精品解析：山东省临沂第一中学2026-2027学年高三上学期第二次教学检测数学试卷

临沂一中2024级高三学年第二次教学检测 数学试题 2026年10月 一、单选题． 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由 得 ，故 ； 由 得 ，故 . 所以 ，元素个数为 . 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的单调性，结合充分条件、必要条件分析判断即可. 【详解】充分性：当时，因为函数在上单调递增，所以， 此时无意义，故充分性不成立； 必要性：函数在上单调递增，所以由得出， 又函数在上单调递增，所以，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 3. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的除法化简，再由共轭复数的概念确定，即可得虚部. 【详解】由，故，虚部为. 故选：C 4. 已知平面向量，若，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 解得． 5. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用单调性求出在上的值域，再结合方程恒有解列式求解. 【详解】当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数在上的值域为， 而函数在上单调递减，值域为， 要使关于的方程恒有解，则，解得， 所以的取值范围是. 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.  根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 7. 已知直线与曲线和均相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围. 【详解】令， 则 当时，，∴，即， 令，则， ∵时，， 且时，，时，，时，， ∴，∴， 综上，. 故选：D. 二、多选题． 9. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用的几何意义，转化为原点到直线的距离最小值即可；对于B，利用乘“1”法变形代数式，利用基本不等式可求最值；对于C，直接应用基本不等式可求的最值；对于D，先将目标式子平方化简，再用基本不等式求最值. 【详解】对于A，的几何意义为直线上第一象限内的点到原点的距离的平方， 原点到直线的距离为：， 对应距离的平方，此为的最小值，故A正确. 对于B，， ， 当且仅当时等号成立，结合可解得a，b均为正数，符合条件， 所以最小值为，故B错误. 对于C，由，变形得， 当且仅当，即，时等号成立， 当趋近于0时，趋近于，趋近于0， 因此，没有最小值，故C错误. 对于D，， 当且仅当，即，时等号成立，所以， 最大值为，故D正确. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，且，则（ ） A. 的外接圆半径为 B. C. 的面积为3 D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理即可求解；对于B，将所给式子化简，结合正弦定理化角为边即可；对于C，根据余弦定理求出边a，b的值，结合三角形面积公式即可求解；对于D，将边a，b，c长度相加即可. 【详解】对于A，因为，， 由正弦定理得：(为的外接圆半径)， 所以的外接圆半径为，故A错误. 对于B， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以 ，故B正确. 对于C， 由余弦定理：， 即， 解得，所以， 所以的面积为，故C错误. 对于D，的周长为，故D正确. 11. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇函数推中心对称、偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，推出函数递推关系 和周期T=4；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证所有选项，最终确定正确答案. 【详解】 是奇函数 ，函数关于点 中心对称， 是偶函数 ，令 ，得，函数关于直线 轴对称，得， 对于A，由 ，令 ，得，所以，故A 错误； 对于B， ，把 换成 ，得，因 ， 则有，再把 换成 ，得， 两式相减，可得，即的一个周期为 4，故B正确； 对于C，由上分析已得，故 C正确； 对于D，已知 ，周期为 4，， 由，得，又因， ， 得，由 的周期为4，得， 则函数在一个周期内的和是， 因为，所以，故D 错误. 三、填空题． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________.（答案用坐标表示） 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，所以， 且，向量在向量上的投影向量如下， 为. 13. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由已知条件列方程组可求出，再由前项的和为127列方程可求出. 【详解】设等比数列的公比为，则由题意得 ， 所以，得， 所以比数列前项和为 ， 得， 所以，解得， 故答案为：3 14. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数，求得，从而求得. 【详解】函数， ， 令，得，即，； 令，得，即，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值 ，极小值点为. 所以，. 令，得， 所以，即， 所以. 因为，所以，. 所以. 四、解答题． 15. 已知数列满足，且是以为公比的等比数列． （1）求数列中的最值； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）最大值，无最小值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求出数列的通项公式，分析该数列的单调性，即可得出数列的最值； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为，， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列． 故，即， 易得数列单调递减，故数列有最大值，无最小值． 【小问2详解】 易得，， 则， 两式相减得， 则． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期是，对称轴是，． （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）先由平移可得，再由正弦函数性质判断的单调性及值域，结合函数图象可得的取值范围. 【小问1详解】 由． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． 【小问2详解】 由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中求出，在中利用余弦定理求出. （2）利用平面向量基本定理和余弦定理求出和边，从而求出的面积. （3）先由互补角余弦定理得到两边的关系，再由锐角三角形得到两边的取值范围，最后用函数单调性求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，， 所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. 【小问2详解】 因为，，为的角平分线， 所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. 【小问3详解】 设，，， 由，则得， 整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． 19. 已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）设，是的两个零点，证明：． 【答案】（1） （2） 不妨设，由，则． 构造函数， ， 因为，，∴，即，所以在是递增，又，所以，∴， ∴． 又，∴． 而，，在上递减，所以，，即，所以，． 【解析】 【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可根据最大值求解， （2）构造函数，利用导数求解单调性，即可求解. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，在上递增，至多一个零点，不符合题意，舍去； 当时，令得，所以在上递增， 当，此时在上递减， 所以的极大值也是最大值，∴． 又时，；趋向于时，趋向于． 所以，有两个零点，a的取值范围为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂一中2024级高三学年第二次教学检测 数学试题 2026年10月 一、单选题． 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，若，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 已知直线与曲线和均相切，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题． 9. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，且，则（ ） A. 的外接圆半径为 B. C. 的面积为3 D. 的周长为 11. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 三、填空题． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________.（答案用坐标表示） 13. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则______. 14. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 四、解答题． 15. 已知数列满足，且是以为公比的等比数列． （1）求数列中的最值； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）设，是的两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $