2.5.1 直线与圆的位置关系（讲义，知识点&8大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离的几何特征及几何法、代数法判定，延伸至相交弦长计算、切线方程求解（过圆上/外点），并拓展半圆相交及动态最值问题，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 资料特色体现在分层设计与素养导向，通过几何法与代数法的灵活选择培养数学思维，结合过圆外点求切线规避斜率漏解等实例发展逻辑推理能力。课中辅助教师高效授课，课后练习题助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达问题的能力。

司 第二章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 课标要点 1.理解直线与圆相交、相切、相离三种位置关系的几何特征。 2.掌握几何法、代数法两种判定直线与圆位置关系的核心方法。 3.掌握圆的切线性质与切线方程求解方法。 4.能利用直线与圆的位置关系解决参数、最值、证明等基础综合问题。 学习重难点 重点： 1.用几何法、代数法判定直线与圆的三种位置关系。 2.圆的切线方程求解及切线几何性质的应用。 3.结合直线与圆位置关系求解参数与几何最值。 难点： 1.根据题型特点灵活选择几何法或代数法，优化解题思路。 2.过圆外一点求切线方程，规避斜率不存在、漏解等易错问题。 3.结合几何性质简化弦长、切线类含参数综合运算。 4.直线与圆动态问题中的最值、范围类探究问题。 知识点 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 特别提醒 1、利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，由与0的大小关系判断方程组的解的个数，进一步判断两者的位置关系. 2、利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离. 随学随练 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交.故选：A 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 可得，所以直线与圆相切.故选：B. 知识点 直线与圆相交弦长 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：． 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． 随学随练 1．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为. 弦长为. 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 知识点 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 4、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为． 随学随练 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由切线与直线垂直，得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：，即.故选：A 2．（25-26高二上·江西·阶段检测）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】圆：的圆心，半径， 点到直线的距离为，则直线的方程可为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由直线与圆相切，得，解得， 则的方程为，即， 所以直线的方程为或.故选：B 拓展 直线与半圆的相交问题 1、相关知识点 （1）半圆是带定义域限制的残缺圆，不再是完整闭合曲线，所有判定必须同时满足圆的方程和半圆取值范围，常见半圆包括上半圆、下半圆、左半圆、右半圆． （2）直线与半圆的位置关系分为：无交点、一个交点（相切或过端点相交）、两个交点，不能直接套用整圆相交判定结论． （3）整圆判定只看距离与半径、判别式，半圆判定必须叠加交点定义域筛选、端点临界限制两个条件． 2、常用方法 （1）几何临界法（首选）：通过圆心距判断大致位置，重点观察直线绕定点旋转过程中与半圆相切、过端点的临界位置，快速锁定参数范围，运算量小、准确率高． （2）代数筛选法：联立直线与圆方程，解出交点后带入半圆定义域筛选有效交点，适合精准判定交点个数，解决复杂含参问题． （3）定点旋转分析法：若直线含参数且恒过定点，先确定定点在半圆内、半圆外或端点处，再通过旋转扫过半圆的区间判定相交情况． 活学活用 1．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】直线可化为所以直线过定点A. 曲线可变形整理为由下图所示： 设直线与圆相切时的斜率为直线过点且与圆有两个交点时的斜率为由图可知，当直线与曲线由两个不同交点时，斜率满足 由圆心到直线的距离为解得 所以 故答案为：. 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则.故选：D. 拓展 范围与最值问题 与圆有关的最值问题的类型及求解方法 涉及与圆有关的最值问题，利用代数式的几何意义，借助于平面几何知识，利用数形结合求解，常见的类型有： （1）形如形式的最值问题，可转化为圆上的点与点连线的斜率的最值问题． （2）形如的形式的最值问题，可转化为过圆上的点的动直线在轴上的截距的最值问题． （3）形如形式的最值问题，可转化为圆上的点到点的距离的平方的最值问题． 活学活用 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【解析】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为.故选：C 题型 判断直线与圆的位置关系 ▌例1 （25-26高二上·辽宁铁岭·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由圆的方程可得圆心坐标为， 代入直线方程得， 故圆心在该直线上，于是二者相交，有两个公共点.故选：C 解题贴士 常用几何法与代数法两种思路，几何法优先求出圆心到直线的距离，通过距离小于、等于、大于半径分别判定相交、相切、相离，运算简洁高效；代数法联立直线与圆方程，根据判别式大于、等于、小于零判定位置关系，适用于后续需要联立求解的题型，解题优先选用几何法，规避复杂联立运算． ▌对点练1-1 （25-26高二上·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【解析】由，得，， 圆心到的距离，即， 所以与圆的位置关系是相离.故选：C ▌对点练1-2 （25-26高二上·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【答案】C 【解析】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交.故选：C. ▌对点练1-3 （25-26高二上·云南曲靖·期中）下列直线中，与圆：不相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆：可化为，其圆心为，半径， 对于A, 圆心到该直线的距离等于，所以该直线与圆相切； 对于B, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于C,同理圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于D, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆不相切.故选：D 题型 利用直线与圆的位置关系求参数 ▌例2 （25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（    ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 解题贴士 根据题目相交、相切、相离的条件，转化为圆心到直线距离与半径的不等或等量关系，或转化为联立方程判别式的取值情况，建立含参数的方程或不等式求解参数值或取值范围，解题时注意直线斜率不存在、直线过定点等特殊情况，避免漏解． ▌对点练2-1 （25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【解析】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. ▌对点练2-2 （25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. ▌对点练2-3 （25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 题型 利用直线与圆的位置关系求方程 ▌例3 （25-26高二上·广东深圳·期中）半径为1，圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为___________ 【答案】 【解析】由圆的半径为1，该圆在轴上截得的弦长为2，得圆心在轴上， 又圆心在直线上，因此圆心坐标为， 则圆的方程为. 解题贴士 求圆的方程的两种方法 1、直接法（几何法）：根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径．常用到的几何性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上，且弦长的一半、弦心距、半径满足；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2、待定系数法（代数法）：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出方程组，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关时，选择圆的标准方程，否则，选择圆的一般方程，不论是哪种形式，都要确定三个独立参数． ▌对点练3-1 （25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 【答案】， 【解析】设圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为， 圆心到的距离为， 所以直线上截得弦长为， 故，解得， 故此圆的方程为或. ▌对点练3-2 （25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可设圆的方程为， 令，得， 设，则，， ，解得， ∴圆的方程是，即.故选：C ▌对点练3-3 （24-25高二上·江苏连云港·期末）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点到直线的距离是， 所以圆的半径为，所以圆的方程为.故选：A. 题型 已知切点求切线方程 ▌例4 （25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【解析】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 解题贴士 已知切点求圆的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率，由垂直关系致切线斜率为，由点斜式直线方程可求得切线方程；若切线斜率不存在或为0，则结合图形可直接的切线方程为或． ▌对点练4-1 （25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即.故选：C. ▌对点练4-2 （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）圆在点处的切线方程为___. 【答案】 【解析】将圆化为标准方程，可得圆心坐标为， 由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为：． ▌对点练4-3 （25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）过点作圆：的切线，则切线方程为______． 【答案】 【解析】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 题型 过圆外一点求切线方程 ▌例5 （25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【解析】圆的圆心为，半径， 当切线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为（等于半径），所以是切线的方程； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 此时圆心到直线距离等于半径，即，解得， 所以切线方程为 综上，过点且与圆相切的直线方程为或 故答案为：或 解题贴士 过圆外一点的圆的切线方程的求法 （1）几何法：当切线斜率存在时，设为，则切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径求出，即可得切线方程；当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为． （2）代数法：当切线斜率存在时，设，则切线方程，即，代入圆的方程消（或），得到一个关于（或）的一元二次方程，由判别式求得，即可求得切线方程（当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为）． ▌对点练5-1 （24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为__________.（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【解析】由可知：直线一定有斜率， 故设：，则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或. ▌对点练5-2 （25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离，解得， 则； 综上所述：的方程为或.故选：A. ▌对点练5-3 （25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或.故选：D. 题型 切线长问题 ▌例6 （25-26高二上·天津河东·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】圆，圆心为，半径为， 原点到圆心的距离为， 又由切线垂直于半径，故为直角三角形，由勾股定理得， 所以，所以.故选：C. 解题贴士 圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质.记切线长为，点到圆心的距离为，半径，运用勾股定理可得． ▌对点练6-1 （25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以.故选：B. ▌对点练6-2 （25-26高二上·重庆渝北·期中）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5.故选：B. ▌对点练6-3 （25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 题型 直线与圆相交的弦长问题 ▌例7 （25-26高二下·四川泸州·阶段检测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【解析】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 解题贴士 优先使用几何法结合垂径定理求解，圆心到直线的距离、弦长一半、半径构成直角三角形，利用勾股定理求出半弦长进而得整弦长，运算简单不易出错，也可联立方程利用弦长公式求解，适用于含参数、综合求值题型． ▌对点练7-1 （2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为， 所以，即. ▌对点练7-2 （25-26高二下·云南昆明·开学考试）若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由可知圆的方程为表示圆， 所以，解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得， 所以，解得或.故选：D. ▌对点练7-3 （25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由直线， 所以当时，可得，所以动直线经过定点， 要使得取最大值，即满足最小， 根据是等腰三角形，则只需要满足弦长最短， 故由圆的几何性质可知：，由于， 从而有：，解得：， 此时，， 即故选：A. 题型 直线与圆相交中点弦问题 ▌例8 （24-25高二下·云南·阶段检测）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直线的斜率存在，且∴， ∵，∴， 直线的方程为，即，故选：C. 解题贴士 解决与中点弦有关的问题的常见思路 （1）利用根与系数的关系，求出中点坐标； （2）设出弦的两个端点坐标，代入圆的方程，利用作差法求出中点坐标和斜率表示的方程，此为点差法； （3）利用圆本身的几何性质（圆心与弦中点的连线与弦垂直），可直接求斜率. ▌对点练8-1 （25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足，所以 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为， 整理得.故选：B ▌对点练8-2 （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心，半径. 设弦的中点为，连接. 在中，，， 所以. 是点到圆心的距离， 所以，即.故选：D. ▌对点练8-3 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆的性质知，故点的轨迹是以为直径的圆位于圆内部的－段圆弧，如图： 因为，所以的中点，且点D在圆C上， 故以为直径的圆的方程为， 设此圆与圆的两个交点为、，所以四边形是边长为1的菱形， 所以，所以为正三角形，且边长为1. 所以，，则弧的长度为． 基础通关 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（    ） A．或2 B．6或 C． D．2 【答案】C 【解析】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得． 2．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， ，点在圆外， 则切线长为.故选：C. 3．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 易知所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为，即.故选：D. 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 5．（24-25高二上·重庆·阶段检测）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 的圆心为，而点，所以 由题意可知，，则，所以 所以弦所在的直线的方程为，即.故选：A. 6．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 【答案】AC 【解析】选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆的方程，得，则圆心到轴的距离为4， 又，所以圆与轴相切，故B错误； 选项C：设圆心到直线的距离为，可得，解得，故C正确； 选项D：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上， 所以圆心在直线上，则，解出，故D错误. 故选：AC. 7．（24-25高二上·广东深圳·期中）过点的圆的切线方程是______. 【答案】或 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 过点斜率不存在的直线为， 圆心到直线的距离为，与圆的半径相等， 所以直线为圆的一条切线， 设过点的斜率存在的切线方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 故为圆的一条切线， 所以所求切线方程为或. 8．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 9．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【解析】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 10．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1)；(2)2或 【解析】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以，解得或. 素养提升 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内， 因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 12．（24-25高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】关于的对称点设为， 则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值， 的圆心为，半径， 连接，则即为最小值，即. 13．（25-26高二下·甘肃定西·期末）（多选）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】圆的圆心为，半径, 若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离， 即直线是圆心为、半径为的小圆的切线， 要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外， 即点到的距离. 对于A：点到的距离为，A正确； 对于B：点到的距离为，B正确； 对于C：点到的距离为，C正确； 对于D：点到的距离为，D错误. 14．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 15．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）函数与函数的图象仅有一个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】，变形可得，两边平方可得， 故表示圆心为，半径为1的上半圆（包括端点）， 过定点，如图所示， 当与半圆切于点时，圆心到直线的距离等于1， 即，解得或0（舍去）， 当过点时，，解得， 当过点时，，解得， 结合图形可知，当时， 函数与函数的图象仅有一个公共点. 迁移创新 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，所以该直线恒过定点， 因为， 所以定点在该圆的内部， 圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时， 直线被圆截得的弦最小， 则有， 由， 所以，即， 化简为：. 因为圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为. 17．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 【答案】D 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，则， 可知点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 令， 可分别看作点到直线的距离， 则是点到直线的距离的2倍， 且点到直线的距离，则的最大值为， 所以的最大值为.故选：D. 18．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知是平面直角坐标系中的点集，直线：，则中的点到直线距离的最大值为______. 【答案】 【解析】对于方程， 将替换为，则， 化简得，方程不变， 故方程表示的曲线关于轴对称， 同理可得方程表示的曲线关于轴对称. 当时，方程可化为， 即,表示以为圆心，半径为的圆在第一象限及轴正半轴的部分. 根据对称性可作出方程表示的曲线的图形，如图所示： 设, 到直线：的距离为， 所以直线：与相交. 设与直线：平行， 且与相切的直线为， 则，解得或， 由图可得不符合题意，故， 故. 由图可得中的点到直线距离的最大值为直线：与直线的距离， 即为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 课标要点 1.理解直线与圆相交、相切、相离三种位置关系的几何特征。 2.掌握几何法、代数法两种判定直线与圆位置关系的核心方法。 3.掌握圆的切线性质与切线方程求解方法。 4.能利用直线与圆的位置关系解决参数、最值、证明等基础综合问题。 学习重难点 重点： 1.用几何法、代数法判定直线与圆的三种位置关系。 2.圆的切线方程求解及切线几何性质的应用。 3.结合直线与圆位置关系求解参数与几何最值。 难点： 1.根据题型特点灵活选择几何法或代数法，优化解题思路。 2.过圆外一点求切线方程，规避斜率不存在、漏解等易错问题。 3.结合几何性质简化弦长、切线类含参数综合运算。 4.直线与圆动态问题中的最值、范围类探究问题。 知识点 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 特别提醒 1、利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，由与0的大小关系判断方程组的解的个数，进一步判断两者的位置关系. 2、利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离. 随学随练 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 知识点 直线与圆相交弦长 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：． 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． 随学随练 1．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 知识点 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 4、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为． 随学随练 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西·阶段检测）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 拓展 直线与半圆的相交问题 1、相关知识点 （1）半圆是带定义域限制的残缺圆，不再是完整闭合曲线，所有判定必须同时满足圆的方程和半圆取值范围，常见半圆包括上半圆、下半圆、左半圆、右半圆． （2）直线与半圆的位置关系分为：无交点、一个交点（相切或过端点相交）、两个交点，不能直接套用整圆相交判定结论． （3）整圆判定只看距离与半径、判别式，半圆判定必须叠加交点定义域筛选、端点临界限制两个条件． 2、常用方法 （1）几何临界法（首选）：通过圆心距判断大致位置，重点观察直线绕定点旋转过程中与半圆相切、过端点的临界位置，快速锁定参数范围，运算量小、准确率高． （2）代数筛选法：联立直线与圆方程，解出交点后带入半圆定义域筛选有效交点，适合精准判定交点个数，解决复杂含参问题． （3）定点旋转分析法：若直线含参数且恒过定点，先确定定点在半圆内、半圆外或端点处，再通过旋转扫过半圆的区间判定相交情况． 活学活用 1．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是______. 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 拓展 范围与最值问题 与圆有关的最值问题的类型及求解方法 涉及与圆有关的最值问题，利用代数式的几何意义，借助于平面几何知识，利用数形结合求解，常见的类型有： （1）形如形式的最值问题，可转化为圆上的点与点连线的斜率的最值问题． （2）形如的形式的最值问题，可转化为过圆上的点的动直线在轴上的截距的最值问题． （3）形如形式的最值问题，可转化为圆上的点到点的距离的平方的最值问题． 活学活用 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 题型 判断直线与圆的位置关系 ▌例1 （25-26高二上·辽宁铁岭·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 解题贴士 常用几何法与代数法两种思路，几何法优先求出圆心到直线的距离，通过距离小于、等于、大于半径分别判定相交、相切、相离，运算简洁高效；代数法联立直线与圆方程，根据判别式大于、等于、小于零判定位置关系，适用于后续需要联立求解的题型，解题优先选用几何法，规避复杂联立运算． ▌对点练1-1 （25-26高二上·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ▌对点练1-2 （25-26高二上·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 ▌对点练1-3 （25-26高二上·云南曲靖·期中）下列直线中，与圆：不相切的是（    ） A． B． C． D． 题型 利用直线与圆的位置关系求参数 ▌例2 （25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（    ） A． B．0 C． D．0或 解题贴士 根据题目相交、相切、相离的条件，转化为圆心到直线距离与半径的不等或等量关系，或转化为联立方程判别式的取值情况，建立含参数的方程或不等式求解参数值或取值范围，解题时注意直线斜率不存在、直线过定点等特殊情况，避免漏解． ▌对点练2-1 （25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练2-2 （25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． ▌对点练2-3 （25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A．R B． C． D． 题型 利用直线与圆的位置关系求方程 ▌例3 （25-26高二上·广东深圳·期中）半径为1，圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为___________ 解题贴士 求圆的方程的两种方法 1、直接法（几何法）：根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径．常用到的几何性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上，且弦长的一半、弦心距、半径满足；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2、待定系数法（代数法）：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出方程组，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关时，选择圆的标准方程，否则，选择圆的一般方程，不论是哪种形式，都要确定三个独立参数． ▌对点练3-1 （25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. ▌对点练3-2 （25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （24-25高二上·江苏连云港·期末）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型 已知切点求切线方程 ▌例4 （25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为__． 解题贴士 已知切点求圆的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率，由垂直关系致切线斜率为，由点斜式直线方程可求得切线方程；若切线斜率不存在或为0，则结合图形可直接的切线方程为或． ▌对点练4-1 （25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）圆在点处的切线方程为___. ▌对点练4-3 （25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）过点作圆：的切线，则切线方程为______． 题型 过圆外一点求切线方程 ▌例5 （25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程为______. 解题贴士 过圆外一点的圆的切线方程的求法 （1）几何法：当切线斜率存在时，设为，则切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径求出，即可得切线方程；当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为． （2）代数法：当切线斜率存在时，设，则切线方程，即，代入圆的方程消（或），得到一个关于（或）的一元二次方程，由判别式求得，即可求得切线方程（当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为）． ▌对点练5-1 （24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为__________.（写出一条方程即可） ▌对点练5-2 （25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． ▌对点练5-3 （25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 题型 切线长问题 ▌例6 （25-26高二上·天津河东·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 解题贴士 圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质.记切线长为，点到圆心的距离为，半径，运用勾股定理可得． ▌对点练6-1 （25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （25-26高二上·重庆渝北·期中）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 ▌对点练6-3 （25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型 直线与圆相交的弦长问题 ▌例7 （25-26高二下·四川泸州·阶段检测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 解题贴士 优先使用几何法结合垂径定理求解，圆心到直线的距离、弦长一半、半径构成直角三角形，利用勾股定理求出半弦长进而得整弦长，运算简单不易出错，也可联立方程利用弦长公式求解，适用于含参数、综合求值题型． ▌对点练7-1 （2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练7-2 （25-26高二下·云南昆明·开学考试）若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练7-3 （25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型 直线与圆相交中点弦问题 ▌例8 （24-25高二下·云南·阶段检测）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 解决与中点弦有关的问题的常见思路 （1）利用根与系数的关系，求出中点坐标； （2）设出弦的两个端点坐标，代入圆的方程，利用作差法求出中点坐标和斜率表示的方程，此为点差法； （3）利用圆本身的几何性质（圆心与弦中点的连线与弦垂直），可直接求斜率. ▌对点练8-1 （25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-2 （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-3 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（    ） A．或2 B．6或 C． D．2 2．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 3．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·阶段检测）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 7．（24-25高二上·广东深圳·期中）过点的圆的切线方程是______. 8．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 9．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为____. 10．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 素养提升 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（25-26高二下·甘肃定西·期末）（多选）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 15．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）函数与函数的图象仅有一个公共点，则实数的取值范围是__________. 迁移创新 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 18．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知是平面直角坐标系中的点集，直线：，则中的点到直线距离的最大值为______. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $