河北省邢台市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

邢台一中2026－2027学年第一学期第一次月考 高二年级数学试题 考试范围：选修一第一章、第二章第一节 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．点关于坐标平面对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．以下命题错误的为（ ） A．直线的方向向量，直线的方向向量，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 3．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 4．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为（ ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，，为的中点，沿将翻折至的位置得到四棱锥，且．若为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 8．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为零的实数，，，使得，其中为原点，已知，则的充分条件是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法中，表述错误的是（ ） A．表示向量的有向线段在直线上，则直线的倾斜角为 B．若将直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C．若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 11．如图，点，，，在水平放置的以为球心的半球面上，半球的半径为3，，，两两垂直，则（ ） A．直线平面 B．平面平面 C．六面体体积的最大值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为_________． 13．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则_________．（用，，来表示） 14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面．若存在，指明点的位置并给出证明，若不存在，说明理由． 17．（15分）在中，，，分别为内角，，的对边，且，． （1）若，求； （2）若，在边上且，求证：； （3）求面积的最大值． 18．（17分）如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． （1）求证：； （2）若，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若，求该五面体的体积的取值范围． 19．（17分）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过，的直线的点方向式方程； （2）已知平面：，平面：，平面：，若，，证明： （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2026-2027学年第一学期第一次月考 高二年级数学试题答案 1、 单选题 ABBC CBBD 二、多选题 9、CD 10、BCD 11、ACD 三、填空题 12. 13. 14. ， 四、解答题 15、（13分）解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间和最高气温低于的天数为， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关． 如果最高气温不低于，需求量为瓶，如果最高气温位于区间，需求量为瓶，如果最高气温低于，需求量为瓶， 所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率． （2）当温度大于等于时，需求量为，所以利润元， 当温度在时，需求量为，利润元， 当温度低于时，需求量为，利润元， 当温度大于等于时，利润， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于的天数有：， 所以估计大于零的概率. 16、（15分）解：(1)因为底面，平面,所以； 又底面为正方形，所以,,所以平面, 又平面，所以平面平面,得证. (2)取的中点,的中点,连接、、, 所以会有,,又,, 所以且, 所以四边形为平行四边形， 所以,面,面, 所以平面平面, 所以点，即为我们要找的F点. 17、（15分）解：（1）若则，由余弦定理得cosB=； （2）证明：，， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. 18、（17分）解：(1)如图1，取的中点，连接，，，， 由题意易得，可得，是的中点， 所以， 因为是边长为2的等边三角形，故，又为的中点， 所以， 又，平面， 所以平面，平面， 所以． （2） 易知为空间的一组基底，，， ， ， ， 所以直线与直线AD所成角的余弦值为。    （3）解法1：如图3，将该五面体补形成三棱柱， 设到平面的距离为，由（1）知为的高， 如图4在四面体中，作于，过作于，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，，平面， 所以平面，即， 因为平面，平面， 所以，结合，平面，， 可得平面， 所以，，， ， 则， 则．    解法2：如图3，将该五面体补形成三棱柱， 过B作于，由对称性，易得， ，， ． 19、（17分）解：（1）由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为（形式不唯一）． （2）由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3）易得侧面所在平面的法向量， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，所以集合， 可知多面体与坐标轴交于各点， ，如图所示， 由集合所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程， 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以， 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为， 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为， 综上，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $