第一章特殊平行四边形单元测试卷2026-2027学年北师大版九年级上册数学

北师大版九年级上册数学第一章 特殊平行四边形单元测试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 评卷人 得分 一、单选题：本题共10小题，每题3分，共30分。 1．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 2．矩形、菱形、正方形不同时具有的性质是（     ） A．对边平行且相等 B．每条对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角相等 3．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 4．根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（     ） A． B． C． D． 5．下列命题中，是真命题的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形 6．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是(     ) A．112.5度 B．120度 C．115度 D．135度 7．如图，在矩形纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点P．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 8．如图，正方形的边长为4，点E，F分别为，上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近B的四等分点，长度为（     ） A． B． C． D．2 9．如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，在矩形纸片中，，．点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在射线上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是（     ） ①； ②当点与点重合时，； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．①②③ D．②④ 评卷人 得分 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。 11．如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 12．如图，在平行四边形中，，将线段向右平移得到线段，点分别在边上．若四边形是菱形，则___________． 13．如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形． 14．如图，正方形的边长为2，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为__________． 15．如图，正方形中，点为上的两个动点，连接平分．给出如下几个结论：①；②平分；③；④若为中点，，则．其中正确结论的序号为___________． 16．在直线上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，按此规律继续摆放，则________； 评卷人 得分 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17．在中，，，，是斜边上的中线，是斜边上的高．求的长． 18．如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，求正方形的面积． 19．如图，在菱形中，对角线与相交于点． (1)求和的长； (2)求菱形的面积． 20．如图，在四边形中点分别为的中点． (1)当四边形满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． (2)当四边形满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 21．如图，将矩形沿折叠，使点重合． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 22．按要求解答问题： (1)如图（1），将矩形纸片沿折叠，顶点落在纸片内的点．展开纸片，得到四边形，这个四边形有哪些性质？ (2)如图（2），将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点．展开纸片，得到四边形，这个四边形是正方形吗？为什么？ (3)如图（3），将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点，顶点落在纸片外的点．展开纸片，得到四边形，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论． 23．如图（1），在中，；在矩形中，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动到如图（2）所示的位置时，与矩形重叠部分的面积为，此时运动了多少秒？ 《北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B A A B B D 1．C 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 2．B 【分析】根据矩形、菱形和正方形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵ 矩形、菱形和正方形是特殊的平行四边形， ∴ 三者的对边平行且相等，对角相等、对角线互相平分，故选项A、C、D不符合题意； ∵ 每条对角线平分一组对角是菱形、正方形的性质，矩形不具有该性质， ∴ B不是三者共有的性质，故选项B符合题意． 3．D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项A不符合题意； B．四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项B不符合题意； C．四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，即选项C不符合题意； D．四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，即选项D符合题意． 4．C 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴无法判断是菱形．故本选项不合题意． B、如图， ∵，， ∴，即， ∴， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． C、如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是菱形．故本选项符合题意． D、如图， ∵，， ∴， ∴与不垂直， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． 5．B 【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别分析进而得出答案． 【详解】解：A．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题为假命题，故此选项不符合题意； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题为真命题，故此选项符合题意； C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题为假命题，故此选项不符合题意； D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题为假命题，故此选项不符合题意． 6．A 【分析】根据正方形的性质求得，从而根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．A 【分析】分情况讨论：与的夹角为或与的夹角为． 【详解】解：当与的夹角为时，， 根据折叠的性质，有， 在矩形中，， ； 当点在矩形内部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， 根据折叠的性质，有， ； 当点在矩形外部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， ， 根据折叠的性质，有， ； 综上，或或． 8．B 【分析】根据正方形性质证，易得，再运用正方形的性质以及勾股定理求得的长，如图：取中点G，连接，利用直角三角形斜边中线定理及三角形中位线定理求解 即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 如图：取中点G，连接，则， ∵点N为线段靠近B的四等分点， ∴，即N为的中点， ∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴． 9．B 【分析】作，连接，作，则，当三点共线时，有最小值，此时点与点重合，斜边上的中线求出的长，菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的最小值即可. 【详解】解：过点作于，作于点，连接，，则即为点到线段的距离，， ∴当三点共线时，有最小值为，此时点与点重合， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ，解得 ， ， 是的中点，， ， 点到线段的距离的最小值为. 10．D 【分析】根据矩形性质和折叠得到，从而得到对应边和对应角相等，进而证明四边形为菱形，得到，，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出的面积的取值范围和． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵点、分别是矩形的边、上的动点， 且点关于直线的对应点为点， ∴的长是变化的， 即的长是变化的， 又∵， ∴与不一定相等， 故结论①不成立； 当点与点重合时，，， 在中，，，根据勾股定理得， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得：， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故结论②成立； ∵四边形为菱形， ∴， 当点E和点A重合时，最短，此时最小， 此时 ， ∴最小值为4， 当点F和点C重合时，最大，此时最大， 此时 ， ∴最大值为8， ∴， 故结论③不成立； 当时，， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∵折叠， ∴，，， ∴在中，， 故结论④成立． 11． 【分析】根据正方形的性质得，由等边对等角知，最后利用三角形内角和定理得． 【详解】解：在正方形中，，， ， 又， ， 在中，， ． 12． 【分析】根据平行四边形性质得到，根据平移性质得到，，根据菱形的性质得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将线段向右平移得到线段，点分别在边上， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13．O是的中点（答案不唯一） 【分析】先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：O是的中点， 理由如下：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 14． 【分析】延长至K，使得，连接，，易证是的中位线，证明K必在上，时，取最小，过B作交于，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：延长至K，使得，连接，，， ∵E、H分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴K必在上， ∴时，取最小， 过B作交于， ∵， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值为． 15．①②③ 【分析】过点作，垂足为，从而构造全等三角形，再结合角平分线的性质、全等三角形判定、勾股定理逐一验证四个结论正确性． 【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为， 正方形中，，， ①平分， ． ， ． 在和中， ， ，． 在和中， ， ． 因此，故①正确； ②由①可知，， ， 平分，故②正确； ③由①可知，， ， ， ， 又， 代入得，即，故③正确； ④设，为中点，因此，则正方形边长． ，由①得， ， 在中由勾股定理得，， 代入得，展开化简得， 解得或（舍去），因此，故④错误． 综上：正确的结论为①②③． 16．16 【分析】如详解图，先利用一线三等角模型得到，得到，再由勾股定理得到，同理得到的值，，的值，然后都加起来即可得到答案． 【详解】解：如图， 图中的四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 同理可得：，，， ． 17．的长为 【分析】由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，由等面积法求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 18．5 【分析】根据勾股定理求出的长，即可求出正方形的面积． 【详解】解：， ， 正方形的面积． 19．(1)6， (2) 【分析】（1）先根据菱形的性质及等边三角形的判定可得是等边三角形，即可得出，再根据勾股定理求出，进而得出； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴； （2）解：菱形的面积． 20．(1)，理由如下： 如图所示，连接， ∵点E，F，G，H是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， 同理，可得． ∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2)，理由如下： 如图所示，连接， ∵点E，F，G，H是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得，再根据四边相等的四边形是菱形得出答案； （2）先说明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1)证明：四边形是矩形， ∴， 又∵矩形沿折叠，使点重合， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用矩形的性质、折叠的性质以及等量代换可得、、，再利用即可证明结论； （2）由折叠的性质、可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，如图：过点作，垂足为，则，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形沿折叠，使点重合， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， 在中，由勾股定理， ∴，解得：， 如图：过点作，垂足为，则，, ， ∴． 22．(1)解：四边形中，，平分和，； (2)解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠可知， 四边形是矩形， 由折叠可知， 四边形是正方形； (3)解：四边形是菱形， 证明：如下图所示，连接， 由折叠可知，， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质可得四边形的性质：，，平分和，； （2）根据折叠的性质可证四边形是正方形； （3）根据折叠的性质和矩形的性质可证，，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．此时运动了秒 【分析】设与相交于点，根据已知条件可求出三角形的面积，再求出的长，就可求出的长，进而求出的运动时间． 【详解】 解：如图，过点作于，设与相交于点， ， ，， ， ， 点在直线上运动，， 与矩形重叠部分的面积为，即， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 或（负值舍去）， ， ， ， 点在线段上，符合题意， 的运动时间（秒）． 答：此时运动了秒． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $