（1.4.2） 3 中档 9 填空 平行（共线）坐标条件（1.3.2） 3 基础 10 填空 数量积坐标运算（1.3.2） 3 基础 11 填空 向量模长公式（1.3.2） 3 基础 12 填空 投影数量（1.3.2） 3 中档 13 填空 线面角正弦（1.4.2） 3 中档 14 填空 空间向量基本定理（1.2） 3 中档 15 解答 坐标运算与夹角（1.3） 10 中档 16 解答 法向量与点到面距离（1.4） 10 中档 17 解答 正方体建系（线线角/垂直/距离）（1.4） 12 中档 18 解答 直三棱柱建系（线面角/二面角/距离）（1.4） 12 较难 19 解答 四棱锥建系（线面角/二面角/距离）（1.4） 14 较难 难度分布：基础 7 题 27 分；中档 10 题 47 分；较难 2 题 26 分，合计 100 分。 1 学科网（北京）股份有限公司 $