1.3 空间向量及其运算的坐标表示（讲义，知识点&8大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，先构建空间直角坐标系（含定义、中点及对称点坐标），再系统梳理坐标运算公式（线性运算、数量积、平行垂直判定、模长与夹角公式），形成解决立体几何问题的完整学习支架。 资料通过随学随练、8类题型分类及拓展应用分层设计，结合实例培养学生空间观念（数学眼光）、运算推理能力（数学思维）与模型应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

司 第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课标要点 1.理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量的坐标表示方法。 2.掌握空间向量坐标形式的线性运算、数量积运算公式。 3.会用坐标公式求解向量模长、夹角，判定向量平行与垂直。 4.能用向量坐标运算解决简单空间几何计算与证明问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量的坐标运算公式（线性运算、数量积）。 2.利用坐标判定空间向量共线、垂直关系。 3.借助坐标求向量模长、两点距离与向量夹角。 难点： 1.准确根据空间几何体建立合适空间直角坐标系、写出点与向量坐标。 2.熟练运用坐标公式变形，解决含参数的向量平行、垂直问题。 知识点 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义：在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫作坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分． 2、右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 特别提醒 1.在空间直角坐标系中，轴与平面垂直，并且正方向向上，轴又称为竖轴．在平面内，一定要注意，轴可逆时针旋转到轴． 2.空间直角坐标系与直线坐标系和平面直角坐标系一样也有三个要素，即原点、正方向、单位长度． 3、空间中点和向量的坐标的定义：在空间直角坐标系中为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使． 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 4、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 5、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 教材延伸 空间中点的三类对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数． （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数． （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面上的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为；关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 随学随练 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】根据空间直角坐标系中点的坐标表示， 可得对应的坐标为.故选：A. 2．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】（1）由，知， 结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 知识点 空间向量的坐标运算（重点） 1、空间向量的坐标运算：若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直：若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式：若，，则 （1），． （2）． 特别提醒 （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 随学随练 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，，故选：D 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 【答案】A 【解析】由，得， 所以．故选：A． 拓展 利用向量坐标运算求解最值问题 解题核心思路：建立空间直角坐标系，设出动点坐标，用坐标表示目标向量，结合向量模长、数量积公式构造二次函数或不等式，利用函数单调性、配方法或基本不等式求解最值，实现立体几何最值问题代数化求解． 常用解题模型：一是向量模长最值，将空间线段长度、动点距离转化为向量模长，通过模长坐标公式构造二次函数求最值；二是数量积最值，把向量数量积展开为坐标代数式，结合定义域求解最值；三是夹角最值，利用数量积夹角公式转化为函数最值问题求解． 关键注意事项：求解前需明确动点的空间运动范围，限定坐标取值定义域；优先化简代数式再求最值，简化运算；区分模长、数量积的最值差异，规避坐标运算、符号取值失误． 活学活用 1．（25-26高二上·浙江·期中）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 建立上图所示坐标系， 则，，，， 即，， 则，， 可得，， 则， 即， 所以当，且时，取得最小值为，故选：B. 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，以所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系； 则点，设点的坐标为，由题意可得， 所以， 所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最小值为； 当或1，且或1时，取得最大值为0， 则的取值范围是.故选：B． 题型 空间直角坐标系 ▌例1 （25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知点，点，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点，点，得.故选：C 解题贴士 根据立体图形垂直结构，遵循右手坐标系规则建立空间直角坐标系，结合几何体棱长、中点、对称、比例等基础几何条件，准确求出空间中点与向量的坐标，为向量基础运算提供前提． ▌对点练1-1 （25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知点，若，则点的坐标是_____ 【答案】 【解析】设， 则， 所以，解得， 所以点的坐标是. ▌对点练1-2 （25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，， 因为， 所以，解得，则.故选：A ▌对点练1-3 （25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则，, 由于，所以，解得：，所以点C的坐标为故选：B 题型 空间中点的对称问题 ▌例2 （25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于轴的对称点为．故选：C． 解题贴士 关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． ▌对点练2-1 （25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时， 纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 ▌对点练2-2 （24-25高二上·湖南张家界·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对称性质可知点关于平面的对称点的坐标为. ▌对点练2-3 （25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于点的对称点的坐标是， 即.故选：A 题型空间向量运算的坐标表示 ▌例3 （25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，.故选：C. 解题贴士 1、空间向量的坐标运算法则 设，，则： ；； ；． 2、在空间直角坐标系中，已知，，则 ① 即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ▌对点练3-1 （25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】因为，，， 所以，则.故选：B ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东江门·阶段检测）设，则（    ） A．3 B． C．1 D．x 【答案】B 【解析】由题意，.故选：B ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东茂名·阶段检测）若是两两垂直的单位向量，，则与的数量积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，则， 则.故选：C. 题型 空间向量平行、垂直关系的判定 ▌例4 （25-26高二上·河北衡水·阶段检测）下列向量中，与共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以与共线.故选：C 解题贴士 若，，则 ，， 以上两个条件就把判定向量间的位置关系，转化成了代数式的计算，把几何问题代数化，使问题变得简单明了． ▌对点练4-1 （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）下列各组向量互相垂直的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以不垂直； 对于B，因为，所以不垂直； 对于C，因为，，所以，所以； 对于D，因为，所以.故选：D ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津北辰·阶段检测）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.，故A错误； B.，所以向量与不平行，故B错误； C.，所以，故C正确； D.，故D错误.故选：C ▌对点练4-3 （25-26高二上·广东茂名·期中）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】向量，，， 因为，所以，A选项正确； 易知不存在实数使得，所以不平行，B选项错误； 显然，所以，C选项正确； 易知，D选项正确；故选：ACD. 题型 由平行、垂直关系求参数 ▌例5 （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知向量，向量，且，则_____. 【答案】13 【解析】因为，所以，即，解得. 所以. 解题贴士 由平行、垂直关系求参数值 （1）已知两向量平行，利用向量运算的坐标表示可得到方程（组），进而求出参数的值，这是已知两向量平行求参数问题的常用方法．解题过程中要注意合理应用坐标形式下的向量运算法则． （2）已知两向量垂直，利用向量运算的坐标表示可以得到方程，进而求出参数值． ▌对点练5-1 （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量．若，则（    ） A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【解析】由题意，，即. ▌对点练5-2 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由已知得. 因为， 所以，解得．故选：C. ▌对点练5-3 （25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 题型 空间向量夹角的坐标表示 ▌例6 （25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量，，可得， 则， 因为，所以.故选：C. 解题贴士 1、两个向量的夹角公式：若，，则 ． 2、是向量与向量的夹角为锐角的必要不充分条件． 是向量与向量的夹角为钝角的必要不充分条件． ▌对点练6-1 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______. 【答案】 【解析】由已知与的夹角为锐角，则， 即，解得. 若与的夹角为0°，则存在，使. 所以，所以，. 综上，若与的夹角为锐角，则且. 故t的取值范围是. ▌对点练6-2 （25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得.故选:B. ▌对点练6-3 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意.故选：B 题型 空间向量模长的坐标表示 ▌例7 （25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 所以.故选：B. 解题贴士 若，，则 （1），． ▌对点练7-1 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知空间向量，若，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】， ，得，故选：A ▌对点练7-2 （25-26高二上·陕西渭南·期中）已知空间点和，且，则实数x的值是（    ） A． B． C．或6 D．或2 【答案】C 【解析】由，可得， 所以，故或.故选：C ▌对点练7-3 （25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故，故选：B 题型 投影向量的坐标表示 ▌例8 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， 向量在向量上的投影向量， .故选：D. 解题贴士 已知两空间向量坐标，先利用数量积公式求出一个向量在另一向量上的投影数量，再求出被投影向量的单位坐标向量，将投影数量与单位向量相乘，即可得到投影向量的坐标；解题核心是区分投影数量与投影向量，依托坐标运算简化计算，同时根据两向量夹角正负判断投影方向，避免符号与坐标运算失误． ▌对点练8-1 （25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为，其坐标为．故选：D. ▌对点练8-2 （25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为.故选：B ▌对点练8-3 （25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量， 因为，可得，解得，即， 则，且， 所以向量在上的投影数量为.故选：B. 基础通关 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，已知，向量. 所以，解得：，，. 所以.故选：A 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 【答案】D 【解析】由题意可知，存在实数使得， 即， 则，得.故选：D 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，，， 所以. 所以.故选：D. 4．（25-26高二上·广西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数， 则点N坐标为.故选：B. 5．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则有， ，解得， 由题得，故.故选：B 6．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以.故选：B. 7．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得.故选：C 8．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（    ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确.故选：BD 9．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 【答案】 【解析】由，得.设， 由，得， 即，解得，即. 10．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 【答案】 【解析】因为，，所以， 则与方向相反的单位向量为． 素养提升 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 12．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【解析】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 13．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【解析】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 14．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知圆锥的顶点为，为底面直径，为中点，为底面圆周上一点，，圆锥的体积为，且，则__________. 【答案】 【解析】如图，取的中点，的中点， 以为原点，所在的射线分别为轴建立空间直角坐标系. 设圆锥的底面半径为，高为. 则，，，. 所以，， 由. 又圆锥的体积为，所以. 所以，所以，， 所以. 15．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 【答案】（1）①，②；（2）. 【解析】（1）①， ， ，设， 故， 所以，解得，故； ②， 解得； （2）已知， 所以， 故当时，取得最小值，最小值为. 迁移创新 16．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段BC做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】 如上图所示，连接交于点，则由正六边形的性质知，且. 正六边形的棱长均为4，，所以， 所以，所以. . 如下图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由题可知质点与质点的运动速度相等. 设，则． 因为，所以当时，取得最小值，最小值为．故选：D. 17．（25-26高二上·重庆·期末）在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 将其看作关于的二次式，， 则当时最小值为， 则当时取得最小值，此时.故选：A. 18．（24-25高二上·四川乐山·阶段检测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点、分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的两点. (1)若，求； (2)证明：. (3)记的面积为，证明. (4)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析；(4)证明见解析 【解析】（1）因为， 所以. （2）证明：设， 则 ， 将与互换，与互换，与互换，可得，故. （3）证明：因为， 故， 故要证，只需证， 即证. 由（1）， ， 可得， 又因为，，， 所以 所以，故. （4）证明：由（3）可知， 得， 故， 故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课标要点 1.理解空间向量坐标的定义，掌握空间向量的坐标表示方法。 2.掌握空间向量坐标形式的线性运算、数量积运算公式。 3.会用坐标公式求解向量模长、夹角，判定向量平行与垂直。 4.能用向量坐标运算解决简单空间几何计算与证明问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量的坐标运算公式（线性运算、数量积）。 2.利用坐标判定空间向量共线、垂直关系。 3.借助坐标求向量模长、两点距离与向量夹角。 难点： 1.准确根据空间几何体建立合适空间直角坐标系、写出点与向量坐标。 2.熟练运用坐标公式变形，解决含参数的向量平行、垂直问题。 知识点 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义：在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫作坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分． 2、右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 特别提醒 1.在空间直角坐标系中，轴与平面垂直，并且正方向向上，轴又称为竖轴．在平面内，一定要注意，轴可逆时针旋转到轴． 2.空间直角坐标系与直线坐标系和平面直角坐标系一样也有三个要素，即原点、正方向、单位长度． 3、空间中点和向量的坐标的定义：在空间直角坐标系中为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使． 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 4、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 5、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 教材延伸 空间中点的三类对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数． （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数． （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面上的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为；关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 随学随练 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 2．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 知识点 空间向量的坐标运算（重点） 1、空间向量的坐标运算：若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直：若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式：若，，则 （1），． （2）． 特别提醒 （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 随学随练 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 拓展 利用向量坐标运算求解最值问题 解题核心思路：建立空间直角坐标系，设出动点坐标，用坐标表示目标向量，结合向量模长、数量积公式构造二次函数或不等式，利用函数单调性、配方法或基本不等式求解最值，实现立体几何最值问题代数化求解． 常用解题模型：一是向量模长最值，将空间线段长度、动点距离转化为向量模长，通过模长坐标公式构造二次函数求最值；二是数量积最值，把向量数量积展开为坐标代数式，结合定义域求解最值；三是夹角最值，利用数量积夹角公式转化为函数最值问题求解． 关键注意事项：求解前需明确动点的空间运动范围，限定坐标取值定义域；优先化简代数式再求最值，简化运算；区分模长、数量积的最值差异，规避坐标运算、符号取值失误． 活学活用 1．（25-26高二上·浙江·期中）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 空间直角坐标系 ▌例1 （25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知点，点，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 根据立体图形垂直结构，遵循右手坐标系规则建立空间直角坐标系，结合几何体棱长、中点、对称、比例等基础几何条件，准确求出空间中点与向量的坐标，为向量基础运算提供前提． ▌对点练1-1 （25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知点，若，则点的坐标是_____ ▌对点练1-2 （25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型 空间中点的对称问题 ▌例2 （25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． ▌对点练2-1 （25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （24-25高二上·湖南张家界·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型空间向量运算的坐标表示 ▌例3 （25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、空间向量的坐标运算法则 设，，则： ；； ；． 2、在空间直角坐标系中，已知，，则 ① 即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ▌对点练3-1 （25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．7 B． C．9 D． ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东江门·阶段检测）设，则（    ） A．3 B． C．1 D．x ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东茂名·阶段检测）若是两两垂直的单位向量，，则与的数量积等于（    ） A． B． C． D． 题型 空间向量平行、垂直关系的判定 ▌例4 （25-26高二上·河北衡水·阶段检测）下列向量中，与共线的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 若，，则 ，， 以上两个条件就把判定向量间的位置关系，转化成了代数式的计算，把几何问题代数化，使问题变得简单明了． ▌对点练4-1 （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）下列各组向量互相垂直的是（     ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津北辰·阶段检测）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·广东茂名·期中）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 由平行、垂直关系求参数 ▌例5 （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知向量，向量，且，则_____. 解题贴士 由平行、垂直关系求参数值 （1）已知两向量平行，利用向量运算的坐标表示可得到方程（组），进而求出参数的值，这是已知两向量平行求参数问题的常用方法．解题过程中要注意合理应用坐标形式下的向量运算法则． （2）已知两向量垂直，利用向量运算的坐标表示可以得到方程，进而求出参数值． ▌对点练5-1 （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量．若，则（    ） A． B．4 C．1 D． ▌对点练5-2 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 ▌对点练5-3 （25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则________． 题型 空间向量夹角的坐标表示 ▌例6 （25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、两个向量的夹角公式：若，，则 ． 2、是向量与向量的夹角为锐角的必要不充分条件． 是向量与向量的夹角为钝角的必要不充分条件． ▌对点练6-1 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______. ▌对点练6-2 （25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A．-5 B． C． D．或 ▌对点练6-3 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 题型 空间向量模长的坐标表示 ▌例7 （25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 解题贴士 若，，则 （1），． ▌对点练7-1 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知空间向量，若，则（    ） A． B． C． D．6 ▌对点练7-2 （25-26高二上·陕西渭南·期中）已知空间点和，且，则实数x的值是（    ） A． B． C．或6 D．或2 ▌对点练7-3 （25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 题型 投影向量的坐标表示 ▌例8 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 解题贴士 已知两空间向量坐标，先利用数量积公式求出一个向量在另一向量上的投影数量，再求出被投影向量的单位坐标向量，将投影数量与单位向量相乘，即可得到投影向量的坐标；解题核心是区分投影数量与投影向量，依托坐标运算简化计算，同时根据两向量夹角正负判断投影方向，避免符号与坐标运算失误． ▌对点练8-1 （25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-2 （25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-3 （25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·广西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 8．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（    ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 9．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 10．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 素养提升 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 12．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 13．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 14．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知圆锥的顶点为，为底面直径，为中点，为底面圆周上一点，，圆锥的体积为，且，则__________. 15．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 迁移创新 16．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段BC做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 17．（25-26高二上·重庆·期末）在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·四川乐山·阶段检测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点、分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的两点. (1)若，求； (2)证明：. (3)记的面积为，证明. (4)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $