第一章 特殊平行四边形 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 单元测试卷（2026~2027学年） 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 北师大版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；故选：D． （来源：2023秋•凤城市期末） 2．（3分）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【答案】C 【解答】解： ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．故选：C． （来源：2024•潜山市校级一模） 3．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B．2 C． D．4 【答案】C 【解答】解： ∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD==， ∴CE=，故选：C． （来源：2025春•余庆县期末） 4．（3分）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【答案】B 【解答】解： ∵∠AOB＝90°，M为AB的中点， ∴OM=AB．同理OM=CD． ∵AB＝CD． ∴OM的长度不变．故选：B． （来源：2025春•麻章区期末） 5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【解答】解：连接AP，如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC===10， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP，EF与AP互相平分， ∵M是EF的中点， ∴M为AP的中点， ∴PM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短， ∴当AP⊥BC时，AP==4.8， ∴AP最短时，AP＝4.8， ∴当PM最短时，PM=AP=×4.8＝2.4．故选：B． （来源：2026春•磴口县校级期末） 6．（3分）综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片ABCD上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据作图过程可知：OA＝OC，AE＝CE，AF＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CEO＝∠AFO，∠ECO＝∠FAO，在△CEO和△AFO中，， ∴△CEO≌△AFO（AAS）， ∴CE＝AF， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵AE＝CE， ∴四边形AFCE为菱形，故A不符合题意．由作图可得：∠ADE=∠FDE=∠ADC，∠DAF=∠BAF=∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴DA＝DF，同理：AD＝AE， ∴DF＝AE，而AB∥CD， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵DA＝DF， ∴四边形AEFD为菱形，故B不符合题意．由对折可得：AD＝AE，FD＝FE，同理可得：DA＝DF， ∴AD＝AE＝EF＝DF， ∴四边形AEFD为菱形，故D不符合题意．无法证明C选项中的四边形BEDF为菱形，故C符合题意；故选：C． （来源：2026春•巩义市期末） 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（　　）结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】A 【解答】解： ∵M是边AB的中点，AO⊥OB， ∴OM=AB＝3，故结论Ⅰ正确； ∴AD＝AM＝BM＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAM＝90°， ∴∠AMD＝45°，DM=AD＝3， ∵∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝6， ∴∠AMD＝∠OAB，OA=AB＝3， ∴DM∥OA，DM＝OA， ∴四边形OMDA是平行四边形，故结论Ⅱ正确，故选：A． （来源：2026春•裕华区校级期末） 8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵AB=，BC＝1， ∴AC===2， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB，又 ∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝CO＝1， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为1，故选：D． （来源：2024•苏州） 9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解答】解： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形．故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． （来源：2024春•陇南期末） 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝ °． 【答案】36 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°， ∴∠B＝36°， ∵D为线段AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠BCD＝∠B＝36°．故答案为：36． （来源：2023秋•宿迁期末） 11．（3分）分别以正方形ABCD的边长AB和CD为斜边向内作Rt△ABE和Rt△CDF，连接EF，若已知∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，Rt△ABE的面积为8，EF=3，则正方形ABCD的面积为 ． 【答案】41 【解答】解：分别延长DF，BE交AE，CF于点H，G， ∵正方形ABCD中，AB＝CD，又∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠BAE＝∠DCF，∠ABE＝∠CDF，DF＝BE， ∵∠ADH+∠CDF＝∠CBG+∠ABE＝90°， ∴∠ADH＝∠CBG，同理：∠DAH＝∠BCG， ∵AD＝BC， ∴△ADH≌△CBG（ASA）， ∴DH＝BG，AH＝CG， ∴FH＝EG，FG＝EH， ∵EF＝EF， ∴△EFH≌△FEG（SSS）， ∴∠EFH＝∠FEG， ∴AE∥CF， ∴四边形EGFH是正方形， ∴∠FHE＝∠EGF＝90°，EG＝FH＝FG＝EH， ∵EF=3， ∴EG=FH=FG=EH=EF=3， ∴正方形EGFH的面积为32＝9， ∴∠AHD＝∠CFD＝90°， ∴∠CDF＝∠DAH， ∵AD＝CD， ∴△ADH≌△DCF（AAS）， ∴△ABE≌△BCG≌△CDF≌△ADH， ∵Rt△ABE的面积为8， ∴△ABE，△BCG，△CDF，△ADH面积都为8， ∴正方形ABCD的面积为4×8+9＝41．故答案为：41． （来源：2025春•惠山区校级月考） 12．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ． 【答案】10 【解答】解： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC=AC＝6，OB＝OD=BD＝8， ∴∠DOC＝90°，CD===10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10，故答案为：10． （来源：2021秋•三水区期末） 13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，又 ∵∠AOE＝∠COF， ∴在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴CD＝3， ∴S△BCD=BC⋅CD=6， ∴S阴影＝6．故答案为：6． （来源：2026春•姑苏区校级期中） 14．（3分）如图，四边形ABCD是正方形．G是BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，连接DF．若AD＝5，BF＝3，则DF的长为 ． 【答案】 【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝5， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴BF⊥AG， ∵BF＝3， ∴AF==4， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAE+∠EAB＝90°， ∵DE⊥AG， ∴∠DEA＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠EAB＝∠ADE， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴BF⊥AG， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴△AFB≌△DEA（AAS）， ∴AE＝BF＝3，AF＝DE＝4， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣3＝1， ∴DF===，故答案为：． （来源：2026春•高平市期末） 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 ． 【答案】13 【解答】解：如图，连接BP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， ∴PC+QD＝PC+PB， ∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， ∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE==13． ∴PC+PB的最小值为13． ∴PC+DQ的最小值为13．故答案为：13． （来源：2026春•北京期中） 16．（3分）矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t＝ 秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 【答案】7或25 【解答】解：分两种情况：①如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝（32﹣t）厘米， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，即242+t2＝（32﹣t）2，解得：t＝7，即运动时间为7秒时，四边形PBQD是菱形；②如果四边形APCQ是菱形，AP＝AQ＝CQ＝t． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABQ＝90°，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2+BQ2＝AQ2，即242+（32﹣t）2＝t2，解得：t＝25，即运动时间为25秒时，四边形APCQ是菱形．故答案为：7或25． （来源：2026春•安徽校级期末） 17．（6分）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ． 【答案】45 【解答】（1）证明： ∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵CF∥AE ∴∠FCB＝∠CBE， ∴∠FBC＝∠CBE， ∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD， ∴△FDB≌△EDB（ASA）， ∴BF＝BE， ∴BE＝EC＝FC＝BF， ∴四边形BECF是菱形； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝45°， ∵∠A＝45°， ∴∠AEC＝90°，由（1）知四边形BECF是菱形， ∴四边形BECF是正方形；故答案为：45； （3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2， ∴四边形ABFC的面积为=12，故答案为：12． （来源：2024春•前郭县期中） 18．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD＝DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形． （来源：2024•头屯河区二模） 19．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DE=AB＝AE， ∵CD＝AE， ∴DE＝DC，又DG⊥CE， ∴CG＝EG． （2）解：作EF⊥BC于F， ∵BC＝13，CD＝5， ∴BD＝13﹣5＝8， ∵DE＝BE，EF⊥BC， ∴DF＝BF＝4， ∴EF===3， ∴△EDC的面积=×CD×EF=×5×3＝7.5． （来源：2024•北京模拟） 20．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E，F，连接DE，DF． （1）判断四边形AEDF的形状，并证明； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）四边形AEDF是菱形，证明如下： ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAO＝∠FAO， ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°，在△AEO和△AFO中，， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴EO＝FO， ∵EF垂直平分AD， ∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵EF⊥AD， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）当△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，理由如下：由（1）得：四边形AEDF为菱形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． （来源：2026秋•玉门市校级月考） 21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：△AOE≌△DFE； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD＝∠ADF， ∵∠AEO＝∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）． （2）解：四边形AODF为矩形．理由： ∵△AOE≌△DFE， ∴AO＝DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°， ∴平行四边形AODF为矩形． （来源：2022•遂宁） 22．（6分）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是 ； （2）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G．①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由；②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 【答案】A 【解答】解： （1）正方形邻边均相等，任意两角都互补，故一定符合题意；平行四边形两个条件都不一定满足，故不符合题意；菱形不满足对角一定互补，故不符合题意；矩形不满足两边一定相等，故不符合题意；故答案为：A； （2）①是，理由如下：过F作FM⊥BC于M，FN⊥CD于N，如图： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC平分∠BCD，CD⊥BC， ∴FM⊥FN，FM＝FN， ∵DF⊥FG， ∴∠DFN+∠NFG＝90°，∠MFG+∠NFG＝90°， ∴∠DFN＝∠MFG， ∴△DFN≌△GFM（AAS）， ∴DF＝FG， ∵∠DFG+∠DCG＝90°+90°＝180°， ∴四边形DFGC符合“奇妙四边形”的定义；② ∵∠GFE＝90°，∠B＝90°， ∴∠GFE+∠B＝180°， ∴若四边形BGFE是“奇妙四边形”，则需要邻边相等，若EF＝BE，连接EG，如图： ∵EG＝EG， ∴△EFG≌△EBG（HL）， ∴FG＝BG，设FG＝BG＝x，则CG＝2-x，DG=x，在Rt△CDG中，DG2＝CG2+CD2，解得：x＝6﹣2（负值已舍）， ∴S△DFG=x2＝24﹣12；若FG＝GB，同上一情况；若FG＝EF，则DF＝FG＝EF， ∴DG⊥EG，DG＝EG， ∴DE=DG， ∵DG≥CD， ∴DG≥CD＝BD， ∴DE≥BD， ∵E在AB上， ∴E和B重合，此时四边形BEFG不存在；若BG＝BE，连接EG，如图： ∵AB＝BC， ∴AE＝CG，又 ∵AD＝CD， ∴△DAE≌△DCG（SAS）， ∴DE＝DG，设AE＝x，则BE＝2-x，DE＝DG=， ∴DF＝FG=DG=，EG=BE＝2-x， ∴EF＝DE﹣DF=，在Rt△EFG中，EG2＝EF2+FG2，解得：x＝2-2或2+2（舍）， ∴S△DFG=DF2=+3＝12﹣6；综上所述，△DFG的面积为：24﹣12或12﹣6． （来源：2026春•芙蓉区校级月考） 23．（8分）在▱ABCD中，∠DAB＝120°，对角线AC、BD交于点O，过点O作AC的垂线交AB于点G． （1）如图1，连接CG，若∠DAC：∠CAB＝2：1，求∠BGC的度数； （2）如图2，点F在线段OG的延长线上，连接FC、FB，若∠OFC＝30°，求证：BF＝CD﹣AD； （3）如图3，点F在线段OG上，连接FC，∠FCA＝30°，∠DAC的角平分线交线段DF于点H，若DA＝2，DC＝3，求线段DH的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵∠DAB＝120°，∠DAC：∠CAB＝2：1， ∴∠CAB＝120°×=40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵OG⊥AC， ∴AG＝CG， ∴∠ACG＝∠CAB＝40°， ∴∠BGC＝∠CAB+∠ACG＝80°； （2）证明：如图1，在CD上截取DW＝AD，连接AW，连接AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAB＝60°，∠ACB＝∠CAD， ∴△ADW是等边三角形， ∴∠DAW＝60°，AW＝AD＝DW， ∴AW＝BC，由（1）知，AF＝CF，OA＝OC， ∴∠AFC＝2∠CFO＝60°， ∴△ACF是等边三角形， ∴∠ACF＝60°，AC＝CF， ∴∠DAC﹣60°＝∠ACB﹣60°， ∴∠DAC﹣∠DAW＝∠ACB﹣∠ACF， ∴∠CAW＝∠BCF， ∴△ACW≌△CFB（SAS）， ∴CW＝BF， ∴BF＝CD﹣DW＝CD﹣AD； （3）如图2，连接AF，延长DC至X，使CX＝AD，连接FX，作HW⊥AD于W，作HV⊥CD于V，作HQ⊥AC于Q，由（1）知，AF＝CF，∠ADC＝60°， ∴∠FAC＝∠FCA＝30°， ∴∠AFC＝120°， ∴∠ADC+∠AFC＝180°， ∴∠DAF+∠DCF＝360°﹣（∠ADC+∠AFC）＝180°， ∵∠FCX+∠DCF＝180°， ∴∠FCX＝∠DAF， ∴△FCX≌△FAD（SAS）， ∴DF＝FX，∠CFX＝∠AFD， ∴∠CFX+∠DFC＝∠AFD+∠DFC＝∠AFC＝120°， ∴∠DFX＝120°， ∴∠FDX＝∠X＝30°， ∴∠FDX=∠ADC， ∴HW＝HV， ∵AH平分∠CAD， ∴WH＝HQ，作AR⊥CD于R， ∵∠ADC＝60°， ∴DR=AD=1，AR==， ∴CR＝CD﹣DR＝3﹣1＝2， ∴AC==，由S△AHD+S△CHD+S△AHC＝S△ACD得，AD⋅HW+CD⋅HR+AC⋅HQ=CD⋅AR得，(2+3+)⋅HW=3， ∴WH=， ∴DH＝2WH=． （来源：2026春•成都校级期中） 24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H． （1）当AB＜AD时，①求证：BE＝CD；②猜想∠BDF的度数，并说明理由． （2）若=k时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）． 【答案】见解析 【解答】（1）① ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD；②解：猜想∠BDF＝45°，理由如下：如图，连接BF， ∵CF⊥AF， ∴∠AFC＝90°， ∵∠CEF＝∠AEB＝45°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴∠ECF＝45°，EF＝CF， ∴∠BEF＝∠DCF＝135°，由①知：BE＝CD， ∴△BEF≌△DCF（SAS）， ∴BF＝DF，∠BFE＝∠DFC， ∴∠BFD＝∠CFE＝90°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴∠BDF＝45°； （2）解：上AB＜AD时， ∵=k， ∴设AD＝x，则AB＝kx，CE＝BC﹣BE＝x﹣kx，如图，过点F作FH⊥BC于H，作FP⊥DC于P，则∠CHF＝∠P＝90°， ∵△ECF是等腰直角三角形， ∴EH＝CH， ∴FH=CE， ∵∠CHF＝∠P＝∠PCH＝90°， ∴四边形CHFP是矩形， ∴FH＝PC， ∵∠ECF＝∠FCP＝45°，FH⊥BC，FP⊥DC， ∴FH＝FP， ∴FP＝PC=CE=， ∴tan∠CDF===．当AB＞AD时，同法可得tan∠CDF=． （来源：2026春•萧山区月考） 25．（10分）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．问题探究： （1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 ； （2）如图2，在△ABC中，AB＝8，BC=6，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的等积垂分线段长． 【答案】332 【解答】解： （1）过A点作BC的垂线AD，AD为垂直于BC边的等积垂分线， ∴AD＝AB×sin60°＝3×=．故答案为：； （2）作AH⊥BC于H，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线，设EF＝x，在Rt△ABH中， ∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，AB＝8， ∴AH=AB=4，BH=AH=4， ∵BC=6， ∴S△ABC=⋅BC⋅AH=×6×4=12， ∴S△BEF=S△ABC=6， ∴×x×x=6，解得x=2或-2（舍弃）， ∴BC边的等级垂分线段的长度为2． （3）①当线段EF是等积垂分线段时，作FG⊥BH于G，设EF交BD于H．设DE＝x，在Rt△ABC中， ∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝6， ∴BD===3， ∵EF∥AB， ∴==， ∴==， ∴EH＝2x，DH=x， ∴BH=3-x， ∵∠A＝∠C＝90°，， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠FHB＝∠HBA， ∴∠FHB＝∠FHB， ∴FH＝FB， ∵FG⊥BH， ∴HG=GB=， ∵△FGB∽△DAB， ∴FG=，BF=FH=， ∴EF=EH+FH=2x+=． ∵四边形EFCD的面积＝四边形EFBA的面积，△ABD的面积＝△BDC的面积， ∴△DEH的面积＝△BHF的面积， ∴×2×x=×(3-x)×，解得：x=2-5（负根已经舍弃）， ∴EF==．②作EG⊥BD于G，EF交BD于H，当线段EF是等积垂分线段时，设FH＝y， ∴BF＝2y，BH=y． ∵EF∥AD， ∴∠ADH＝∠EHD， ∵∠ADB＝∠BDC， ∴∠EDH＝∠EHD， ∴ED＝EH， ∵EG⊥DH， ∴DG=GH=， ∵tan∠EDG===2， ∴EG=3-y，EH=， ∴EF=EH+FH=y+=．由△DEH的面积＝△BHF的面积， ∴×(3-y)(3-y)=×2y×y，解得y=5-（负根已经舍弃）， ∴EF==．综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为． （来源：2026春•端州区校级期中） 26．（10分）综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片ABCD中，E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B′． （1）【感知】如图①，若点B′恰好落在边AD上时，求证：四边形B′ECD是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点E，B′，D三点在同一条直线上，求证：DA＝DE； （3）【应用]如图③，若∠BAE＝45°，连接BB′并延长，交CD于点F．若平行四边形纸片ABCD的面积为6，CD＝2，求线段B′F的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：由折叠的性质可得∠BAE＝∠B′AE，∠BEA＝∠B′EA，BE＝B'EAB＝AB'， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB'∥BE，AB∥CD， ∴∠B′AE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BEA＝∠B′EA， ∴AB∥B′E，BE＝B'E＝AB＝AB'＝CD， ∴B′E∥CD， ∴四边形B′ECD是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEB'， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠DAE＝∠AEB′， ∵点E，B′，D三点在同一条直线上， ∴△DAE是等腰三角形， ∴DA＝DE； （3）解：如图，延长AB'交CD于点H，由折叠的性质可得∠BAE＝∠B'AE，AB＝AB'，∠BAE＝45°， ∴∠BAB'＝∠BAE+∠B'AE＝90°， ∴△ABB'是等腰直角三角形， ∴∠ABB'＝45°， ∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝2， ∴AB∥CD，AB＝AB'＝CD＝2， ∴∠BAB'＝∠AHD＝90°，∠B'FH＝∠ABB'＝45°， ∴△B′HF是等腰直角三角形， ∴B′H＝HF， ∴S▱ABCD＝AB•AH＝6， ∴AH＝3， ∴B'H＝AH﹣AB'＝3﹣2＝1， ∴HF＝1， ∴B′F==． （来源：2026春•滕州市期末） 27．（10分）操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；结论：DM、MN的关系是： ；拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】MN＝DM，MN⊥DM 【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°， ∵CE＝CF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形． （2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN证明： ∵AM＝FM，FN＝EN， ∴MN=AE，DM=AF， ∵AE＝AF， ∴MN＝DM， ∵∠ADF＝90°，AM＝MF， ∴MD＝MA＝MF， ∴∠MAD＝∠ADM， ∵∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠EAF+2∠DAM＝90°， ∵MN∥AE， ∴∠NMF＝∠EAF， ∴∠NMF+∠DMF＝90°， ∴DM⊥MN． ∴MN＝DM，MN⊥DM．故答案为MN＝DM，MN⊥DM． （3）解：结论仍然成立．理由：如图2中，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G． ∵AB＝AD，BE＝DF，∠ABE＝∠ADF＝90°， ∴△ABE≌△ADF， ∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB， ∵AM＝MF，FN＝EN， ∴MN=AE，DM=AF， ∴MN＝DM， ∵DM＝MF＝AM， ∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB， ∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG， ∴∠DOG＝∠ECG＝90°， ∵NM∥AE， ∴∠DOG＝∠DMN＝90°， ∴MN⊥DM，MN＝DM． （来源：2026春•泗洪县期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章 特殊平行四边形 单元测试卷（2026~2027学年） 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 北师大版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；故选：D． （来源：2023秋•凤城市期末） 2．（3分）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【答案】C 【解答】解： ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．故选：C． （来源：2024•潜山市校级一模） 3．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B．2 C． D．4 【答案】C 【解答】解： ∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD==， ∴CE=，故选：C． （来源：2025春•余庆县期末） 4．（3分）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【答案】B 【解答】解： ∵∠AOB＝90°，M为AB的中点， ∴OM=AB．同理OM=CD． ∵AB＝CD． ∴OM的长度不变．故选：B． （来源：2025春•麻章区期末） 5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【解答】解：连接AP，如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC===10， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP，EF与AP互相平分， ∵M是EF的中点， ∴M为AP的中点， ∴PM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短， ∴当AP⊥BC时，AP==4.8， ∴AP最短时，AP＝4.8， ∴当PM最短时，PM=AP=×4.8＝2.4．故选：B． （来源：2026春•磴口县校级期末） 6．（3分）综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片ABCD上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据作图过程可知：OA＝OC，AE＝CE，AF＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CEO＝∠AFO，∠ECO＝∠FAO，在△CEO和△AFO中，， ∴△CEO≌△AFO（AAS）， ∴CE＝AF， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵AE＝CE， ∴四边形AFCE为菱形，故A不符合题意．由作图可得：∠ADE=∠FDE=∠ADC，∠DAF=∠BAF=∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴DA＝DF，同理：AD＝AE， ∴DF＝AE，而AB∥CD， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵DA＝DF， ∴四边形AEFD为菱形，故B不符合题意．由对折可得：AD＝AE，FD＝FE，同理可得：DA＝DF， ∴AD＝AE＝EF＝DF， ∴四边形AEFD为菱形，故D不符合题意．无法证明C选项中的四边形BEDF为菱形，故C符合题意；故选：C． （来源：2026春•巩义市期末） 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（　　）结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】A 【解答】解： ∵M是边AB的中点，AO⊥OB， ∴OM=AB＝3，故结论Ⅰ正确； ∴AD＝AM＝BM＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAM＝90°， ∴∠AMD＝45°，DM=AD＝3， ∵∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝6， ∴∠AMD＝∠OAB，OA=AB＝3， ∴DM∥OA，DM＝OA， ∴四边形OMDA是平行四边形，故结论Ⅱ正确，故选：A． （来源：2026春•裕华区校级期末） 8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵AB=，BC＝1， ∴AC===2， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB，又 ∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝CO＝1， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为1，故选：D． （来源：2024•苏州） 9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解答】解： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形．故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． （来源：2024春•陇南期末） 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝ °． 【答案】36 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°， ∴∠B＝36°， ∵D为线段AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠BCD＝∠B＝36°．故答案为：36． （来源：2023秋•宿迁期末） 11．（3分）分别以正方形ABCD的边长AB和CD为斜边向内作Rt△ABE和Rt△CDF，连接EF，若已知∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，Rt△ABE的面积为8，EF=3，则正方形ABCD的面积为 ． 【答案】41 【解答】解：分别延长DF，BE交AE，CF于点H，G， ∵正方形ABCD中，AB＝CD，又∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠BAE＝∠DCF，∠ABE＝∠CDF，DF＝BE， ∵∠ADH+∠CDF＝∠CBG+∠ABE＝90°， ∴∠ADH＝∠CBG，同理：∠DAH＝∠BCG， ∵AD＝BC， ∴△ADH≌△CBG（ASA）， ∴DH＝BG，AH＝CG， ∴FH＝EG，FG＝EH， ∵EF＝EF， ∴△EFH≌△FEG（SSS）， ∴∠EFH＝∠FEG， ∴AE∥CF， ∴四边形EGFH是正方形， ∴∠FHE＝∠EGF＝90°，EG＝FH＝FG＝EH， ∵EF=3， ∴EG=FH=FG=EH=EF=3， ∴正方形EGFH的面积为32＝9， ∴∠AHD＝∠CFD＝90°， ∴∠CDF＝∠DAH， ∵AD＝CD， ∴△ADH≌△DCF（AAS）， ∴△ABE≌△BCG≌△CDF≌△ADH， ∵Rt△ABE的面积为8， ∴△ABE，△BCG，△CDF，△ADH面积都为8， ∴正方形ABCD的面积为4×8+9＝41．故答案为：41． （来源：2025春•惠山区校级月考） 12．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ． 【答案】10 【解答】解： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC=AC＝6，OB＝OD=BD＝8， ∴∠DOC＝90°，CD===10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10，故答案为：10． （来源：2021秋•三水区期末） 13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，又 ∵∠AOE＝∠COF， ∴在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴CD＝3， ∴S△BCD=BC⋅CD=6， ∴S阴影＝6．故答案为：6． （来源：2026春•姑苏区校级期中） 14．（3分）如图，四边形ABCD是正方形．G是BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，连接DF．若AD＝5，BF＝3，则DF的长为 ． 【答案】 【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝5， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴BF⊥AG， ∵BF＝3， ∴AF==4， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAE+∠EAB＝90°， ∵DE⊥AG， ∴∠DEA＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠EAB＝∠ADE， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴BF⊥AG， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴△AFB≌△DEA（AAS）， ∴AE＝BF＝3，AF＝DE＝4， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣3＝1， ∴DF===，故答案为：． （来源：2026春•高平市期末） 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 ． 【答案】13 【解答】解：如图，连接BP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， ∴PC+QD＝PC+PB， ∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， ∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE==13． ∴PC+PB的最小值为13． ∴PC+DQ的最小值为13．故答案为：13． （来源：2026春•北京期中） 16．（3分）矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t＝ 秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 【答案】7或25 【解答】解：分两种情况：①如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝（32﹣t）厘米， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，即242+t2＝（32﹣t）2，解得：t＝7，即运动时间为7秒时，四边形PBQD是菱形；②如果四边形APCQ是菱形，AP＝AQ＝CQ＝t． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABQ＝90°，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2+BQ2＝AQ2，即242+（32﹣t）2＝t2，解得：t＝25，即运动时间为25秒时，四边形APCQ是菱形．故答案为：7或25． （来源：2026春•安徽校级期末） 17．（6分）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ． 【答案】45 【解答】（1）证明： ∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵CF∥AE ∴∠FCB＝∠CBE， ∴∠FBC＝∠CBE， ∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD， ∴△FDB≌△EDB（ASA）， ∴BF＝BE， ∴BE＝EC＝FC＝BF， ∴四边形BECF是菱形； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝45°， ∵∠A＝45°， ∴∠AEC＝90°，由（1）知四边形BECF是菱形， ∴四边形BECF是正方形；故答案为：45； （3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2， ∴四边形ABFC的面积为=12，故答案为：12． （来源：2024春•前郭县期中） 18．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD＝DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形． （来源：2024•头屯河区二模） 19．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DE=AB＝AE， ∵CD＝AE， ∴DE＝DC，又DG⊥CE， ∴CG＝EG． （2）解：作EF⊥BC于F， ∵BC＝13，CD＝5， ∴BD＝13﹣5＝8， ∵DE＝BE，EF⊥BC， ∴DF＝BF＝4， ∴EF===3， ∴△EDC的面积=×CD×EF=×5×3＝7.5． （来源：2024•北京模拟） 20．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E，F，连接DE，DF． （1）判断四边形AEDF的形状，并证明； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）四边形AEDF是菱形，证明如下： ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAO＝∠FAO， ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°，在△AEO和△AFO中，， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴EO＝FO， ∵EF垂直平分AD， ∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵EF⊥AD， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）当△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，理由如下：由（1）得：四边形AEDF为菱形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． （来源：2026秋•玉门市校级月考） 21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：△AOE≌△DFE； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD＝∠ADF， ∵∠AEO＝∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）． （2）解：四边形AODF为矩形．理由： ∵△AOE≌△DFE， ∴AO＝DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°， ∴平行四边形AODF为矩形． （来源：2022•遂宁） 22．（6分）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是 ； （2）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G．①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由；②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 【答案】A 【解答】解： （1）正方形邻边均相等，任意两角都互补，故一定符合题意；平行四边形两个条件都不一定满足，故不符合题意；菱形不满足对角一定互补，故不符合题意；矩形不满足两边一定相等，故不符合题意；故答案为：A； （2）①是，理由如下：过F作FM⊥BC于M，FN⊥CD于N，如图： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC平分∠BCD，CD⊥BC， ∴FM⊥FN，FM＝FN， ∵DF⊥FG， ∴∠DFN+∠NFG＝90°，∠MFG+∠NFG＝90°， ∴∠DFN＝∠MFG， ∴△DFN≌△GFM（AAS）， ∴DF＝FG， ∵∠DFG+∠DCG＝90°+90°＝180°， ∴四边形DFGC符合“奇妙四边形”的定义；② ∵∠GFE＝90°，∠B＝90°， ∴∠GFE+∠B＝180°， ∴若四边形BGFE是“奇妙四边形”，则需要邻边相等，若EF＝BE，连接EG，如图： ∵EG＝EG， ∴△EFG≌△EBG（HL）， ∴FG＝BG，设FG＝BG＝x，则CG＝2-x，DG=x，在Rt△CDG中，DG2＝CG2+CD2，解得：x＝6﹣2（负值已舍）， ∴S△DFG=x2＝24﹣12；若FG＝GB，同上一情况；若FG＝EF，则DF＝FG＝EF， ∴DG⊥EG，DG＝EG， ∴DE=DG， ∵DG≥CD， ∴DG≥CD＝BD， ∴DE≥BD， ∵E在AB上， ∴E和B重合，此时四边形BEFG不存在；若BG＝BE，连接EG，如图： ∵AB＝BC， ∴AE＝CG，又 ∵AD＝CD， ∴△DAE≌△DCG（SAS）， ∴DE＝DG，设AE＝x，则BE＝2-x，DE＝DG=， ∴DF＝FG=DG=，EG=BE＝2-x， ∴EF＝DE﹣DF=，在Rt△EFG中，EG2＝EF2+FG2，解得：x＝2-2或2+2（舍）， ∴S△DFG=DF2=+3＝12﹣6；综上所述，△DFG的面积为：24﹣12或12﹣6． （来源：2026春•芙蓉区校级月考） 23．（8分）在▱ABCD中，∠DAB＝120°，对角线AC、BD交于点O，过点O作AC的垂线交AB于点G． （1）如图1，连接CG，若∠DAC：∠CAB＝2：1，求∠BGC的度数； （2）如图2，点F在线段OG的延长线上，连接FC、FB，若∠OFC＝30°，求证：BF＝CD﹣AD； （3）如图3，点F在线段OG上，连接FC，∠FCA＝30°，∠DAC的角平分线交线段DF于点H，若DA＝2，DC＝3，求线段DH的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵∠DAB＝120°，∠DAC：∠CAB＝2：1， ∴∠CAB＝120°×=40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵OG⊥AC， ∴AG＝CG， ∴∠ACG＝∠CAB＝40°， ∴∠BGC＝∠CAB+∠ACG＝80°； （2）证明：如图1，在CD上截取DW＝AD，连接AW，连接AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAB＝60°，∠ACB＝∠CAD， ∴△ADW是等边三角形， ∴∠DAW＝60°，AW＝AD＝DW， ∴AW＝BC，由（1）知，AF＝CF，OA＝OC， ∴∠AFC＝2∠CFO＝60°， ∴△ACF是等边三角形， ∴∠ACF＝60°，AC＝CF， ∴∠DAC﹣60°＝∠ACB﹣60°， ∴∠DAC﹣∠DAW＝∠ACB﹣∠ACF， ∴∠CAW＝∠BCF， ∴△ACW≌△CFB（SAS）， ∴CW＝BF， ∴BF＝CD﹣DW＝CD﹣AD； （3）如图2，连接AF，延长DC至X，使CX＝AD，连接FX，作HW⊥AD于W，作HV⊥CD于V，作HQ⊥AC于Q，由（1）知，AF＝CF，∠ADC＝60°， ∴∠FAC＝∠FCA＝30°， ∴∠AFC＝120°， ∴∠ADC+∠AFC＝180°， ∴∠DAF+∠DCF＝360°﹣（∠ADC+∠AFC）＝180°， ∵∠FCX+∠DCF＝180°， ∴∠FCX＝∠DAF， ∴△FCX≌△FAD（SAS）， ∴DF＝FX，∠CFX＝∠AFD， ∴∠CFX+∠DFC＝∠AFD+∠DFC＝∠AFC＝120°， ∴∠DFX＝120°， ∴∠FDX＝∠X＝30°， ∴∠FDX=∠ADC， ∴HW＝HV， ∵AH平分∠CAD， ∴WH＝HQ，作AR⊥CD于R， ∵∠ADC＝60°， ∴DR=AD=1，AR==， ∴CR＝CD﹣DR＝3﹣1＝2， ∴AC==，由S△AHD+S△CHD+S△AHC＝S△ACD得，AD⋅HW+CD⋅HR+AC⋅HQ=CD⋅AR得，(2+3+)⋅HW=3， ∴WH=， ∴DH＝2WH=． （来源：2026春•成都校级期中） 24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H． （1）当AB＜AD时，①求证：BE＝CD；②猜想∠BDF的度数，并说明理由． （2）若=k时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）． 【答案】见解析 【解答】（1）① ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD；②解：猜想∠BDF＝45°，理由如下：如图，连接BF， ∵CF⊥AF， ∴∠AFC＝90°， ∵∠CEF＝∠AEB＝45°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴∠ECF＝45°，EF＝CF， ∴∠BEF＝∠DCF＝135°，由①知：BE＝CD， ∴△BEF≌△DCF（SAS）， ∴BF＝DF，∠BFE＝∠DFC， ∴∠BFD＝∠CFE＝90°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴∠BDF＝45°； （2）解：上AB＜AD时， ∵=k， ∴设AD＝x，则AB＝kx，CE＝BC﹣BE＝x﹣kx，如图，过点F作FH⊥BC于H，作FP⊥DC于P，则∠CHF＝∠P＝90°， ∵△ECF是等腰直角三角形， ∴EH＝CH， ∴FH=CE， ∵∠CHF＝∠P＝∠PCH＝90°， ∴四边形CHFP是矩形， ∴FH＝PC， ∵∠ECF＝∠FCP＝45°，FH⊥BC，FP⊥DC， ∴FH＝FP， ∴FP＝PC=CE=， ∴tan∠CDF===．当AB＞AD时，同法可得tan∠CDF=． （来源：2026春•萧山区月考） 25．（10分）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．问题探究： （1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 ； （2）如图2，在△ABC中，AB＝8，BC=6，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的等积垂分线段长． 【答案】332 【解答】解： （1）过A点作BC的垂线AD，AD为垂直于BC边的等积垂分线， ∴AD＝AB×sin60°＝3×=．故答案为：； （2）作AH⊥BC于H，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线，设EF＝x，在Rt△ABH中， ∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，AB＝8， ∴AH=AB=4，BH=AH=4， ∵BC=6， ∴S△ABC=⋅BC⋅AH=×6×4=12， ∴S△BEF=S△ABC=6， ∴×x×x=6，解得x=2或-2（舍弃）， ∴BC边的等级垂分线段的长度为2． （3）①当线段EF是等积垂分线段时，作FG⊥BH于G，设EF交BD于H．设DE＝x，在Rt△ABC中， ∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝6， ∴BD===3， ∵EF∥AB， ∴==， ∴==， ∴EH＝2x，DH=x， ∴BH=3-x， ∵∠A＝∠C＝90°，， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠FHB＝∠HBA， ∴∠FHB＝∠FHB， ∴FH＝FB， ∵FG⊥BH， ∴HG=GB=， ∵△FGB∽△DAB， ∴FG=，BF=FH=， ∴EF=EH+FH=2x+=． ∵四边形EFCD的面积＝四边形EFBA的面积，△ABD的面积＝△BDC的面积， ∴△DEH的面积＝△BHF的面积， ∴×2×x=×(3-x)×，解得：x=2-5（负根已经舍弃）， ∴EF==．②作EG⊥BD于G，EF交BD于H，当线段EF是等积垂分线段时，设FH＝y， ∴BF＝2y，BH=y． ∵EF∥AD， ∴∠ADH＝∠EHD， ∵∠ADB＝∠BDC， ∴∠EDH＝∠EHD， ∴ED＝EH， ∵EG⊥DH， ∴DG=GH=， ∵tan∠EDG===2， ∴EG=3-y，EH=， ∴EF=EH+FH=y+=．由△DEH的面积＝△BHF的面积， ∴×(3-y)(3-y)=×2y×y，解得y=5-（负根已经舍弃）， ∴EF==．综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为． （来源：2026春•端州区校级期中） 26．（10分）综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片ABCD中，E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B′． （1）【感知】如图①，若点B′恰好落在边AD上时，求证：四边形B′ECD是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点E，B′，D三点在同一条直线上，求证：DA＝DE； （3）【应用]如图③，若∠BAE＝45°，连接BB′并延长，交CD于点F．若平行四边形纸片ABCD的面积为6，CD＝2，求线段B′F的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：由折叠的性质可得∠BAE＝∠B′AE，∠BEA＝∠B′EA，BE＝B'EAB＝AB'， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB'∥BE，AB∥CD， ∴∠B′AE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BEA＝∠B′EA， ∴AB∥B′E，BE＝B'E＝AB＝AB'＝CD， ∴B′E∥CD， ∴四边形B′ECD是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEB'， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠DAE＝∠AEB′， ∵点E，B′，D三点在同一条直线上， ∴△DAE是等腰三角形， ∴DA＝DE； （3）解：如图，延长AB'交CD于点H，由折叠的性质可得∠BAE＝∠B'AE，AB＝AB'，∠BAE＝45°， ∴∠BAB'＝∠BAE+∠B'AE＝90°， ∴△ABB'是等腰直角三角形， ∴∠ABB'＝45°， ∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝2， ∴AB∥CD，AB＝AB'＝CD＝2， ∴∠BAB'＝∠AHD＝90°，∠B'FH＝∠ABB'＝45°， ∴△B′HF是等腰直角三角形， ∴B′H＝HF， ∴S▱ABCD＝AB•AH＝6， ∴AH＝3， ∴B'H＝AH﹣AB'＝3﹣2＝1， ∴HF＝1， ∴B′F==． （来源：2026春•滕州市期末） 27．（10分）操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；结论：DM、MN的关系是： ；拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】MN＝DM，MN⊥DM 【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°， ∵CE＝CF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形． （2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN证明： ∵AM＝FM，FN＝EN， ∴MN=AE，DM=AF， ∵AE＝AF， ∴MN＝DM， ∵∠ADF＝90°，AM＝MF， ∴MD＝MA＝MF， ∴∠MAD＝∠ADM， ∵∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠EAF+2∠DAM＝90°， ∵MN∥AE， ∴∠NMF＝∠EAF， ∴∠NMF+∠DMF＝90°， ∴DM⊥MN． ∴MN＝DM，MN⊥DM．故答案为MN＝DM，MN⊥DM． （3）解：结论仍然成立．理由：如图2中，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G． ∵AB＝AD，BE＝DF，∠ABE＝∠ADF＝90°， ∴△ABE≌△ADF， ∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB， ∵AM＝MF，FN＝EN， ∴MN=AE，DM=AF， ∴MN＝DM， ∵DM＝MF＝AM， ∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB， ∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG， ∴∠DOG＝∠ECG＝90°， ∵NM∥AE， ∴∠DOG＝∠DMN＝90°， ∴MN⊥DM，MN＝DM． （来源：2026春•泗洪县期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章 特殊平行四边形 单元测试卷（2026~2027学年） 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 北师大版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章 特殊平行四边形 单元测试卷（2026~2027学年） 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 北师大版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章 特殊平行四边形 单元测试卷（2026~2027学年） 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 北师大版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 2．（3分）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 3．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B．2 C． D．4 4．（3分）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 6．（3分）综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片ABCD上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（　　）结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 　　　　 ． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝　　　　 °． 11．（3分）分别以正方形ABCD的边长AB和CD为斜边向内作Rt△ABE和Rt△CDF，连接EF，若已知∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，Rt△ABE的面积为8，EF=3，则正方形ABCD的面积为 　　　　 ． 12．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　　　　 ． 13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　　　　 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD是正方形．G是BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，连接DF．若AD＝5，BF＝3，则DF的长为　　　　 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 　　　　 ． 16．（3分）矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t＝　　　　 秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　　　　 °时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　　　　 ． 18．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 19．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 20．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E，F，连接DE，DF． （1）判断四边形AEDF的形状，并证明； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由． 21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：△AOE≌△DFE； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 22．（6分）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是 　　　　 ； （2）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G．①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由；②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 23．（8分）在▱ABCD中，∠DAB＝120°，对角线AC、BD交于点O，过点O作AC的垂线交AB于点G． （1）如图1，连接CG，若∠DAC：∠CAB＝2：1，求∠BGC的度数； （2）如图2，点F在线段OG的延长线上，连接FC、FB，若∠OFC＝30°，求证：BF＝CD﹣AD； （3）如图3，点F在线段OG上，连接FC，∠FCA＝30°，∠DAC的角平分线交线段DF于点H，若DA＝2，DC＝3，求线段DH的长度． 24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H． （1）当AB＜AD时，①求证：BE＝CD；②猜想∠BDF的度数，并说明理由． （2）若=k时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）． 25．（10分）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．问题探究： （1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 　　　　 ； （2）如图2，在△ABC中，AB＝8，BC=6，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的等积垂分线段长． 26．（10分）综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片ABCD中，E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B′． （1）【感知】如图①，若点B′恰好落在边AD上时，求证：四边形B′ECD是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点E，B′，D三点在同一条直线上，求证：DA＝DE； （3）【应用]如图③，若∠BAE＝45°，连接BB′并延长，交CD于点F．若平行四边形纸片ABCD的面积为6，CD＝2，求线段B′F的长． 27．（10分）操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；结论：DM、MN的关系是：　　　　 ；拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章 特殊平行四边形 单元测试卷（2026~2027学年） 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 北师大版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 2．（3分）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 3．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B．2 C． D．4 4．（3分）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 6．（3分）综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片ABCD上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（　　）结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 　　　　 ． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝　　　　 °． 11．（3分）分别以正方形ABCD的边长AB和CD为斜边向内作Rt△ABE和Rt△CDF，连接EF，若已知∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，Rt△ABE的面积为8，EF=3，则正方形ABCD的面积为 　　　　 ． 12．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　　　　 ． 13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　　　　 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD是正方形．G是BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，连接DF．若AD＝5，BF＝3，则DF的长为　　　　 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 　　　　 ． 16．（3分）矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t＝　　　　 秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　　　　 °时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　　　　 ． 18．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 19．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 20．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E，F，连接DE，DF． （1）判断四边形AEDF的形状，并证明； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由． 21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：△AOE≌△DFE； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 22．（6分）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是 　　　　 ； （2）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G．①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由；②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 23．（8分）在▱ABCD中，∠DAB＝120°，对角线AC、BD交于点O，过点O作AC的垂线交AB于点G． （1）如图1，连接CG，若∠DAC：∠CAB＝2：1，求∠BGC的度数； （2）如图2，点F在线段OG的延长线上，连接FC、FB，若∠OFC＝30°，求证：BF＝CD﹣AD； （3）如图3，点F在线段OG上，连接FC，∠FCA＝30°，∠DAC的角平分线交线段DF于点H，若DA＝2，DC＝3，求线段DH的长度． 24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H． （1）当AB＜AD时，①求证：BE＝CD；②猜想∠BDF的度数，并说明理由． （2）若=k时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）． 25．（10分）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．问题探究： （1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 　　　　 ； （2）如图2，在△ABC中，AB＝8，BC=6，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的等积垂分线段长． 26．（10分）综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片ABCD中，E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B′． （1）【感知】如图①，若点B′恰好落在边AD上时，求证：四边形B′ECD是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点E，B′，D三点在同一条直线上，求证：DA＝DE； （3）【应用]如图③，若∠BAE＝45°，连接BB′并延长，交CD于点F．若平行四边形纸片ABCD的面积为6，CD＝2，求线段B′F的长． 27．（10分）操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；结论：DM、MN的关系是：　　　　 ；拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $