第13期 5.4 二元一次方程与一次函 数 5.5 三元一次方程组（答案见15期）-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

4 素养·拓展 数理热 志所责年组：任小解 质量反电话 351-527126 数理据 2025年9月24日·星期三 初中数学 (上接第3版) 型空间 纸发行质量反情电话 第13期总第1157期 北师大 附加题⊙ 次”亲密无间 0351-52124s 八年银 (以下被题各地根据实际情况选) ■■■ 上接4版参考答案】 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社端辑出版杜长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707下)邮发代号：21-20 1.8分}「间支服解】 年火代数代的值时，有g回以用体 。江西郭培莲 名师点睛 求值的方法，化难为易 根据象的交点直接写出二元一次方 解：因为关于的方程组y一60 解 本周主湖66 例：已知+2y+:=4,① 是组的解 l2x+y-3=0 待定系数法”魅力在线 2x+y+: 7x+4y+3=10,② 例！如图1，已函 解是-1所以将1代入2x+,-3 的价整 元.出 54二元一次方程与一次语 数y=x+b和y=x的 Y m 三m 5车三元一次方理州 91用 。河北高倩芸 的值 象交于点P,根按名 =0.得m=5所以直线y=-x+b与直线y= 学习目标：1.体会一次数与二无一次 解：2-①，得4红+2y+2:=6 象可得，关于1，y的二元 421 举例说明，供同学们参家 的坐桥求出这直线的数表达式，再将点 -2x+3的交点坐标是(-1,5).故选 程的关系，根摄两个一次西数的周象可料 别1车面有角5标中，有线马甘 的楼业标代入印可求出：俪的值 ③×之得2++：=3 次方程：+的解是 三，根据留象的交点确定对应的二元一次 = 出三元次方江单的幕 A(-3,-1》和(1,3)，求直线的函数表达式 (2)利用线的品表达式求出点D的 方程组 所以2x◆y+:的值为3 5 2掌驱转用二元一次方程组确定一次西 分斯：运用将定系数法的四字快”印可求斜 标，进而求出△0CD的面积 B=-3. 例3用图象法解某 为1520 【类比迁移】 的表达式 解：设直线的函数表达式为y=x+ 解：(1)设经过点A,B的直线的函数表达式 y=-1 元一次方吊组时，在同一 面直角坐标系中西出相应的 ◆3.绝解简单的三元一次方税组 根据意，得36。-1 为y=红+. 则3x44+ C=-3 D.=3 认知重点：1会根据一火函数的图象解棒 =I 两个 次函数的图象（如 20 1k+6■3， 根据圆意，得体+6=， 5:的值为 2),则所解的二元一次方程 次函与二元一次方的美系 解：根把图象可知：函数y=味+6和y=缸 【实际应用】 胡是 ,用最省，最省费用 2会用待定系址法求一次品数的表达式 解特化 3k+b=-3 的图象的交点坐标是P(一3，)，所以关于1，y 解得=-2 b=3 (2)某班班委准备把本学期实度品的钱 解：设过点(1,1)和(0。-1)的直线的数才 的二元一次方是组：+的解是 所以直线了的面数麦大式为Vm◆2 L(I 所以这条直线的函数表达式为y=一2x+3 同学们买期中奖品，根起商店的价格，若购买 LW=人了 达式是)=+所以+：解得 用待定系数祛确定一次函数的表达式，通 例2在平面直角坐标系中，一条直线经过 -L 当x■-2时，y■-2×(-2)+3■7.则 3本笔记本，2支签字笔，1支记号笔需要2%元： =2 常先设出一次函数的达式y=k+,再根据 A(1,),B(3,-3),C(-2,m)三点 若7家门k5支然字京3支已号京需出 过点(1,1)(0，-1)的直线的数 m=7. 圆意找出两组对应值，代人y=体+6，得到一个 (1】求ma值 (2)由(1)知点C的坐标为(-2,7). 66元.本疏共45位同学，则购买45本笔记本 二、根据二元一次方程组的解确定一次 表达式是y=2x-1.过点(1,1)和(02)的直线 米，阿对轮台 关于k,b的二元一次方程组，从而解出素和6的 (2)设这条直线与y抽麦于点D.求△OCD 数象的交点 今x=0.则y=3,所以点D的坐标为(0,3) 45支签字笔45支记号笔需要多少钱 的表达式y+所家 值.即可得到一次函数的表达式整个过程可以 的风 例2已知关于y的方程组 简单心结为“设”一列”“解”“代”四字快下面 分析：(1)适月种定系数法，根海A,B两点 所以Sam=7×3×2=3 三划 专恋辅甲 元一次方程组时，我们就会发现，3x+3y=2 +与直线y=-2x+3的交点坐标是( 数表达式是y=一x+2所以所解的二元一次 00m+00m 化后是x+=4,X洋.压上两个方界品后 201 A.-1,-5 B.(-151 故城/=2-1. C031 D,(5,-1) 方程组是)■2x-1, -x+2. 探索三元一次方程组的图象角 个方程，所以这个方程组有无穷多个解 3无解：当二元一次方程组对应的两个 第12期2版参考答案 43日骨物日，33400g11=3130≥1 8000 。山东贺正中 次函数的图象没有交点时，这个二元一次方程 5.3二元一次方程组的度用(1) 因为330m2320≥3100.所以进择方案3最省钱 2+70. 53二元一次方程组的成用[3] 二元一次方程组与一次函数有着内在联 是3 组无解 6 2(12分)新定义：若P(x)的，纵坐 12= 多地鞋12 型程达到20，的千米 系：一般地，每个二元一次方程斯对应两个 y3 网题3：用图象法解二元一次方程组： 次处，于是也就对着两条直线.从“数”的角 二拓展再 +y=4, 是二元一次方得r+y=e的整数解，此时称 4设有：美，鸟有) 0 /千克的干梁千克，42元/千克的 度看，解方雅组相当于考虑自度晋为何值时两 这种利用图象解二元一次方程组的方法， x+y■2 点P为二元一次方程+y=c的“好点” 果，千克 分析：卤知3，在面有由际：中班出实 个盖鞋的值槽革，以及这个面竖值是值：从 (1)已知点A(-1,2).B(4.-3).C(-3. 可以直观地展示二元一次方程组解的情况： ：身有常头有日 1),请哪个点是二元一次方程3+2y■6的 答：害要2元/千克的干果60于克.42元/干克的 900千米 形”的角度看，解方程相当于残定两条直线 个二元一次方程组对应的两个一次函数的图 .一个解：当二元一次方界饵对应的两 设记写望修单价为，元，曾盒的单价为， “好点”学 干果40千克 的点坐标 次函数的图象只有一个交点时，这个二元 象，其对应的一次数分别是y=-x+4和) =-素+2，可以发现，这两条直战互相平行，没 (2)已知是正整数，且P(4,)是方程x+ 第2期3版参考答案 可以看出.二元一次方程组与一次函数之 次方程组就有一个解，如回爆1， 有交点，所以这个二元一次方程组无解 2y=6和2x+灯=10的“好点”，求k的值 所以002g+》=600x(2×3+10}=900 间是“灵礼”与“区体”的关系，那么利用图象如 2无穷多个解：当二元一次方程组对应的 (3)已知：为正整数，点M的坐标是(2， 因为90039000，丽以波望不能实见 5.3二元一次方程组的应用2】 二9+y 7,105.2:L24: 何来解二元一次方程组呢？下面就具体问圈，并阿个一次函数的图象里合时，这个二元一次方 3),点N是方程13x+11y=70和y= 基础练4：2,25： 结合二元 次方程组解的情况，利用图象法加 程组就有无穷多个解 的“好点”，求直线MW的函数表达式 5.16千米/时，2如千米/寸14.28. 22:B.8:14号现号 答当 以体程： 问题2：用图象法解二元一次方程组： 5《1)设每调甲种货车满武时能运输原料x吨，每 41101 三，15.设大容区的客可是x制，小客的容双是，解 一，过程研究 极据意，得】解得上48 闷题1：用图象法解二元一次方程组： 3x+3y■12 +6y=30 是业2解 个，加式纸 ￥+y=6, 答：细辆甲中货车效时能输原科4电，辆乙种 分析：如图2，在平面直角坐标系中画出这 设，乙种车 2x-y=3 个二元一次方吊组对应的两个一次函数的图 另一方面，如果用代人法或加减法解这个 根据恩数，得 《1-专x=(目-40原为 ,绘留：如图1，先在平直角坐标系中画 象，发现这两条直线互相重合，北就是说有无数 二元一次方径组时.我们就会发现，方程x+= 得+3=5所似m=5 4 出一次函数y=6-x和y=2-3的图象 个点的坐标同时满足二元一次方程x+y=4和4和x+y=2在消元后，左右两边都是常数，且 用为出，的为正体数 -所以n=6网 y2-3 3x+3y=12所以这个方是组有无穷多个解就 左右边不等，所以这个方程组无解 38 十分直观了 小结：通过上对二元一次方程组象解 因为，a均为正 以有3种中车室 ,=135=54 法的探拿与拓展，表们不仗能用“形“与“数”相 方率1：组用9辆印抑货车，3辆乙种货年 结合来研完问题，并且在研究中把问题加以拓 空之，图用6括用拍指红7括/和粉车 答：安排8引米布料业产玩偶A,54米布料业产玩圆 0.所 方案3：和州3辆甲种货车，1锈乙种货氧 B,才能使得场偶A,B给好在 为55,160.16 展，得了新的发现这样，我们学习知识就 (3)方常1所需费用为：30×9·20然3· 18,《1)设每果A种花草的价格为x元，每棵B神花 [全文完 134 不会只高服于一种方法的拿恨，而是对一袋重 数理报杜试题研究中心 3300元)： 草的价格为y元 (参考答案见15期】 方室2写周费用为：30×6200发7=330无)： 下转1,4版中缝) 2.定解：观察图1会发现，这两个一次函数 为4 姿恶想方法全面地从“数”与“形”的结合加以 的图象都经过点(3,3)，即点(3,3)同时满足这 尚度认识，使我们研完问道的能力得到全面 两个方程，也就是说，这个二元一次方程组的解 另一方面，如果用代入法或加减法解这个提并 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 54.2二元一次方程与一次函数的应用 y=一x+1的图象，井根据图象直按写出方园 跟踪训练 厚份训练 同步检测 组P=+ 的解 1.一次函数的图象经过点(1.2)和(-3， 5.4二元一次方程与一次函数 1),则它的表达式为 -TONGBUJIANCE- 54,1二元一次方程与一次函数的关系 Ay-- 【检测范围：5.4-55】 ,精心选一选（每小题4分，共32分】 体能，小领从教学楼以1米/秒的速度步行去操场 便迎调练 Cy…子+g y子音 题号12345678 上元丘求要，壮学楼出发的司甘、华从怪场 以5米/秘的速度跑步回数学楼食球拍.再立刻 1.如图1，一次函数y=x+1 2已知=3和2：是二元一次方程 原速度返回燥场上乒民球溪已知小颗、小华之间 与Y=mx+3的图安安干占P(「 1y=-2 2,则关于，y的方组 【,如图1，在平面直角坐标系 的距离（来）与出发时间x(书)的部分函数图象 H+y■-3的明个解.则一次函数y=鲜+6的 中，直线y■2x+b与直线y=-3x 如图3所示，则下列说法错误的是 的郭是 图象与y触的交点坐标是 +6相交于点A,则关于xy的二元 A,点C对应的横坐标表示小华从操场到数学 4.《0.=7》 且.(0.4) B/作=2， 5,5三元一次方程组 老用的时间 B.x=30时两人相距120米 16.(10分)如图8，直线1的函数表达式为 y =I c.(0.- D.(-.0 衣方国，。：8省 雕3鲜=2，目有线与交干点D.有发、与x相 堡础训练 C.小颖，小华在75时二次相遇 c 2 3如图I,将含450角的直角已角尺04B放置 交于点A,且经过点B(4.1),直线与交于点 D.CD段的函数表达式为y=-4x+4O0 在平面直角坐标系中，点0与坐标原点重合，已知 2.下列象中，可能是以二元一次方程2：+y 上将三元一次方程组k1 C(m,3. 4+2b+e=3,消 y=0 y=3 二，妇心填一填（每小题4分，共24分） 点A的坐标为(3,1).则直线AB的函数表达式为 《1)求商线L,的数表大式： 9.已知直线y=x-2与y=w一？相交于点 =-5的解为坐标的点组成的图象的是( u-A+r三0 D.=3. (2)利用函数国象可出关于￥，y的二元一次 上未效后，所得二元 次方程可能是 c y=1 M(3,),则关于1，的二元一次方程组 2.若以二元一次方程x+2y-6=0的解为坐 亿2，的为 方程组3~y=2, 6+7)。1的解 -26=19, B,2a+b=4 标的点(,)）都在直线y=一宁+1上，则常数 10.荆芥作为佐料常常出现在面条、凉菜等 1a+b=1 3a+5=3 D.+6=3, 的值为 食甲，是河南人夏季复食中不可减缺的一物，”刑 3,已知关于x,y的二元一次方程组 5a-2h=19 A.-1 C2 D.I 放选面条碗，呼仰啦啦吃三碗”的许语，也体现 4.某公司行幸托蹈的费用y与行李的质量 +y=3, 河的人吃而这不开用，小月已受大明中利 3x+2=6, 的关系为一次函数，由测2可划只要行李的质量 2已知方程组y+:=-6.则x+y+:的值 的生长过程，发现其中一株制芥的高(m)近似 3.解方程组{4x-y+2:=11,时，要使解法 =+子的图象必定 不超过 克，进以绝托运 是生长时间x(天)的一次函数，部分数据如表所 :+xm9 5.如图3，直找1的函数表达式为y■2x2. l5x+2y-3红=4 示，r与之问的笑式为 较为简便，应 17,(10分)某实验学校组织师生参加志题服 A.相交 B.平行 直线，与x给交于点D,直线4：y红+与x轴 A3 B.4 C.5 D.6 生长时同天的的 A先滑去 B.先消去y 务活动，到距离学校124km的老院做义工，早上 C:重合 D.不能角定 交于点A,且经过点B,直线1，.L交于点C(m.2). 3在等式y=m++e中，若x=0,y= C.先消去： D.先消去常数 8:00他门从学校出发，行驶一段时闻后在服务区体 4.已知直线y=+6(≠D)与直线y= (1)求m的值和点D的坐标： -3:若x=1,y=0:若x=-1,y=0.若x=2. 次数y=+（≠D)的图象经 1.已知2+=， -2x+4相交于点A(1.m),则关于x,y的二元 (2)求直线↓，的函数表达式： 过点(1,2)和(-1，-4)，则k与6的值分调为 3+4y2,6且+y=3,则：的 整，再次出发时同机提高了车速如9是地们离学 校的号路型y《km)与时x(h)之间的西收图 《3)求△ADC的面积 4甲，乙丙三种商品，若购灭甲3件，乙2件 值为 《1)求提速后y关于x的函效表达式： 《4)利用函数图象直接写出关干x,y的二元 丙1件，共需215元钱：若购实甲1件，乙2件.丙 A.k=3,b=-1 B.k=3,b=1 5.(1)请在如图2所示的平面直角坐标系内 次方程组=2-2 12,如图4.直线)。子+2与直线y=k( (2)他们能否在10：30前到达敏老院：请说明 3件，共需185元钱那么则买甲，乙，丙三种商昌 里由 C.k==3.b=1 D.k=-3,b=-1 画出函数y=宁+1与y=2-2的图象： 这1作批需 5如果方程组=34+2。 ≠0)在第二象限交于点A,x轴轴分别交于 5.解下列方程组： y=(k+1x-5无解，那么 B,G啊点，且35■S。t,则关于￥.y的方程组 直线y=-2h+1x-2不经过 [ka -y =0. 2-3y-6 的翠为 A.第一象限 B.其■象 2x+4y-z=0: C.第三象限 D.第四象限 6.已知方程组已-y+3=0的解为 ax y +e 0 =,1一次函数=2x与y=r+-3的 y三1， 图象的交点坐标是 18.(14分)如图10，在平面直角坐标系中，直 A.(-2.-1} B.(1.-4) 线AB:y=红+（素≠0）与x轴交于点A(3.0),与 C.(-1,-2) D.(2,-5) 13.如图5，四形A0BC四个1顺点的标分别 轴交于点B(0,3),与直线CD交于点E.已知点D 是-1,3)，0D,0),3,-1,C(5,4),在该 的华标为0.1》，点C在点A的左期日C=6 6如图3，直线与：y=2x+1与直线2：y=m 7,如国2，一次函数，：子-4的国象与轴， 内找一占P,审四个而占的币落之面PA+ 《I)请直按写出直战AB的表达式： +4相交于点P1，) 轴分别交于点A,B,过点A作直线1将△AB0分 P阳+PB+PC最小，则点P的堂标为 和直线CD的表达式： (1)求b,m的值，并结合图象写出关于x,y的 5m-y-3:=0, (2)x-2y+z=12. 成周长相等的两部分，则直线/的函数表达式为 14.和明石学分 《2)在直线CD上是否存在一点P,使得Sm 的解 7x+y-0 从甲地出发，骑自行车沿同 Lm庆-V=-4 条路到乙地参加社会实践 ?岩存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说 (2)垂直于x轴的直找x■m与直线1，山，分 Ay=-1 By=子-2 活动，如图6历示的折线04B 理扫 交干点C,D若线段CD的长为2，求#的值， 6.已知A,B两相距4800米，甲从4地出发 没曼CD分表才小泽和小、 步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到 D.y =x-3 帅离甲地的距离km)与 /l=2+ 地，设甲步行的时间为x分钟，甲.乙两人离A地 间(h)之间的函数图象 当小泽出发 的距离分别为y,米，方2米，，乃与x的函数关系 时，小帅与小泽相距6km 图象如图4所示，根据图象解答下列圆： 三，耐心解一解（共4分》 (1)直接写出，乃与。的函数关系式，并写 15.(0分)已知直线4y=:+b平行于直 出自麦x的取值范围： 线y=2x,且过点A(-2D. (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时 数理报社试题研究中心 (1)求直线的函数表达式： 乙宽A地多少米？ (参考答案见15期) 8,某校增设了多种体育选株课来假炼学生的 (2)在如图7所示的坐标系中，画出直线1，和 (下转第4版)