阶段质量评价 第三章 圆锥曲线的方程-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教A版）

**基本信息** 本卷聚焦圆锥曲线方程与性质，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，题型梯度分明，结合高考真题与文化情境，适合高中数学第三章单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|抛物线标准方程、双曲线渐近线、椭圆离心率等|基础概念与定义应用，如结合圆外切求双曲线轨迹，体现几何直观| |多项选择|3/18|直线与抛物线位置关系、双曲线与抛物线焦点等|多选项辨析，考查性质综合应用，如判断焦点三角形面积最值，培养逻辑推理| |填空题|3/15|双曲线方程求法、椭圆轨迹方程、离心率范围|逆向思维与计算，如用渐近线设方程求参数，发展数学建模| |解答题|5/77|双曲线方程、椭圆焦点弦（北京高考题）、折纸情境双曲线等|综合应用与创新情境，如结合折纸活动抽象双曲线定义，渗透数学应用意识|

[阶段质量评价]第三章　圆锥曲线的方程 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.焦点坐标为(-1,0)的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-2x B.x2=2y C.x2=-4y D.y2=-4x 解析:选D　焦点坐标为(-1,0),则抛物线开口向左,焦点在x轴上,故抛物线的标准方程是y2=-4x. 2.若双曲线C:-=1的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选D　由题意可知9+m=⇒m=7,即C:-=1,令-=0⇒y=±x. 3.椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则离心率e= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,所以2a=2×2b,则a=2b,所以e====. 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,点A(x0,2)在抛物线C上,且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= (　　) A. B.1 C. D.2 解析:选C　因为点A(x0,2)在抛物线上,|AF|=3|OF|,所以x0+=,所以x0=p,所以A(p,2),所以4=2p2,解得p=. 5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在 (　　) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 解析:选D　由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r, ∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴根据双曲线定义知点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上. 6.直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选A　法一　联立得-=1,方程组无解,说明直线与双曲线没有交点. 法二　由-=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线,因此交点个数为0. 7.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,|PF1|=4|PF2|,则C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　如图所示,根据题意可设|PF2|=m,|PF1|=4m,m>0,易知|F1F2|=2c.由余弦定理可知cos∠F1PF2===-,可得c2=m2,即c=m.由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=3m=2a,即a=.所以离心率e==. 8.已知椭圆E:+=1上,过左焦点F1的直线l与椭圆E交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=2,则直线l的斜率k的值为 (　　) A. B.± C. D.± 解析:选C　由椭圆方程可得F1(-1,0),设直线l的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组可得(3m2+4)y2-6my-9=0,则y1+y2=,y1y2=,由=2得(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),则-y1=2y2,代入上式得y2=,-2=,解得m2=,则m=±,则直线的斜率为±,又点A位于x轴上方,所以斜率为. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.直线y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于A,B两点,下列说法正确的是 (　　) A.抛物线C的准线方程为y=- B.拋物线C的焦点为 C.若O为原点,则∠AOB=90° D.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+1 解析:选BC　由C:y2=2x,则其焦点为F,准线方程为x=-,A错误,B正确;联立直线与拋物线方程得y2-2y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,y1y2=-4,而x1x2==4,由·=x1x2+y1y2=0,即⊥,故C正确;显然直线y=x-2不过焦点F,由拋物线定义有|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AF|+|BF|=x1+x2+1>|AB|,D错误. 10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与抛物线x2=4y的焦点之间的距离为2,且C的离心率为,则下列说法正确的有 (　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的标准方程为x2-=1 C.C的顶点到渐近线的距离为 D.曲线y=-1经过C的一个焦点 解析:选ABD　设抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),双曲线C的一个焦点坐标为F1(c,0)(c>0),由题意可知|FF1|=2,所以有=2⇒c=或c=-(舍去),又因为C的离心率为,所以e==⇒a=1⇒b===.因为a=1,b= ,所以C的渐近线方程为y=±x,故A正确;因为a=1,b=,所以C的标准方程为x2-=1,故B正确;设C的一个顶点坐标为(1,0),它到渐近线x-y=0的距离为=,根据双曲线和渐近线的对称性可知,C的顶点到渐近线的距离为,故C不正确;当x=-时,y=-1=0,而(-,0)恰好是双曲线的一个焦点,故D正确. 11.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点,则下列说法正确的是 (　　) A.△PF1F2的周长为2+4 B.△PF1F2面积的最大值为2 C.若A(1,0),则|PA|的最小值为-1 D.的最小值为- 解析:选ABD　由椭圆方程+y2=1可知,a=,b=1,c=2,所以△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2+4,故A正确;因为点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点,所以0<|y0|≤1,所以△PF1F2的面积=|F1F2||y0|=2|y0|≤2,当|y0|=1,即y0=±1时,此时点P位于短轴端点,△PF1F2的面积最大,最大为2,故B正确;由A(1,0),点P(x0,y0),且+=1,因为|PA|===,当x0=时,|PA|取最小值,且最小值为,故C错误;的几何意义为P(x0,y0)与点M(-4,0)两点连线的斜率,设为k,由得(1+5k2)x2+40k2x+80k2-5=0,Δ=-4(5k2+1)·(80k2-5)=20(1-11k2)≥0,解得-≤k≤, 如图,当直线y=k(x+4)与椭圆C相切时,kmin=-,所以的最小值为-,故D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.已知双曲线的两条渐近线方程为x±y=0,并且经过点A(,1),则该双曲线的标准方程是　　　　　　　　　. 解析:依题意可设双曲线方程为mx2-ny2=1,m,n>0.由渐近线方程为x±y=0可得n=2m,将点A(,1)代入可得6m-n=1,解得m=,n=,所以双曲线标准方程为-=1. 答案:-=1 13.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是　　　　　　 　.  解析:因为|BC|=8,所以|AB|+|AC|=12>8,则顶点A的轨迹是椭圆,其中2a=12,a=6,c=4,b2=20,则顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0). 答案:+=1(x≠0) 14.设a>b>0,椭圆+=1的离心率为e1,双曲线-=1的离心率为e2,若e1e2<1,则的取值范围是　　　　　.  解析:记椭圆、双曲线的半焦距分别为c1,c2,由题意知=a2-b2,=b2+a2-2b2=a2-b2,则椭圆与双曲线共焦点,设c1=c2=c,则e1=,e2=,∴e1e2=,∵e1e2<1,∴==-<1.设=t>0,则t-<1,解得0<t<,即0<<,又∵a2-2b2>0,且a>b>0,∴>,故的取值范围是. 答案: 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0),点A1,A2是双曲线C的左、右顶点,点P在双曲线C上. (1)若|A1A2|=4b,点P(2,-1),求双曲线C的方程;(5分) (2)当P异于点A1,A2时,直线PA1与PA2的斜率之积为2,求双曲线C的渐近线方程.(8分) 解:(1)由题意有解得所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)设点P(x0,y0),则-=1,即=,又A1(-a,0),A2(a,0), 则有·=·===2,所以=,所以渐近线方程为y=±x. 16.(15分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求C的方程;(5分) (2)是否存在直线l,经过点M(1,4)且与双曲线C交于A,B两点,M为线段AB的中点？若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.(10分) 解:(1)令-=0⇒y=±x,所以=1, 又由题意可知双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离d==1⇒c2=2=a2+b2⇒a2=b2=1, 所以双曲线的标准方程为x2-y2=1. (2)假设存在,由题意知,该直线的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,则x1+x2=2,y1+y2=8,又有-=1,-=1, 两式相减得--+=0,即(y1+y2)·(y1-y2)=(x1+x2)(x1-x2), 即=1,所以4k=1,解得k=, 所以直线l的方程为y-4=(x-1),即x-4y+15=0,联立得(4y-15)2-y2-1=15y2-120y+224=0⇒Δ=1202-60×224=60×(240-224)>0, 即直线l:x-4y+15=0与双曲线C有两个交点,满足条件,所以存在直线l,其方程为x-4y+15=0. 17.(15分)(2024·北京高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率;(5分) (2)若直线BD的斜率为0,求t的值.(10分) 解:(1)由题意b=c==,从而a==2, 所以椭圆方程为+=1,离心率为e=. (2)直线AB的斜率不为0,否则直线AB与椭圆无交点,矛盾, 从而设AB:y=kx+t(k≠0,t>),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立化简并整理得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0, 所以Δ=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t2)>0,即4k2+2-t2>0, 所以x1+x2=,x1x2=. 若直线BD的斜率为0, 由椭圆的对称性可知D(-x2,y2), 所以直线AD的方程为y=(x-x1)+y1,在直线AD方程中令x=0, 得yC====+t==1, 解得t=2.所以t的值为2. 18.(17分)已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为(1,0),过点M(2,0)的直线与E交于A,B两点,过点B作y轴的垂线与直线OA相交于点P. (1)求E的方程;(3分) (2)证明:点P在定直线l上;(5分) (3)延长BO交直线l于点Q,求四边形ABPQ面积S的最小值.(9分) 解:(1)由题意,设抛物线E的标准方程为y2=2px(p>0),则=1,可得p=2,故抛物线E的标准方程为y2=4x. (2)证明:若直线AB与x轴重合,则该直线与抛物线只有一个交点,不符合题意;设直线AB的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得y2-4my-8=0,Δ=16m2+32>0,由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-8. 由题意可知,直线BP的方程为y=y2,直线OA的方程为y=x=x=x, 联立直线BP,OA的方程可得x=y2,所以x==-2.因此,点P在定直线l:x=-2上. (3)如图,易知点P(-2,y2),直线OB的方程为y=x=x=x, 联立直线OB与直线l的方程可得y=-=y1,故点Q(-2,y1),则AQ⊥l,所以AQ∥BP,则四边形ABPQ为直角梯形.又|AQ|=x1+2,|BP|=x2+2,所以S=(|AQ|+|BP|)·|y1-y2|=(x1+x2+4)·=·=·=·=.因为=|y1|+≥2=4,当且仅当|y1|=,即y1=±2时,等号成立, 所以S=≥×(4)3=16.因此,四边形ABPQ面积S的最小值为16. 19.(17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张纸片,按如下步骤折纸: 步骤1:在纸上画一个圆A,并在圆外取一定点B; 步骤2:把纸片折叠,使得点B折叠后与圆A上某一点重合; 步骤3:把纸片展开,并得到一条折痕; 步骤4:不断重复步骤2和3,得到越来越多的折痕. 你会发现,当折痕足够密时,这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸,画一个半径为2的圆A,并在圆外取一定点B,|AB|=4,按照上述方法折纸,点B折叠后与圆A上的点W重合,折痕与直线WA交于点E,E的轨迹为曲线T. (1)以AB所在直线为x轴建立适当的平面直角坐标系,求曲线T的方程;(3分) (2)设曲线T的左、右顶点分别为E,H,点P在曲线T上,过点P作曲线T的切线l与圆x2+y2=1交于M,N两点(点M在点N的左侧),记EM,HN的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值;(7分) (3)F是T的右焦点,若直线n过点F,与曲线T交于C,D两点,是否存在x轴上的点Q(t,0),使得直线n绕点F无论怎么转动,都有·=0成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(7分) 解:(1)以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0), 由折纸方法,知|EB|=|EW|,则||EB|-|EA||=||EW|-|EA||=|WA|=2<|AB|=4. 根据双曲线的定义,曲线T是以A,B为左、右焦点,实轴长为2的双曲线, 设其方程为-=1(a>0,b>0),则a=1,c==2, 所以a2=1,b2=3.故曲线T的方程为x2-=1. (2)证明:易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2), 联立方程组整理得(3-k2)x2-2kmx-(m2+3)=0, 由Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=12(m2+3-k2)=0,可得m2=k2-3. 联立方程组整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0, Δ=4k2m2-4(k2+1)(m2-1)=4(k2-m2+1)>0, 则x1+x2=-,x1x2=. 因为k1=,k2=,所以k1·k2=·=. 又因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, 代入可得y1y2==, 由于m2=k2-3,则y1y2=, 由于点M在点N的左侧,故x1-x2<0, 所以x1-x2=-|x1-x2|=-, 代入可得x1-x2=-. 又因为x1x2=,所以k1·k2= ==3, 所以k1·k2为定值,定值为3. (3)假设存在点Q(t,0),使·=0恒成立, 由已知得F(2,0), 当直线n的斜率存在时,设直线n的方程为y=k'(x-2),C(x3,y3),D(x4,y4), 联立得(k'2-3)x2-4k'2x+4k'2+3=0, Δ=(-4k'2)2-4(k'2-3)(4k'2+3)=36k'2+36>0,且k'≠±, 则x3+x4=,x3x4=,=(x3-t,y3),=(x4-t,y4), 则·=(x3-t)(x4-t)+y3y4 =x3x4-t(x3+x4)+t2+k'2x3x4-2k'2(x3+x4)+4k'2 =. 若·=0恒成立,则(t2-4t-5)k'2-3t2+3=0恒成立, 即解得t=-1. 当直线n的斜率不存在时,直线n的方程为x=2, 此时4-=1,解得y=±3. 不妨取C(2,3),D(2,-3), 则=(2-t,3),=(2-t,-3). 又·=(2-t)2-9=0,解得t=-1或t=5. 综上所述,t=-1. 所以存在点Q(-1,0),使得直线n绕点F无论怎么转动,都有·=0成立. 学科网（北京）股份有限公司 $