北京市第四中学2026-2027学年高二上学期数学空间向量与立体几何单元测试卷

北京四中高二《立体几何阶段性测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C B C C C B D 1．C 【分析】由空间向量的运算法则可得. 【详解】. 故选：C. 2．A 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故, 故选：A 3．D 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：点是靠近的三等分点， . 故选：D. 4．C 【分析】根据四点共面得到，然后列出等式求得参数的值. 【详解】因A，B，C，D共面，故， 即， 解得，，即，. 故选：C. 5．B 【分析】选定基底，利用空间向量的运算表示出向量，平方后结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知点是与的交点，即O为的中点， 故， 所以 ， 故， 故选：B 6．C 【分析】利用空间向量模及数量积的坐标表示，结合垂直关系的向量表示及运算律列式求解. 【详解】由，，得， ，由， 得，所以. 故选：C 7．C 【分析】建立空间直角坐标系，写出，，，的坐标，求出，的坐标，利用向量的数量积公式求解. 【详解】平面，底面为正方形， 以为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ，， ，，，，， 为的中点，为的中点，，，， ，. 故选：C. 8．C 【分析】由点的坐标写出向量坐标，由空间共面向量定理得到的等式，利用基本不等式求出的最小值，从而求得的最小值. 【详解】， ， 又因为D在平面内，所以，即， 所以，当且仅当时取等号. 所以. 故选：C. 9．B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立点坐标间的等式，再分类讨论得解. 【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，设， ，，于是， 整理得，显然点不能在坐标轴上，否则， 当时，， 而，无解，即点不能在棱上； 当时，， 若，则；若，则无解；若，则， 于是点不能在棱上，可以在棱上； 当时，， 若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上， 所以可以在棱上，点P的个数为3. 故选：B 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角的求法建立等式，分类讨论求解. 10．D 【分析】连接，易知为线段与的交点，即为线段上靠近D的三等分点，将周长的最小值问题转化到平面上几何知识连接两点间的线中线段最短与平面几何中对称问题处理，最后由余弦定理求得的长度即可. 【详解】连接，易知为线段与的交点，即为线段上的点，由勾股定理可知，则， 分别作点关于线段，的对称点，，且由对称关系有垂直关系且显然为等边三角形，即， 由等边三角形对称问题可求得， 据余弦定理得， 由平面几何知识连接两点间的线中线段最短，得周长的最小值为.      故选：D 【点睛】本题考查空间中三角形周长的最值，涉及空间中直线与对称点的算法，属于难题. 11．/ 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 12． 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 13． 【分析】根据条件建立空间直角坐标系，表示向量，结合公式求解即可得到结果. 【详解】 设，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴， ∴， ∴与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14． 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，向量法表示出二面角的平面角的余弦值，结合题意建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围． 【详解】以A为原点，以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则， ，，且平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，有，可得 ，                                                   设二面角的大小为，则， 化简得，所以， 所以实数k的取值范围. 故答案为： 15．①②④ 【分析】利用锥体和柱体的体积公式可判断①；利用线面角的定义可判断②；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断③；取点为的中点，利用空间向量法可判断④. 【详解】对于①，当与重合时， ，①对； 对于②，过点作分别交、于点、，连接、， 过点作分别交、于点、，连接、， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，则，且，故平面， 因为平面，平面，则， 又因为，，、平面，故平面， 故，同理可得， 所以，为定值，②对； 对于③，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设点，则， 则，， 所以，， 故不存在、，使得，③错； 对于④，不妨取点，则点，则、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 所以，， 故底面与平面夹角的余弦值为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 所以，， 即底面与平面所成夹角的余弦值为， 同理可知，底面与平面所成夹角的余弦值为， 此时，点为棱的中点，则平面平面， 则底面与平面夹角的余弦值为，④对. 故答案为：①②④. 16．(1) 证明：因为平面，平面，所以． 在中，． 在直角梯形中， 由，，可求得，所以． 因为，所以为的中点． 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面平面，所以． 所以， 所以为的中点； (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理可得为的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得，即可得出证明； （2）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，易知是平面的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果. （3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 在中，． 在直角梯形中， 由，，可求得，所以． 因为，所以为的中点． 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面平面，所以． 所以， 所以为的中点； （2）由题可知因为平面，所以． 又，所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则,,,，,, 所以，，． 设平面的法向量为，则，即 令，则，．于是． 因为平面，且，所以平面， 又平面，所以． 又，且为的中点，所以．平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量． ． 由题设，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． （3）,,,， 则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以， 所以点A到平面的距离为， 所以点A到平面的距离为 17．(1)证明：因为平面平面，平面平面， 又，平面ABCD， 所以平面. (2)存在，，理由如下： 以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系：    则， 设，则， ， ， 设平面平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设平面平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 . 若使得平面平面， 则，即， 解得， 所以线段上存在点，使得平面. (3)假设存在点N，在线段上，使得， 如图所示：    连接AC，取其中点G，在中， 因为M，G都是边的中点， 所以 ， 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行， 所以MG与MN重合， 所以点N在线段AC上， 所以N是AC，BC的交点C，即MN就是MC，而MC与PC相交，矛盾， 所以假设错误，问题得证. 【分析】（1）根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明. （2）以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立空间直角坐标系：设，则，分别求得平面平面的一个法向量，和平面平面的一个法向量，根据若使得平面平面，则求解. （3）假设存在点N，使得，连接AC，取其中点G，易证，再利用过直线外一点只有一条直线和已知直线平行证明. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，平面ABCD， 所以平面. （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：1、几何法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 2、向量法：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 18．(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）取的中点为，通过证明AF、BE相交于点G，且G在直线l上，从而找出具体的直线l，在此基础上，进一步找出点Q，并同时根据中位线将PQ和BC联系起来即可； （2）（ⅰ）取的中点O，连接，，，，通过题干的垂直关系及体积大小列等式解出，从而证明为正三棱柱，最后再根据几何关系证明为所求二面角，并求出正切值即可；（ⅱ）以为原点建立空间直角坐标系，并设，通过列代数方程组解出M点的坐标即可． 【详解】（1）如图，取的中点为，连接，， 由，，得， 因为四边形为正方形，所以， 则，所以，，，四点共面， 因为，所以，的延长线相交，设交点为， 因为平面平面，所以平面，平面， 即为平面与平面的公共点， 又为平面与平面的公共点，连接，则直线即为交线， 因为在同一平面内两条相交直线有且仅有1个交点，所以与重合， 取的中点为，连接， 因为，，同理，， 所以． （2）（ⅰ）设为的中点，连接，，，，如图所示， 由（1）知，， 所以几何体是以和为底面的三棱柱， 因为平面，即平面， 所以三棱柱为直三棱柱， 则， 解得， 因为为锐角，所以， 即三棱柱为正三棱柱， 所以，，则，， 所以为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． （ⅱ）由（ⅰ）知平面，以为原点，以过点且在平面内与垂直的直线为轴， ，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设球心，则， 所以①， ②， ③， 由①②③解得，，， 所以球心的坐标为，则， 所以球的表面积为． 答案第14页（共15页） 答案第15页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京四中立体几何阶段性测试 一、单选题（每题5分，共50分） 1．已知空间中任意四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（   ） （3题） （5题） A． B． C． D． 4．已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 5．如图，已知斜三棱柱中，，，点是与的交点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．已知，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点．若，，则（   ） A．0 B．-4 C．-8 D．8 8．在空间直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 9．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 10．在棱长为3的正方体中，为棱的中点，为线段上的点，且，若点分别是线段，上的动点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，共25分） 11．如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 12．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 13．在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为__________. 14．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是__________. 15．如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论： ①当与重合时，五面体的体积为； ②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变； ③存在、，使得； ④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等． 其中，所有正确结论的序号为__________． 三、解答题（每题15分，共45分） 16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，．E为棱PC上一点，且，平面ABE与棱PD交于点F． (1)求证：为PD的中点；(2)求二面角的余弦值；(3)求点A到平面的距离． 17．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，且，，. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由； (3)若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行. 18．在四棱锥中，四边形为正方形，，为锐角，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点． (1)求线段的长度； (2)若平面，几何体的体积为． （ⅰ）求平面与平面夹角的正切值； （ⅱ）若四面体的所有顶点均在球的球面上，求球的表面积． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $