第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷（二）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章　圆锥曲线的方程 单元检测卷 满分：150分　　考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在椭圆上，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．如图，抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，过点 作 的垂线，垂足为 ，若 为等边三角形，则 （　　） 图1 A． B． C． D． 4．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．若直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 且垂直于 轴的直线与该双曲线交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在椭圆上，若 ，则该椭圆离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点，则 （　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知曲线 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 是焦点在 轴上的椭圆 B．当 时， 是圆 C．当 时， 是焦点在 轴上的椭圆 D．当 时， 是焦点在 轴上的双曲线 10．已知椭圆 与双曲线 的焦点分别为 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 与 有相同的焦点 B． 的离心率为 C． 的离心率为 D．若 是 与 的一个公共点，则 11．已知双曲线 的离心率为 ，则下列结论正确的是（　　） A． 越大，双曲线的开口越阔 B．若 ，则该双曲线为等轴双曲线 C．双曲线的渐近线方程为 D．若实轴长与虚轴长相等，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点 在抛物线 上，且点 到 的焦点的距离为 ，则 ________。 13．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为 ________。 14．已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 ，则 的标准方程为 ________。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程。 （1）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 ， 两点的椭圆； （2）焦点在 轴上，实轴长为 ，且渐近线方程为 的双曲线。 16．（15分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点。 （1）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的值； （3）求 面积的最大值。 17．（15分）已知双曲线 ，直线 。 （1）求 的离心率与渐近线方程； （2）若直线 与 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围； （3）若直线 与 交于 ， 两点，且 ， 在双曲线的同一支上，求实数 的取值范围。 18．（17分）如图，已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 ， 两点，过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ， 为坐标原点。 图2 （1）证明：，， 三点共线； （2）证明：； （3）求四边形 面积的最小值。 19．（17分）如图，已知椭圆 ，，是椭圆 上异于顶点的两个动点，且 （ 为坐标原点）。 图3 （1）证明： 为定值； （2）求 面积的最小值； （3）证明：直线 恒与一个定圆相切，并求出该圆的方程。 参考答案与评分标准 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．A　解析：，，焦点在 轴上，准线方程为 。 2．B　解析：，由椭圆定义 ，故 。 3．C　解析：设 ，则 。由抛物线定义，。因 为等边三角形，故 ，即 。将 代入得 ，即 ，解得 （舍去 ）。所以 。 4．C　解析：渐近线 经过点 ，得 ，故 。 5．C　解析：联立得 。当 ，即 时，方程为一次方程，只有一个公共点（直线平行于渐近线）；当 时，由 得 （相切）。综上，。 6．A　解析：通径长 ，由 得 ，即 ，两边同除以 得 ，解得 （负值舍去）。 7．B　解析：由 及 得 。又 ，故 ，即 ，；而 恒成立，故 。 8．A　解析：设直线 ，代入 得 ，则 ，。故 。 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．ABC　解析：A： 时 且 ，焦点在 轴上，正确；B： 时方程为 ，是圆，正确；C： 时 ，焦点在 轴上，正确；D： 时方程为 ，是焦点在 轴上的双曲线，错误。 10．ABC　解析： 中 ， 中 ，焦点均为 ，A 正确； 的离心率 ，B 正确； 的离心率 ，C 正确；若 为公共点，则 且 ，得 ，由 ，知 与 不垂直，D 错误。 11．ABC　解析： 随 增大而增大，开口越阔，A 正确； 时 ，为等轴双曲线，B 正确；渐近线斜率 ，C 正确；实轴长与虚轴长相 等即 ，此时 ，D 错误。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．　解析：由抛物线定义， 到焦点的距离等于 到准线 的距离，故 ，解得 。 13．　解析：由 及 得 ，故 ，焦距 。 14．　解析：由 得 。代入点 得 ，即 ，解得 ，。所以 的标准方程为 。 四、解答题（共77分） 15．（1）设椭圆的方程为 。将 ， 两点坐标代入得 解得 ，。所以椭圆的标准方程为 。（7分） （2）由实轴长为 得 ；由渐近线方程 得 ，故 ，。所以双曲线的标准方程为 。（6分） 16．（1）联立 消去 并整理，得 。由 ，得 ，即 。（5分） （2）由（1）知 ，故 。令 ，得 ，即 ，所以 （均满足 ）。（5分） （3）原点 到直线 的距离 ， 的面积 。令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号。所以 面积的最大值为 。（5分） 17．（1）由 得 ，，，故离心率 ，渐近线方程为 。（4分） （2）联立 消去 并整理，得 。当 ，即 时，直线与 只有一个公共点，不合题意；当 时，由 ，得 。综上， 的取值范围为 。（5分） （3）设 ，，则 。， 在同一支上等价于 ，即 ，。结合（2）中 ，得 ，所以 的取值范围为 。（6分） 18．（1）设直线 ，代入 得 ，则 。因为 在抛物线上，所以 ，故直线 的斜率 ；又 ，直线 的斜率 。所以 ，即 ，， 三点共线。（6分） （2）由 ，，，得 ，，所以 ，故 。（5分） （3）因为 轴，所以四边形 为梯形，其面积 。由（1）知 ，，则 ，。所以 ，当且仅当 ，即直线 垂直于 轴时取等号。故四边形 面积的最小值为 。（6分） 19．（1）设直线 的斜率为 （由 ，直线 的斜率为 ）。因为 在椭圆上，将 代入 得 ，所以 ；同理 。所以 ，为定值。（6分） （2）设 ，，由（1）知 ，则 ，即 ，当且仅当 （此时 ）时取等号。所以 ，即 面积的最小值为 。（5分） （3）设 到直线 的距离为 。在 中，由面积法得 ，故 ，从而 （定值），即 。所以直线 恒与以原点 为圆心、半径为 的圆相切，该圆的方程为 。（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章　圆锥曲线的方程 单元检测卷 满分：150分　　考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在椭圆上，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．如图，抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，过点 作 的垂线，垂足为 ，若 为等边三角形，则 （　　） 图1 A． B． C． D． 4．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．若直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 且垂直于 轴的直线与该双曲线交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在椭圆上，若 ，则该椭圆离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点，则 （　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知曲线 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 是焦点在 轴上的椭圆 B．当 时， 是圆 C．当 时， 是焦点在 轴上的椭圆 D．当 时， 是焦点在 轴上的双曲线 10．已知椭圆 与双曲线 的焦点分别为 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 与 有相同的焦点 B． 的离心率为 C． 的离心率为 D．若 是 与 的一个公共点，则 11．已知双曲线 的离心率为 ，则下列结论正确的是（　　） A． 越大，双曲线的开口越阔 B．若 ，则该双曲线为等轴双曲线 C．双曲线的渐近线方程为 D．若实轴长与虚轴长相等，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点 在抛物线 上，且点 到 的焦点的距离为 ，则 ________。 13．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为 ________。 14．已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 ，则 的标准方程为 ________。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程。 （1）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 ， 两点的椭圆； （2）焦点在 轴上，实轴长为 ，且渐近线方程为 的双曲线。 16．（15分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点。 （1）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的值； （3）求 面积的最大值。 17．（15分）已知双曲线 ，直线 。 （1）求 的离心率与渐近线方程； （2）若直线 与 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围； （3）若直线 与 交于 ， 两点，且 ， 在双曲线的同一支上，求实数 的取值范围。 18．（17分）如图，已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 ， 两点，过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ， 为坐标原点。 图2 （1）证明：，， 三点共线； （2）证明：； （3）求四边形 面积的最小值。 19．（17分）如图，已知椭圆 ，，是椭圆 上异于顶点的两个动点，且 （ 为坐标原点）。 图3 （1）证明： 为定值； （2）求 面积的最小值； （3）证明：直线 恒与一个定圆相切，并求出该圆的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $