5.1 认识二元一次方程组 导学案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.1 认识二元一次方程组 导学案 · 2026—2027学年 北师大版数学八年级上册 第五章 二元一次方程组 · 1 课时 · 教材 P111—P114 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、学习目标与重难点 【学习目标】 • 能说出二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程；会判断一个式子是不是二元一次方程。 • 能说出二元一次方程组的定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组；知道方程组里的同一个字母必须代表同一个量。 • 理解二元一次方程的解：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解；知道一个二元一次方程有无数个解。 • 理解二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解；会判断一对数值是不是某个方程组的解。 • 会用代入检验的方法判断一对数值是不是二元一次方程（组）的解，并会写出完整的检验过程。 • 会从简单的实际问题里找出两个未知量与两条等量关系，列出二元一次方程组，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的模型。 【重点】二元一次方程、二元一次方程组以及它们的解的概念。 【难点】判断一对数值是不是二元一次方程组的解——只让一个方程成立的不算，两个方程都成立才算。 【我的预习安排】 教材页码 预习内容 我要做到 完成 P111 小明与小颖的绿植；公园购票 会用两个字母表示两个未知量，写出式子 ○ P111—P112 二元一次方程、二元一次方程组的定义 会判断一个方程或一组方程是不是二元一次（组） ○ P112 尝试·思考：方程的解与方程组的解 会代入检验，知道方程组的解是两个方程的公共解 ○ P113 随堂练习第 1—3 题 先独立完成，再对照参考答案 ○ P113—P114 《习题5.1》第 1—5 题 先独立完成，再对照参考答案 ○ 二、课前自主学习 上一章研究的是一个量随另一个量变化的关系。可是生活里还有另一种常见的情形：两个量都不知道，只知道它们之间的两条相等关系。比如小明和小颖各种了一些绿植，两个人的株数都不知道，只知道小明比小颖多 2 株、小颖给小明 1 株后小明是小颖的 2 倍；又比如 8 个人去公园买门票，成人和学生各有多少人也不知道，只知道总人数 8 人、票款合计 34 元。这样的问题只设一个未知数不顺手，要设两个未知数、写两个式子。这一节先把这一节要用的两件旧本领复习一遍，再认识两类新式子。 • 1. 填空：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程，叫做____方程；使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的____。 我写： • 2. 填空：小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，两人一共栽种了 20 株，可列等式____。 我写： • 3. 填空：x 与 y 的和是 8，用含 x 的式子表示 y，得 y = ____；当 x = 5 时，y = ____。 我写： • 4. 填空：把 x = 3、y = 4 分别代进 x + y 与 5x + 3y，算得 x + y = ____，5x + 3y = ____。 我写： • 5. 填空：x 的 2 倍与 y 的和是 10，可列等式____。 我写： ◆ 课前速记 • 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程，叫做一元一次方程；使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 • 把文字条件写成等式，先要找出两边相等的两个量，再把这两个量分别用字母表示出来；一个条件写成一条等式。 • 新的两个名字都从「元」与「次」两个字上来：「元」说的是未知数的个数，「次」说的是含未知数的项的次数。读到一个式子，先数这两件事。 • 一个式子里可以出现两个未知数，这时式子两边都要写成整式，而且每一个含未知数的项的次数都必须是 1。 温馨提示：预习时读到每一个新式子，都先数两件事——它含有几个未知数？含未知数的项的次数是几？把这两件事数清楚，下一步的判断就不容易出错。 三、课中合作探究 这一节分四层走：第一层从两个人的绿植说起，把情境里的两条关系写成式子；第二层看公园购票，从这些式子中认识二元一次方程；第三层把两个方程用大括号联立起来，认识二元一次方程组；第四层看一组数能不能让方程两边都相等，认识方程（组）的解。最后用两道教材上的小题，把代入检验这一招走熟。 温馨提示：每写出一个式子，都回头问两句话——这个式子里有几个未知数？每一个含未知数的项的次数是几？这两句话答对了，「二元一次」四个字才算真正用上。 ◆ 第一层 两个人的绿植——把两条关系写成式子 先看课本 P111 的第一个情境：小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多 2 株；如果将小颖栽种的绿植给小明 1 株，那么小明的绿植株数是小颖的 2 倍。（课本 P111） 图1 情境一：小明与小颖的绿植 ( 小明 小颖 x 株 y 株 小明比小颖多 2 株 小颖给小明 1 株后，小明是小颖的 2 倍 ) 先把两个人的株数分别设成 x 株与 y 株，再把两句话各写成一条等式 图1 题里给出两条数量关系：小明比小颖多 2 株，小颖给小明 1 株后小明是小颖的 2 倍 这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？设小明栽种了 x 株，小颖栽种了 y 株，由此你能得到怎样的式子？ 先看第一句话：小明比小颖多 2 株，也就是小明栽种的株数等于小颖栽种的株数加 2，写成式子就是 x = y + 2，也可以写成 x - y = 2。 再看第二句话：小颖给小明 1 株后，小明是小颖的 2 倍。给过之后小明有 x + 1 株，小颖剩下 y - 1 株，于是 x + 1 = 2(y - 1)。 这里有两处要留神。第一，x 始终表示小明栽种的株数，y 始终表示小颖栽种的株数，中途不能换人；第二，第二条关系里小颖的株数减少了 1，所以等号右边要用 y - 1，不能用 y。 • 练一练：（1）小颖给小明 1 株以后，小明栽种了多少株？小颖还剩多少株？（2）把 x = 6、y = 4 分别代进 x = y + 2 的左边和右边，两边相等吗？（3）两条关系里的 x 表示同一个量吗？y 呢？ 我写： 温馨提示：把情境里的每一句话都盯住「谁和谁相等」。第一句说的是两个人的株数相差 2，第二句说的是给过之后两个人的株数成 2 倍关系——两句条件正好对应两条式子。 ◆ 第二层 公园购票——认识二元一次方程 再看课本 P111 的第二个情境：周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共 8 个人，买门票花了 34 元。已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元。（课本 P111） 图2 情境二：公园购票 ( 成人 x 人 学生 y 人 成人票 5 元 学生票 3 元 总人数 8 人 票款合计 34 元 ) 两行各数一件事，每一行都能写成一条等式 图2 人数与票款各成一行：成人 x 人、学生 y 人合起来是总人数 8 人，成人票 5 元、学生票 3 元合起来是票款合计 34 元 这个情境又涉及哪些量？设他们中有 x 个成人、y 名学生，也就是成人 x 人、学生 y 人，你能得到怎样的式子？ 第一件事是数人：成人 x 人、学生 y 人，总人数 8 人，所以 x + y = 8。 第二件事是算钱：成人票 5 元、学生票 3 元，票款合计 34 元，所以 5x + 3y = 34。 把两个情境得到的式子摆在一起看：x - y = 2、x + 1 = 2(y - 1)、x + y = 8、5x + 3y = 34。它们都含有两个未知数，而且每一个含未知数的项的次数都是 1，两边都是整式。 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。（课本 P111—P112） 判断一个式子是不是二元一次方程，要顺着问三件事：它是不是方程，也就是有没有等号、两边是不是整式；它含有几个未知数，是不是正好两个；含未知数的项的次数是不是都是 1。三件事都答对了，才是二元一次方程。 • 练一练：下列各式中，哪些是二元一次方程？（1）x + y = 20；（2）2x + 5 = 10；（3）2a + 3b = 1；（4）2x + y + z = 1；（5）xy = 6。 我写： 温馨提示：「次数都是 1」说的是含未知数的项的次数，不是未知数的次数。像 xy 这样的项，两个字母相乘，次数是 2，所以含 xy 的式子不是二元一次方程。 ◆ 第三层 把两个方程联立起来——认识二元一次方程组 回到公园购票的情境。x + y = 8 与 5x + 3y = 34 这两个式子里的 x、y 表示的是同一批人：x 都表示成人的数量，y 都表示学生的数量。既然 x 表示同一个量，它就必须同时满足这两个式子。 把 x + y = 8 与 5x + 3y = 34 用大括号联立起来（如图3），就得到一个二元一次方程组： 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。（课本 P112） 图3 把两个方程联立成方程组 ( 二元一次方程组 x + y = 8 5x + 3y = 34 ) 大括号表示两个方程要同时成立，同一个字母必须代表同一个量 图3 用大括号把 x + y = 8 与 5x + 3y = 34 联立起来，合起来就是一个二元一次方程组 第一个情境里的两条式子也可以联立起来： 这里要特别记住一句话：方程组里的同一个字母必须代表同一个量。上面两个方程组各自的 x 说的是各自情境里的事，但在同一个方程组里面，同一个字母只能表示一个量。 判断一组方程是不是二元一次方程组，看三条：整个方程组一共含有两个未知数；每个方程含未知数的项的次数都是 1；由几个方程联立而成。要注意的是，方程组里的每一个方程不一定要含有两个未知数，只要合起来一共两个就行，例如 x = 2 与 x + y = 1 联立起来也是二元一次方程组。 • 练一练：下列各组方程中，哪些是二元一次方程组？（1）3x - 2y = 9 与 y + 5x = 0；（2）x - 3y + 9z = 8 与 y + 3z = 5；（3）x = 2 与 x + y = 1；（4）xy + y = 5 与 x - y = 4。 我写： 温馨提示：判断二元一次方程组，先看整个方程组里一共有几个未知数，再看各方程里含未知数的项的次数。像第（2）组那样出现三个未知数的，就不是二元一次方程组。 ◆ 第四层 一组数能不能让两边都相等——认识方程（组）的解 现在看课本 P112 的「尝试·思考」。（课本 P112） • （1）x = 6、y = 2 满足方程 x + y = 8 吗？x = 5、y = 3 呢？x = 4、y = 4 呢？你还能找到其他 x、y 的值满足方程 x + y = 8 吗？ • （2）x = 5、y = 3 满足方程 5x + 3y = 34 吗？x = 2、y = 8 呢？ • （3）你能找到一组 x、y 的值，使它们同时满足方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34 吗？ 第（1）问要做的其实是同一件事：把一对 x、y 的值分别代进 x + y，看算出来的结果是不是 8。算出来的结果正好是 8，就说这一对数值使方程左、右两边的值相等。 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。（课本 P112） 注意「一对」两个字：二元一次方程的解要成对出现，写成 x = a、y = b 的样子，单独一个数不算它的解。 一个二元一次方程有多少个解？在 x + y = 8 里，x 每取一个值，就有一个 y 的值与它相配，所以这样的成对数值有无数个。也就是说，一个二元一次方程有无数个解。 第（3）问要的是一对能同时满足两个方程的数值。这样的数值既要是第一个方程的解，又要是第二个方程的解，是两个方程的解里共同的那一部分。 图4 方程的解与方程组的解 ( 方程①的解 方程②的解 公共解 ) 两个圈共同的那一块就是各个方程的公共解，也就是方程组的解 图4 左边的圈装的是方程①的解，右边的圈装的是方程②的解，两圈叠在一起的那部分装的是公共解 方程①的解与方程②的解各自都有无数个，两个圈一叠，共同的那一块就只剩下一小组数值了，这一小组数值才叫公共解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。（课本 P112） 于是检验的方法就清楚了：把一对数值分别代进方程组里的每一个方程——只使其中一个方程成立，它只是那个方程的解；代进两个方程都成立，才是这个方程组的解。 • 练一练：（1）下面四组数值中，哪些是二元一次方程 2x + y = 10 的解？① x = -2、y = 6；② x = 3、y = 4；③ x = 4、y = 3；④ x = 6、y = -2。（2）二元一次方程组 x + 2y = 10 与 y = 2x 的解是下面四组数值中的哪一组？① x = 4、y = 3；② x = 3、y = 6；③ x = 2、y = 4；④ x = 4、y = 2。 我写： 温馨提示：检验一对数值是不是方程组的解，两句话要记牢——「只让一个方程成立的不算，两个方程都成立才算」。代进第一个方程成立就停笔，那还没有做完。 ◆ 例题 用代入检验判断是不是解 看两道教材上的小题。例1：下面四组数值中，哪些是二元一次方程 2x + y = 10 的解？（1）x = -2、y = 6；（2）x = 3、y = 4；（3）x = 4、y = 3；（4）x = 6、y = -2。（课本 P113 随堂练习第 2 题） 解：把每一组数值分别代进 2x + y。第（1）组：2 × (-2) + 6 = -4 + 6 = 2，不等于 10，所以不是。第（2）组：2 × 3 + 4 = 6 + 4 = 10，等于 10，所以是。第（3）组：2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11，不等于 10，所以不是。第（4）组：2 × 6 + (-2) = 12 - 2 = 10，等于 10，所以是。因此第（2）组和第（4）组是二元一次方程 2x + y = 10 的解。 例2：二元一次方程组 x + 2y = 10 与 y = 2x 的解是下面四组数值中的哪一组？（1）x = 4、y = 3；（2）x = 3、y = 6；（3）x = 2、y = 4；（4）x = 4、y = 2。（课本 P113 随堂练习第 3 题） 解：这一题要代两个方程。第（1）组：x + 2y = 4 + 2 × 3 = 10，第一个方程成立；但 y = 2x 就是 3 = 2 × 4，不成立，所以不是。第（2）组：x + 2y = 3 + 2 × 6 = 15，不等于 10，第一个方程就不成立，所以不是。第（3）组：x + 2y = 2 + 2 × 4 = 10，第一个方程成立；y = 2x 就是 4 = 2 × 2，也成立，两个方程都成立，所以是。第（4）组：x + 2y = 4 + 2 × 2 = 8，不等于 10，所以不是。因此这个方程组的解是第（3）组。 图5 检验一对数是不是方程组的解 ( 一对未知数的值 代进第一个方程 代进第二个方程 两个方程都成立 ) 两步代入缺一不可：只代一步就下结论，很容易判断错 图5 从一对未知数的值出发，依次代进第一个方程、第二个方程，两个方程都成立才是方程组的解 例3：判断 x = 2、y = 4 是不是二元一次方程组 x + 2y = 10 与 y = 2x 的解，并写出检验过程。 解：把 x = 2、y = 4 代进第一个方程，左边 = 2 + 2 × 4 = 10，右边 = 10，左边等于右边，第一个方程成立；再代进第二个方程，左边 = 4，右边 = 2 × 2 = 4，左边也等于右边，第二个方程成立。两个方程都成立，所以 x = 2、y = 4 是这个方程组的解。 • 练一练：（1）判断 x = 1、y = 2 是不是方程组 x + y = 3 与 2x - y = 0 的解，写出检验过程。（2）判断 x = 3、y = 6 是不是方程组 x + 2y = 10 与 y = 2x 的解，写出检验过程。（3）上面两道小题里，哪一道只要代进一个方程就能否定？ 我写： 温馨提示：检验过程要写全——先写「把 x = …、y = … 代进第一个方程」，再写「代进第二个方程」，两次都写出左边与右边。只写一次、或者只写一句「成立」，都不算写完整。 四、当堂达标检测 下面 A、B、C 三组题请独立完成，把过程写在作答区，写完再对照后面的参考答案。 温馨提示：A 组考概念判断与「元」「次」的认识，B 组考解的概念与代入检验，C 组要把列式、检验与方程组合起来用。做完回头检查三点——式子里是不是正好两个未知数；含未知数的项的次数是不是都是 1；检验时两个方程是不是都代过了。 ◆ A 组（基础） • 下列各式中，是二元一次方程的是（ ）A. x + 1 = 5 B. 2x + 3y = 6 C. xy = 4 D. 2x + y + z = 1 • 填空：含有____个未知数，并且所含未知数的项的次数都是____的方程，叫做二元一次方程。 • 判断：下列各组方程中，是二元一次方程组的是____（填序号）。① x + y = 5 与 x - y = 1；② x + 2y = 3 与 x + y + z = 1；③ xy = 6 与 x - y = 2。 我写： ◆ B 组（提高） • 填空：下面四组数值中，是二元一次方程 3x + y = 8 的解的是____（填序号）。① x = 2、y = -2；② x = 3、y = 1；③ x = 1、y = 5；④ x = 4、y = 4。 • 已知 x = 2、y = -1 是二元一次方程 3x - ky = 5 的一个解，求 k 的值。 • 判断 x = 1、y = 2 是不是二元一次方程组 x + y = 3 与 2x - y = 0 的解，写出检验过程。 我写： ◆ C 组（拓展） • 已知关于 x、y 的方程 (m - 2)x + 3y = 7 是二元一次方程，求 m 满足的条件。 • 学校组织学生去科技馆参观。若租用 45 座客车若干辆，则还有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则空出一辆车。设有 x 辆车、y 名学生。（1）列出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）判断 x = 4、y = 195 是不是这个方程组的解，写出检验过程。 • 判断：下面四组数值中，哪些是二元一次方程 x + y = 0 的解，哪些是二元一次方程 x - y = 2 的解，哪一组同时是两个方程的解？① x = 1、y = -1；② x = 2、y = -2；③ x = 3、y = 1；④ x = 0、y = 0。 我写： 温馨提示：C 组第 1 题要让含未知数的项的次数保持 1，就要保证含有未知数的那一项前面的系数不为 0；第 2 题先把两条条件各写成一条方程；第 3 题把四组数值一个一个代进去，分别记下它满足哪一条方程。 五、课堂归纳总结 ◆ 知识梳理 • 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。（课本 P111—P112） • 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组；方程组里的同一个字母必须代表同一个量。（课本 P112） • 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解；一个二元一次方程有无数个解。（课本 P112） • 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解；方程组的解是两个方程的解里共同的那一部分，通常只有一组。（课本 P112） • 检验一对数值是不是方程组的解，要把这一对数值分别代进方程组里的每一个方程，两个方程都成立才是方程组的解。（课本 P112） 把这一节出现的四个名字摆在一起，对照着记： 名称 说法里的关键词 要注意的地方 二元一次方程 两个未知数；含未知数的项的次数都是 1 两边都要是整式；含 xy 的项不算一次 二元一次方程组 共含有两个未知数；两个一次方程 同一个字母表示同一个量；方程个数不一定是两个 二元一次方程的解 一对未知数的值；使左、右两边的值相等 解要成对出现，写成 x = a、y = b 的样子 二元一次方程组的解 各个方程的公共解 要同时满足每一个方程，少一个都不算 ◆ 易错清单 • 误：把 xy = 6 当成二元一次方程。正：xy 这一项里两个字母相乘，次数是 2，所以含 xy 的方程不是二元一次方程。 • 误：只数未知数的次数，不看含未知数的项的次数。正：判断「一次」看的是含未知数的项的次数，两个字母相乘的项次数是 2。 • 误：把单独一个数当成二元一次方程的解。正：二元一次方程的解是一对数值，一定要成对写出。 • 误：只代进一个方程成立，就说它是方程组的解。正：方程组的解必须是各个方程的公共解，两个方程都要成立。 • 误：同一个方程组里，同一个字母换了意思。正：方程组里的同一个字母必须代表同一个量。 • 误：认为方程组里每个方程都必须含有两个未知数。正：只要整个方程组一共含有两个未知数、各方程都是整式且次数是 1 就可以。 ◆ 思想方法 • 建模：从实际问题里找出两个未知量，再找出两条把未知量连起来的相等关系，把两条关系各写成一个方程，合起来就是方程组。 • 化归：判断一组数值是不是某个方程的解，办法是把它代进方程，算一算左、右两边的值是不是相等——把「是不是解」化成「算一算两边等不等」。 • 类比：二元一次方程与一元一次方程的差别只在未知数的个数，判断的办法、解的含义都可以照着原来学的去想，只是「解」从一个数变成了一对数值。 图6 从实际问题到二元一次方程组 ( 实际问题 两个未知量 两个等量关系 二元一次方程组 ) 四个环节按顺序走，等量关系找不全，方程组就列不出来 图6 从实际问题出发，先找出两个未知量，再找出两条等量关系，最后列出二元一次方程组 把这一节从实际问题走到二元一次方程组的路线整理成一张表： 环节 要做的事 本节里对应的一步 实际问题 看清题里出现哪些量 小明和小颖的绿植、公园购票 两个未知量 设两个字母分别表示两个未知量 设小明栽种 x 株、小颖栽种 y 株 两个等量关系 找出两条把未知量连起来的相等关系 x + y = 8 与 5x + 3y = 34 二元一次方程组 把两个方程用大括号联立起来 得到一个二元一次方程组 我写： 六、课后巩固训练 课后先独立完成 A、B、C 三组题，再做课本上的《习题5.1》。做题时先把每个方程里的未知数与含未知数的项的次数数一遍，再动笔算。 ◆ A 组（基础巩固） • 填空：判断一个式子是不是二元一次方程，要看三件事——两边是不是____、是不是含有____个未知数、含未知数的项的次数是不是都是____。 • 下列各式中，是二元一次方程的是（ ）A. 3x - 5 B. x + y = 7 C. x + y + z = 2 D. xy = 1 • 填空：下面四组数值中，是二元一次方程 2x - y = 4 的解的是____（填序号）。① x = 3、y = 2；② x = 1、y = 2；③ x = 4、y = 4；④ x = 0、y = 4。 我写： ◆ B 组（能力提升） • 填空：下面四组数值中，是二元一次方程组 x + y = 7 与 x - y = 1 的解的是____（填序号）。① x = 3、y = 4；② x = 4、y = 3；③ x = 5、y = 2；④ x = 2、y = 5。 • 已知 x = -1、y = 3 是二元一次方程 2x + my = 7 的一个解，求 m 的值。 • 一筐水果里有甲、乙两种水果共 12 个。甲种水果每个 3 元，乙种水果每个 4 元，这筐水果一共 41 元。设有甲种水果 x 个、乙种水果 y 个。（1）列出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）判断 x = 7、y = 5 是不是这个方程组的解，写出检验过程。 我写： ◆ C 组（综合拓展） • 已知关于 x、y 的方程 (k - 1)x + 2y = 5 是二元一次方程，求 k 满足的条件。 • 小亮到文具店买甲、乙两种笔记本：买 3 本甲种笔记本和 2 本乙种笔记本共花 34 元；买 5 本甲种笔记本和 4 本乙种笔记本共花 62 元。设甲种笔记本每本 x 元、乙种笔记本每本 y 元。（1）列出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）判断 x = 6、y = 8 是不是这个方程组的解，写出检验过程。 • 判断：下面四组数值中，哪些是二元一次方程 x + 2y = 8 的解，哪些是二元一次方程 2x - y = 1 的解，哪一组同时是两个方程的解？① x = 2、y = 3；② x = 4、y = 2；③ x = 0、y = 4；④ x = 3、y = 1。 我写： 温馨提示：C 组第 1 题先想清楚哪一项含未知数，再保证它的系数不为 0；第 2 题把两条条件各写成一条方程；第 3 题把四组数值逐一代进两条方程，分别记下满足情况，最后取共同的那一组。 ◆ 《习题5.1》（课本 P113—P114） • 第 1 题（课本 P113）：甲种物品每个 4 kg，乙种物品每个 7 kg。现有甲种物品 x 个、乙种物品 y 个，共重 76 kg。（1）列出关于 x、y 的二元一次方程；（2）若 x = 12，求 y 的值；（3）若乙种物品有 8 个，求甲种物品的个数。 • 第 2 题（课本 P113）：下面四组数值中，哪一组是二元一次方程组 7x - 3y = 2 与 2x + y = 8 的解？（1）x = -1、y = -3；（2）x = 2、y = 4；（3）x = 4、y = 2；（4）x = 1、y = 6。 • 第 3 题（课本 P114）：根据题意列方程组。（1）2017 年和 2021 年，我国成功完成宇航发射共计 69 次，其中 2021 年成功完成宇航发射的次数比 2017 年的 3 倍多 1 次，这两年成功完成宇航发射各多少次？（2）将一摞笔记本分给若干名学生，若每名学生 5 本，则剩下 8 本；若每名学生 8 本，则又差了 7 本，共有多少本笔记本、多少名学生？ • 第 4 题（课本 P114）：（1）找出几组满足方程 x + y = 0 的 x、y 的值；（2）找出几组满足方程 x - y = 2 的 x、y 的值；（3）找出一组 x、y 的值，使它们同时满足方程 x + y = 0 和 x - y = 2；（4）根据上面的结论，直接写出二元一次方程组 x + y = 0 与 x - y = 2 的解。 • 第 5 题（课本 P114）：小明和小丽两人同时到一家水果店买水果。小明买了 1 kg 苹果和 2 kg 梨，共花了 26 元；小丽买了 2 kg 同样品种的苹果和 1 kg 同样品种的梨，共花了 28 元。根据题意，小明列出一个方程组，小丽列出的是另一个方程组。交流后，他们发现两个方程组不同，都认为自己正确、对方错误。他们列出的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ ◆ 中考真题小练 • (2026年·重庆) 《九章算术》中记载：5 个大容器和 1 个小容器的总容量为 3 斛，1 个大容器和 5 个小容器的总容量为 2 斛。设 1 个大容器的容量为 x 斛，1 个小容器的容量为 y 斛，则可列方程组为（ ）A. 5x + y = 3 与 x + 5y = 2 B. 5x - y = 3 与 x + 5y = 2 C. 5x + y = 3 与 x - 5y = 2 D. x + 5y = 3 与 5x + y = 2 • (2026年·北京) 方程组 x + y = 4 与 3x - 2y = 7 的解是（ ）A. x = 3、y = 1 B. x = 3、y = -1 C. x = 5、y = 1 D. x = 5、y = -1 • (2026年·山西) 《考工记》中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例。制作一个鼎需要 12 千克铜和 2 千克锡，制作一面铜镜需要 1 千克铜和 1 千克锡。现用 60 千克铜和 20 千克锡制作鼎和铜镜，这些铜和锡恰好全部用完。求可制作多少个鼎、多少面铜镜。 • (2026年·河南) 一本书的长度加上一拳的长度是 1 尺，这本书长度的 2 倍比一拳长度的 3 倍多 1 尺。这本书的长度和一泉的长度各是多少尺？ • (2026年·吉林) 购买 7 箱一号玉米和 9 箱二号玉米共花费 580 元；购买 2 箱一号玉米比 1 箱二号玉米多花费 5 元。求每箱一号玉米和每箱二号玉米的售价。 • (2026年·山东烟台) 路上一群马车，每辆车坐的人数都相等。若 5 人坐一辆车，则有 3 辆车是空的；若 4 人坐一辆车，则有 9 人步行。设有 x 辆车、y 个人，根据题意可列关于 x、y 的方程组为____。 七、学后反思与概念辨析小结 ◆ 我的收获 • 我知道了二元一次方程长什么样：含有两个未知数，而且每一个含未知数的项的次数都是 1。 • 我会用两条条件各写一个方程：一句「小明比小颖多 2 株」写出一条，一句「小明是小颖的 2 倍」写出另一条。 • 我知道了二元一次方程组是把两个方程用大括号联立起来，而且方程组里的同一个字母必须代表同一个量。 • 我分清了两个「解」：一个二元一次方程有无数个解，成对出现；方程组的解是两个方程的解里共同的那一部分，叫公共解。 • 我学会了检验：把一对数值分别代进方程组里的每一个方程，两个方程都成立才是方程组的解。 ◆ 我的疑问 • 两个方程的解都是无数个，它们的公共解为什么通常只剩下一组？我打算自己再找两组方程，画一画它们的解，看看共同的那部分有多大。 • 如果一个方程组的两个方程算出来没有共同的那一部分，那说明什么？我想找个例子试一试。 ◆ 概念辨析小结 把这一节最容易混淆的四处对比整理成一张表： 容易混淆的两处 怎么分 一句话记法 二元一次方程与一元一次方程 看未知数的个数：一个还是一对 多了一个未知数，解也从单个数值变成了一对数值 二元一次方程与二元一次方程组 看是单个方程还是一组方程 一个方程有无数个解，一组方程的解通常只有一组 方程的解与方程组的解 看满足一个方程还是满足每一个方程 公共解要同时满足组里的每一个方程 xy = 6 与 x + y = 6 看含未知数的项的次数 两个字母相乘的项次数是 2，不是一次 我写： 八、参考答案 ◆ （一）课前自主学习 1. 一元一次；解。 2. x + y = 20。 3. y = 8 - x；3。 4. 7；27。 5. 2x + y = 10。 ◆ （二）课中合作探究 第一层：练一练——（1）给过之后小明有 x + 1 株，小颖剩下 y - 1 株。（2）相等。左边 = y + 2 = 4 + 2 = 6，右边 = x = 6，左边等于右边。（3）都表示同一个量：两条关系里的 x 都表示小明栽种的株数，y 都表示小颖栽种的株数。 第二层：练一练——只有第（3）个是二元一次方程。第（1）个含有两个未知数，但含未知数的项（x 与 y）的次数都是 1，其实也是二元一次方程；第（2）个只含一个未知数；第（4）个含有三个未知数；第（5）个含 xy，这一项的次数是 2。所以本节四个情境式子里，x + y = 20 与 2a + 3b = 1 都是二元一次方程。 第三层：练一练——（1）是。（2）不是，整个方程组含有 x、y、z 三个未知数。（3）是，两个方程合起来一共含有 x、y 两个未知数。（4）不是，xy + y = 5 里含 xy，这一项的次数是 2。所以是二元一次方程组的是第（1）组和第（3）组。 第四层：练一练——（1）第②组和第④组是：2 × 3 + 4 = 10，2 × 6 + (-2) = 10；第①组 2 × (-2) + 6 = 2，第③组 2 × 4 + 3 = 11，都不等于 10。（2）第③组。代进第一个方程：2 + 2 × 4 = 10，成立；代进第二个方程：4 = 2 × 2，成立。第①组第二个方程 3 ≠ 2 × 4 不成立，第②组第一个方程 3 + 12 = 15 ≠ 10 不成立，第④组第一个方程 4 + 4 = 8 ≠ 10 不成立。 例题：练一练——（1）是。代进第一个方程：1 + 2 = 3，左边等于右边；代进第二个方程：2 × 1 - 2 = 0，左边也等于右边。两个方程都成立，所以 x = 1、y = 2 是方程组的解。（2）不是。代进第一个方程：3 + 2 × 6 = 15，不等于 10，第一个方程就不成立，所以不是。（3）第（2）道只要代进第一个方程就能否定，因为第一个方程已经不成立了。 ◆ （三）当堂达标检测 A：1. B（A 只含一个未知数，C 含 xy 这一项次数是 2，D 含三个未知数）。 2. 两；1。 3. 第①组（第②组含三个未知数，第③组里 xy 的次数是 2）。 B：1. 第③组（3 × 1 + 5 = 8，其余三组代入后分别得 4、10、16）。 2. 把 x = 2、y = -1 代进 3x - ky = 5，得 6 + k = 5，所以 k = -1。 3. 是。代进第一个方程：1 + 2 = 3，成立；代进第二个方程：2 × 1 - 2 = 0，也成立。两个方程都成立，所以 x = 1、y = 2 是方程组的解。 C：1. 要让它成为二元一次方程，含未知数的项的次数都必须是 1，所以 (m - 2)x 这一项的系数不能为 0，即 m - 2 ≠ 0，m ≠ 2。（当 m = 2 时，这一项变成 0，方程里只剩 y 一个未知数。） 2.（1）45x + 15 = y 与 60(x - 1) = y。（2）不是。代进第一个方程：45 × 4 + 15 = 195，成立；但代进第二个方程：60 × (4 - 1) = 180，不等于 195，不成立。所以 x = 4、y = 195 不是这个方程组的解。 3. 满足 x + y = 0 的有第①、②、④组；满足 x - y = 2 的有第①、③组；同时满足两个方程的是第①组，所以方程组的解是 x = 1、y = -1。 ◆ （四）课后巩固训练 A：1. 整式；两；1。 2. B（A 不是方程，C 含三个未知数，D 含 xy 这一项次数是 2）。 3. 第①组和第③组（2 × 3 - 2 = 4，2 × 4 - 4 = 4；第②组 2 × 1 - 2 = 0，第④组 0 - 4 = -4）。 B：1. 第②组（4 + 3 = 7 且 4 - 3 = 1；第①组 3 - 4 = -1，第③组 5 - 2 = 3，第④组 2 - 5 = -3，都只满足第一个方程）。 2. 把 x = -1、y = 3 代进 2x + my = 7，得 -2 + 3m = 7，3m = 9，所以 m = 3。 3.（1）x + y = 12 与 3x + 4y = 41。（2）是。代进第一个方程：7 + 5 = 12，成立；代进第二个方程：3 × 7 + 4 × 5 = 21 + 20 = 41，也成立。两个方程都成立，所以 x = 7、y = 5 是方程组的解。 C：1. (k - 1)x 这一项的系数不能为 0，即 k - 1 ≠ 0，k ≠ 1。（当 k = 1 时这一项变成 0，方程里只剩 y 一个未知数，就不是二元一次方程了。） 2.（1）3x + 2y = 34 与 5x + 4y = 62。（2）是。代进第一个方程：3 × 6 + 2 × 8 = 18 + 16 = 34，成立；代进第二个方程：5 × 6 + 4 × 8 = 30 + 32 = 62，也成立。两个方程都成立，所以 x = 6、y = 8 是方程组的解。 3. 满足 x + 2y = 8 的有第①、②、③组（2 + 6 = 8，4 + 4 = 8，0 + 8 = 8）；满足 2x - y = 1 的只有第①组（4 - 3 = 1）；同时满足两个方程的是第①组，所以方程组的解是 x = 2、y = 3。（第④组 3 + 2 = 5，两个方程都不满足。） ◆ （五）课后教材习题（《习题5.1》） 第 1 题：（1）4x + 7y = 76。（2）把 x = 12 代进去，得 48 + 7y = 76，7y = 28，所以 y = 4。（3）把 y = 8 代进去，得 4x + 56 = 76，4x = 20，所以 x = 5，甲种物品有 5 个。 第 2 题：第（2）组。代进第一个方程：7 × 2 - 3 × 4 = 14 - 12 = 2，成立；代进第二个方程：2 × 2 + 4 = 8，也成立。第（1）组第二个方程 2 × (-1) + (-3) = -5 ≠ 8，第（3）组第一个方程 7 × 4 - 3 × 2 = 22 ≠ 2，第（4）组第一个方程 7 × 1 - 3 × 6 = -11 ≠ 2，都不行。 第 3 题：（1）设 2017 年成功完成宇航发射 x 次、2021 年成功完成宇航发射 y 次，可列方程组 x + y = 69 与 y = 3x + 1。（2）设共有 x 名学生、y 本笔记本，可列方程组 5x + 8 = y 与 8x - 7 = y。 第 4 题：（1）答案不唯一，例如 x = 1、y = -1，x = 2、y = -2，x = 0、y = 0。（2）答案不唯一，例如 x = 3、y = 1，x = 4、y = 2，x = 2、y = 0。（3）x = 1、y = -1。（4）二元一次方程组 x + y = 0 与 x - y = 2 的解是 x = 1、y = -1。 第 5 题：他们列出的方程组都是正确的。产生分歧的原因是他们设的 x 表示的量不同：小明把 x 设为每千克苹果的价格、把 y 设为每千克梨的价格，于是列出 x + 2y = 26 与 2x + y = 28；小丽把 x 设为每千克梨的价格、把 y 设为每千克苹果的价格，于是列出 2x + y = 26 与 x + 2y = 28。两人设的量不同，列出的方程组自然不同。同一个方程组里的字母代表什么，一定要在看题时就说清楚。 ◆ （六）中考真题 1. A（5 个大容器和 1 个小容器共 3 斛，写成 5x + y = 3；1 个大容器和 5 个小容器共 2 斛，写成 x + 5y = 2）。 2. A（代进两个方程检验：3 + 1 = 4，3 × 3 - 2 × 1 = 7，都成立；B 组 3 × 3 - 2 × (-1) = 11 ≠ 7；C 组 5 + 1 = 6 ≠ 4；D 组 5 - 1 = 4 但 3 × 5 - 2 × (-1) = 17 ≠ 7）。 3. 设可制作 x 个鼎、y 面铜镜，由铜的总量得 12x + y = 60，由锡的总量得 2x + y = 20，两式相减得 10x = 40，x = 4，再把 x = 4 代进 2x + y = 20 得 y = 12。所以可制作 4 个鼎、12 面铜镜。 4. 设这本书的长度是 x 尺、一拳的长度是 y 尺，由「一本书的长度加上一拳的长度是 1 尺」得 x + y = 1，由「这本书长度的 2 倍比一拳长度的 3 倍多 1 尺」得 2x - 3y = 1，两式联立解得 x = 0.8、y = 0.2。所以这本书的长度是 0.8 尺，一拳的长度是 0.2 尺。 5. 设每箱一号玉米售价 x 元、每箱二号玉米售价 y 元，由「7 箱一号玉米和 9 箱二号玉米共 580 元」得 7x + 9y = 580，由「2 箱一号玉米比 1 箱二号玉米多 5 元」得 2x - y = 5，解得 x = 25、y = 45。所以每箱一号玉米售价 25 元，每箱二号玉米售价 45 元。 6. 5 人坐一辆车、有 3 辆车是空的，说明实际载人的车有 (x - 3) 辆，可写成 y = 5(x - 3)；4 人坐一辆车、有 9 人步行，可写成 y = 4x + 9。所以可列方程组 y = 5(x - 3) 与 y = 4x + 9。 学科网（北京）股份有限公司 $