专题21.5 一元二次方程的应用（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题21.5 一元二次方程的应用 教学目标 1. 掌握二次三项式在实数范围内因式分解方法 2. 会列一元二次方程解决实际问题：增长率、面积、利润、动点几何等应用题，能检验解是否符合实际意义。 3. 掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法：去分母转化为整式方程，理解增根产生原因，必须检验根（双重检验：①是否是整式方程的根；②是否使原分式分母不为 0）。 4. 能列可化为一元二次方程的分式方程解决实际应用题，会对结果进行实际意义检验，舍去不符合题意的解。 教学重难点 1.重点 （1）利用一元二次方程的根，对二次三项式在实数范围内因式分解。 （2）列一元二次方程解决实际问题； 2.难点 （1）理解二次三项式实数范围内因式分解的原理，区分有理数范围和实数范围因式分解的差别； （2）理解分式方程增根的成因，区分 “增根” 和 “不合实际的解” 两类舍去情形。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 二次三项式在实数范围内的因式分解 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、,那么ax²+bx+c= 2. 二次三项式ax²+bx+c因式分解的前提条件 二次三项式ax²+bx+c可因式分解 ⟺ 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 ⟺ ∆ 3. 二次三项式在实数范围内因式分解的易错点 ①漏乘系数a： ax²+bx+c=（×）ax²+bx+c=a（√） ②写错括号内的符号： ax²+bx+c=a（×）ax²+bx+c=（√） ③齐次二项式漏掉y： 2x²+3xy-=（×）2x²+3xy-=（√） 知识点02 一元二次方程的实际应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意．（2）设未知数．（3）列出方程．（4）解所列方程，求所列方程的解． （5）检验．（一定要检验所求的根是否符合题意）（6）答． 2.核心要点——找等量关系式 3.注意事项——解题思路、解题步骤皆同一元一次方程应用，区别在于要解方程之后要检验所求的解是否符合题意. 4.常见的数量关系 ①几何图形类：面积公式；；；…… 体积公式；；…… ②利率问题：存款到期后的利息=本金×利率×存期；本利和=本金+利息. ③利润问题：总利润=单件利润×销售量； 单件利润=售价-进货价；销售额=售价×销售量. ④增长率问题：设增长(降低)的基数为a,每次的平均增长率(降低率)为x,增长(降低)n次后的数量为b,则增长率公式为a(1+x=b,降低率公式为a(1-x=b. ⑤握手问题（单循环比赛问题）：n个人（球队）两两握手（比赛），总次数（场次数）为. ⑥传播问题：设原有基数为a,每次传播倍数为x,进过n轮传播后的总数量为为a(1+x. 【即学即练】 1. （课本原题）某建筑工程队利用一段长80m的旧墙，用铁栅栏靠墙围一个所占地面为长方形的建筑垃圾临时堆放点.如果所使用的铁栅栏总长为120 m,且只围三边，那么是否可以围出符合下列要求的长方形堆放点?如果可以，分别求出长方形的两条邻边的长. (1)长方形的面积是2000 m²;(2)长方形的面积是1800 m²; 2. （课本原题）小华将2000元人民币按一年定期存入某银行，到期后取出1000元购买图书和文具，剩下的1000元及利息又全部按一年定期存入该银行.如果这两年存款的年利率不变，那么到期后本金和利息共1045.45元.求这种存款方式的年利率. 知识点03 可化为一元二次方程的分式方程及其应用 1. 可化为一元二次方程的分式方程的解法 可化为一元二次方程的分式方程的解法类似于可化为一元一次方程的分式方程的解法， 解题思路：通过去分母将分式方程化为整式方程； 注意事项：①去分母之前先要将各分母因式分解找出最简公分母，目的是便于计算; ②求得的整式方程的根不一定是分式方程的根，一定要进行验根。 2. 分式方程的常见解法： ①基本解法——去分母（去掉分母后字母的取值范围扩大了，有可能产生增根） ②特殊解法——换元法（课本虽没有单独讲解换元法，但在习题中有所出现） 4.分式方程的应用题的常见类型有： ①行程应用题：时间= ②工程问题：时间= ③购物问题：购物数量= 【即学即练】 1. 解方程：． 2.（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 3.（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）上海到南京相距300千米，小王上午驾车从上海驶往南京，下午从南京赶回上海，已知回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，求小王上午驾车的平均速度是多少？ 题型01 二次三项式的因式分解 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【变式1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：____________． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 【变式4】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解______． 题型02 一元二次方程图形面积类的应用问题 【典例1】如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． 【变式3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）某学校在迎新活动中打算利用26米长的墙为一边围出一块面积为300平方米的长方形活动区域，另外三边用48米长的塑料围栏，如图，为了方便学生进出，在两边各空出一个长为1米的出入口（出入口不用塑料围栏），假设这个长方形区域平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少？ 【变式4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 题型03 一元二次方程增长率及传播问题 【典例1】据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【变式3】2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【变式4】某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 题型04 一元二次方程销售利润问题 【典例1】（2026·上海金山·二模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【变式4】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 题型05 一元二次方程握手、比赛等问题 【典例1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有_____人． 题型06 可化为一元二次方程的分式方程 【典例1】（2026·上海普陀·二模）解方程：． 【典例2】解方程：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【变式3】解方程：． 【变式4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于x的方程无解，求实数a的值． 题型07 分式方程的实际应用 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 【典例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 【变式1】（25-26八年级上·上海青浦·期末）某市某小区共有市民3240人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务．“蓝天”医疗队现在每分钟检测几人？ 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积； (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 【变式3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 【变式4】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 1．在实数范围内分解因式等于（） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 4．牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程______． 6．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为________． 7．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 8．解方程：． 9．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 10．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 11．项目式学习 项目主题 五台山风景文创摆件设计与销售 项目背景 五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．    项目任务 (1)任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？ (2)任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？ 12．列方程解下列问题： 每一届足球世界杯都是巨大的商机，在2026世界杯期间，某工厂设计生产的周边产品“冰箱贴”的出货量达10万个．工厂安排甲、乙两个车间来生产，其中甲车间生产4万个，乙车间生产6万个，已知乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.2倍，结果甲车间比乙车间少用2天完成生产任务． (1)求甲、乙两车间每天各能生产多少万个“冰箱贴”？ (2)某商店经销此款进价为每个40元的世界杯周边产品“冰箱贴”，按每个元出售，一周卖出个，获利6750元，其中，求的值． 1．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 2．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 4．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为________． 5．在实数范围内因式分解：______． 6．关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 7．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳围另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    8．闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植工程，计划第一期先栽种棵梧桐树. 为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多棵，结果提前天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？ 9．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 10．在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 11．阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设折现率为，本金为1元，则1年后的总金额（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率（以此类推，n年后到期的金额，应连续折现n次，即n年后的1元相当于当前时刻的元）． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． (1)本金10000元，年利率为，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为___________元； (2)按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为___________元； (3)现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 12．理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为时，年后的元折算成当前时刻的价值为元，年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金，此时的折现率也称为理财方案的收益率． (1)当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为______元（用含，的代数式表示）； (2)表格所列的是一个分年返回的理财方案： 方案 本金（元） 年后返回的金额（元） 年后返回的金额（元） 收益率 请求出此方案的收益率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.5 一元二次方程的应用 教学目标 1. 掌握二次三项式在实数范围内因式分解方法 2. 会列一元二次方程解决实际问题：增长率、面积、利润、动点几何等应用题，能检验解是否符合实际意义。 3. 掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法：去分母转化为整式方程，理解增根产生原因，必须检验根（双重检验：①是否是整式方程的根；②是否使原分式分母不为 0）。 4. 能列可化为一元二次方程的分式方程解决实际应用题，会对结果进行实际意义检验，舍去不符合题意的解。 教学重难点 1.重点 （1）利用一元二次方程的根，对二次三项式在实数范围内因式分解。 （2）列一元二次方程解决实际问题； 2.难点 （1）理解二次三项式实数范围内因式分解的原理，区分有理数范围和实数范围因式分解的差别； （2）理解分式方程增根的成因，区分 “增根” 和 “不合实际的解” 两类舍去情形。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 二次三项式在实数范围内的因式分解 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、,那么ax²+bx+c= 2. 二次三项式ax²+bx+c因式分解的前提条件 二次三项式ax²+bx+c可因式分解 ⟺ 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 ⟺ ∆ 3. 二次三项式在实数范围内因式分解的易错点 ①漏乘系数a： ax²+bx+c=（×）ax²+bx+c=a（√） ②写错括号内的符号： ax²+bx+c=a（×）ax²+bx+c=（√） ③齐次二项式漏掉y： 2x²+3xy-=（×）2x²+3xy-=（√） 知识点02 一元二次方程的实际应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意．（2）设未知数．（3）列出方程．（4）解所列方程，求所列方程的解． （5）检验．（一定要检验所求的根是否符合题意）（6）答． 2.核心要点——找等量关系式 3.注意事项——解题思路、解题步骤皆同一元一次方程应用，区别在于要解方程之后要检验所求的解是否符合题意. 4.常见的数量关系 ①几何图形类：面积公式；；；…… 体积公式；；…… ②利率问题：存款到期后的利息=本金×利率×存期；本利和=本金+利息. ③利润问题：总利润=单件利润×销售量； 单件利润=售价-进货价；销售额=售价×销售量. ④增长率问题：设增长(降低)的基数为a,每次的平均增长率(降低率)为x,增长(降低)n次后的数量为b,则增长率公式为a(1+x=b,降低率公式为a(1-x=b. ⑤握手问题（单循环比赛问题）：n个人（球队）两两握手（比赛），总次数（场次数）为. ⑥传播问题：设原有基数为a,每次传播倍数为x,进过n轮传播后的总数量为为a(1+x. 【即学即练】 1. （课本原题）某建筑工程队利用一段长80m的旧墙，用铁栅栏靠墙围一个所占地面为长方形的建筑垃圾临时堆放点.如果所使用的铁栅栏总长为120 m,且只围三边，那么是否可以围出符合下列要求的长方形堆放点?如果可以，分别求出长方形的两条邻边的长. (1)长方形的面积是2000 m²;(2)长方形的面积是1800 m²; 【分析】只围三边的长方形，其中有两边垂直于墙，一边平行于墙.不妨设垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(120-2x)m. 【详解】解 设长方形垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(120-2x)m. (1)根据题意，得方程(120-2x)x=2000. 整理，得x²-60x+1000=0. 这是一个一元二次方程，因为△=-400<0,所以此方程没有实数根. 答：仅用120 m长的铁栅栏围三边，围不出面积为2000 m²的长方形堆放点. (2)根据题意，得方程(120-2x)x=1152. 整理，得x²-60x+576=0. 解得 当x=12时，120-2x=96; 当x=48时，120-2x=24; 检验，旧墙只有80m，而96>80，故不符合题意，所以x=12舍去，x=48符合实际意义. 答：仅用120 m长的铁栅栏围三边，可以围出面积为1152 m²的长方形堆放点. 2. （课本原题）小华将2000元人民币按一年定期存入某银行，到期后取出1000元购买图书和文具，剩下的1000元及利息又全部按一年定期存入该银行.如果这两年存款的年利率不变，那么到期后本金和利息共1045.45元.求这种存款方式的年利率. 【分析】存款到期后的利息=本金×利率×存期，本利和=本金+利息. 由此可得：如果将这种存款方式的年利率用x表示，那么第一年到期后的本利和为2000×(1+x),第二年的本金为[2000(1+x)-1000] 这样，可列出方程求解. 【详解】解 设这种存款方式的年利率为x.根据题意，得方程 [2000(1+x)-1000](1+x)=1045.45 整理得，2000(1+x-1000(1+x)-1045.45=0① 记y=1+x，得2000-1000y-1045.45=0② 解之得，y=1.015或y=-0.515 于是，x=1.015或x=-1.515（负值不符合题意舍去） 答：这种存款的方式的年利率为1.5%. 【易错点点拨】本题是用换元法将①变成了②式，②的计算也是难点，可以用求根公式计算. 知识点03 可化为一元二次方程的分式方程及其应用 1. 可化为一元二次方程的分式方程的解法 可化为一元二次方程的分式方程的解法类似于可化为一元一次方程的分式方程的解法， 解题思路：通过去分母将分式方程化为整式方程； 注意事项：①去分母之前先要将各分母因式分解找出最简公分母，目的是便于计算; ②求得的整式方程的根不一定是分式方程的根，一定要进行验根。 2. 分式方程的常见解法： ①基本解法——去分母（去掉分母后字母的取值范围扩大了，有可能产生增根） ②特殊解法——换元法（课本虽没有单独讲解换元法，但在习题中有所出现） 4.分式方程的应用题的常见类型有： ①行程应用题：时间= ②工程问题：时间= ③购物问题：购物数量= 【即学即练】 1. 解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 去括号得：， 整理得：， ， 解得，． 检验：当时，，是分式方程的增根； 当时，，是分式方程的解． ∴方程的解为． 2.（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，再分情况计算即可． 【详解】解：设，， 则原方程可化为，， 或． 当时，即， 两边乘以得，， 解得，， 经检验，为原方程的解； 当时，即， 两边乘以得，， 整理得，， 解得，或， 经检验，， 均为原方程的解， 综上，方程的解为， ， ． 3.（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）上海到南京相距300千米，小王上午驾车从上海驶往南京，下午从南京赶回上海，已知回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，求小王上午驾车的平均速度是多少？ 【答案】80千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设小王上午驾车的平均速度是千米/小时，根据回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，且上海到南京相距300千米，进行列分式方程，解得，再验根，即可作答． 【详解】解：设小王上午驾车的平均速度是千米/小时 ∵回来时的平均速度比去时每小时快10千米，结果回到上海比去时少25分钟，且上海到南京相距300千米， ∴ 整理得 ∴ ∴解得（舍去） 经检验：是原分式方程的解， ∴小王上午驾车的平均速度是80千米/小时 题型01 二次三项式的因式分解 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：____________． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解二次多项式．通过配方法将原式转化为平方差形式，再利用平方差公式分解． 【详解】解： 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解______． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 题型02 一元二次方程图形面积类的应用问题 【典例1】如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【答案】(1) 依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 正中央的长方形面积是封面面积的； 设正中央的长方形长宽分别为、， 列方程为：， 解得， ∴正中央的长方形长宽分别为、， ∴上、下边衬， 左、右边衬； (2) 依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 故上、下边衬与左、右边衬的宽度比， 设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是， 列方程为：， ∴(舍去)， ∴上、下边衬的宽度是，左、右边衬的宽度是． 【分析】（1）由封面长，宽，得正中央的长方形的长宽之比为，故设正中央的长方形长宽分别为、．列方程为，再计算即可； （2）由正中央的长方形的长宽之比为，得上、下边衬与左、右边衬的宽度比；设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是，列方程为，再计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)9，6 (2)1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则米，米，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则米，米， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴，， 故答案为：9，6． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为1米． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，现需靠一段长为米的墙围一个所占地面为长方形的仓库(只围三面)，仓库的一角是一个正方形工作间，其他区域为存储仓、已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为平方米，且防潮隔板正好用完(不计损耗)，求垂直于墙面的隔板的长． 【答案】垂直于墙面的隔板的长为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是明确防潮隔板的围建部分与各边长的关系，结合面积条件列方程，并验证解的合理性． 【详解】解：设垂直于墙面的隔板的长为米，则， 根据题意，，∴， ∴， 则， 展开并化简得， 因式分解得，解得. 验证：当时，米，(墙长)，符合题意. 答：垂直于墙面的隔板的长为米． 【变式3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）某学校在迎新活动中打算利用26米长的墙为一边围出一块面积为300平方米的长方形活动区域，另外三边用48米长的塑料围栏，如图，为了方便学生进出，在两边各空出一个长为1米的出入口（出入口不用塑料围栏），假设这个长方形区域平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】长方形的长为20米，宽为15米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 设这个长方形的长为x米，则宽为米，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：， 即， 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 【变式4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【答案】(1)长是米，宽是米 (2)至少为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，不等式的应用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题． （1）设鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据面积为平方米，可列方程求解． （2）如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米，则只能取（1）中时，米这种情况，由此进一步分析得出答案即可． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 由题意得：， 即， 解得：或， 当时，，符合实际意义； 当时，，不符合实际意义，舍去． 答：养鸡场的长是米，宽是米； （2）解：如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米， 由（1）知即垂直墙的长度为米，平行于墙的长度为米， ∴米， 此时养鸡场的长至少为米． 题型03 一元二次方程增长率及传播问题 【典例1】据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率为，根据年“五一”到年“五一”假期的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可； （2）设房价定为元时，根据宾馆当天的利润为元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，       解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）设房价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有： ，          解得，，           住宿单价需尽可能低， ， ， 答：房价应该定为元时，民宿当天的利润为元． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；熟记增长（下降）模型是解题的关键． 依据两次增长（下降）模型进行列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【变式3】2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 根据题意得：， 解：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每天的销售量为（件）， 当时，每天的销售量为（件）， ∵， ∴售价应降低20元， 答：售价应降低20元． 【变式4】某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】(1)四、五月份销售量平均增长率为； (2)商品降价5元时，商场获利2250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设四、五月份销售量平均增长率为x，那么四月份的销量为，五月份销量为，根据题意列出方程求出x的值即可； （2）设商品降价m元，那么销量为件，每件的利润为元，利用销量每件商品的利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为， 则， 解得，（舍去） 答：四、五月份销售量平均增长率为． （2）解：设商品降价m元，则 解得，（舍去） 答：商品降价5元时，商场获利2250元． 题型04 一元二次方程销售利润问题 【典例1】（2026·上海金山·二模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 【答案】商场平均每天可多售出2件 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据所给方程和已知条件分析方程各项的含义，补全条件即可． 【详解】解：中，表示降价元后每件衬衫的盈利，表示降价元后每天的销售量，而是因降价元增加的销售量，意味着衬衫的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【答案】(1) (2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低1元，每日销量就会增加6件”，列代数式即可； （2）根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，并求解即可． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润每件童装的销售利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元． 【详解】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵降价不能超过15元， ∴， 答：每件童装应降价10元． 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【答案】该店每辆车的下调价格为5万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该店每辆车的下调价格x万元，则降价后每辆车的利润为万元，销量为辆，即可列方程求解． 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元． 【变式4】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】元/个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(“每每”问题)，先设出涨价金额，再分别表示出单个利润和对应的销售量，最后根据总利润为元列方程求解，并结合“让顾客得到实惠”的条件选择较小的涨价金额． 【详解】解：设该头盔的售价上涨元/个，则实际售价为元/个， 单个利润为元/个，月销售量为个． 根据题意，列方程：， 化简得： 因式分解：， 解得：，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴选择较小的涨价金额，即． 实际售价为(元/个)． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 题型05 一元二次方程握手、比赛等问题 【典例1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 每两支球队之间比赛一场，总比赛场数为从x支球队中选取2支的组合数，即，根据题意总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据双循环赛制中，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为球队数x与的乘积列方程即可． 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有_____人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意除了不给自己送贺卡外，其余同学都需送出．根据共送出贺卡数共有人数每人需送出的贺卡数，列出方程，求出方程的解即可，注意取正整数． 【详解】解：设参加聚会的同学有人． 依题意得：， ， ， 解得：，（舍）. 答：参加聚会的同学有人． 故答案为：． 题型06 可化为一元二次方程的分式方程 【典例1】（2026·上海普陀·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘最简公分母，得 展开整理得 因式分解得 解得， 检验：当时，，原分式方程分母为0，无意义，因此是增根，舍去 当时， 因此原方程的解为 【典例2】解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出的值，进而得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为，． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 或， 解得或， 检验，当时，，则是原分式方程的解， 当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程的解为． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 检验：把代入得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程的解为． 【变式3】解方程：． 【答案】，，， 【分析】利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】解：， 设，则， ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，，，． 【变式4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】 或 【分析】本题先将分式方程化为整式方程，得到用表示的结果，根据分式方程无解的条件可知，整式方程的根是原分式方程的增根，增根使原分式方程分母为0，据此代入计算即可得到的值． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 整理得 解得 因为原分式方程无解， 所以是原方程的增根 原方程分母为0时，或 当时，解得 当时，解得 因此实数的值为或． 题型07 分式方程的实际应用 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 【答案】甲、乙两组合做能在规定时间内完成 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式方程的解法的运用，工程问题的数量关系“工作量工作效率工作时间”的运用，解答时根据工作问题的数量关系建立方程是关键．设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天，根据题意可列方程为，由此解答即可． 【详解】解：设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天， 根据题意得： 化简得： 整理得： ， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 但时，，不符合实际意义，故舍去 所以规定时间为28天， 因为，所以甲、乙两组合做能在规定时间内完成， 答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成． 【典例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 【答案】现在计划每天加固160米 【分析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验．设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米，根据完成天数比原计划缩短2天，列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米， 由题意得：， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴现在每天加固长度为米． 答：现在计划每天加固160米． 【变式1】（25-26八年级上·上海青浦·期末）某市某小区共有市民3240人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务．“蓝天”医疗队现在每分钟检测几人？ 【答案】18人 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．设“蓝天”医疗队现在每分钟检测x人，1.5小时=90分钟，根据医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务，列出分式方程即可． 【详解】解：设“蓝天”医疗队现在每分钟检测x人，1.5小时=90分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“蓝天”医疗队现在每分钟检测18人 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积； (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 【答案】(1)10万亩 (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩，则实际平均每个月完成的绿化面积为万亩，根据实际比计划提前1个月完成任务建立方程求解即可； （2）设每年完成绿化面积的增长率为r，则，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每个月完成的绿化面积为10万亩； （2）解：设每年完成绿化面积的增长率为r， 则，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 【答案】 A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键，设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元，结合题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 经检验，当时，原方程有意义， ∴A厂采购单价为8元，则B厂采购单价为元， 答：A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元． 【变式4】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【答案】(1)每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元 (2)当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用及一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元，根据用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同列方程解决即可； （2）设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，根据销量乘以每盒的利润等于1600元列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元． 1．在实数范围内分解因式等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数范围内分解因式即实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），注意配方．先提公因式得，再运用配方法变形得，最后运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故选：C 2．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程． 把代入原方程，得出，再进行整理即可． 【详解】解：整理，得， 把代入方程得：， 整理得：． 故选 B． 3．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设经过了秒，的面积等于8，用含的代数式表示和，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． 【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 4．牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若销售单价降低元，则每天可售出袋，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：若销售单价降低元，依题意得： ， 故选：D． 5．联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 6．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 首先根据1月份售价为20万元，设月平均降价率是可x，得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 则 ． 解得：（不合题意，舍去） 2月份、3月份的平均月降价率为． 故答案为：． 7．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 8．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 9．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【答案】原计划每天组装10个机器人 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根． 【详解】解：设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人， 根据题意得： ， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装10个机器人． 10．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50元 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得， 因尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 11．项目式学习 项目主题 五台山风景文创摆件设计与销售 项目背景 五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．    项目任务 (1)任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？ (2)任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？ 【答案】(1)空白画框的宽度为 (2)降低20元或30元 【分析】（1）设画框（空白部）的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为， 根据题意列方程得：， 解得：，， ∵当时，，风景画长度为负数，不符合实际意义，舍去该解， ∴． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元， 根据题意列方程得：， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低20元或30元时，每天所获利润为24000元． 12．列方程解下列问题： 每一届足球世界杯都是巨大的商机，在2026世界杯期间，某工厂设计生产的周边产品“冰箱贴”的出货量达10万个．工厂安排甲、乙两个车间来生产，其中甲车间生产4万个，乙车间生产6万个，已知乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.2倍，结果甲车间比乙车间少用2天完成生产任务． (1)求甲、乙两车间每天各能生产多少万个“冰箱贴”？ (2)某商店经销此款进价为每个40元的世界杯周边产品“冰箱贴”，按每个元出售，一周卖出个，获利6750元，其中，求的值． 【答案】(1) 甲车间每天能生产0.5万个“冰箱贴”，乙车间每天能生产0.6万个“冰箱贴” (2) 的值为5 【分析】 （1）设甲车间日产量为未知数，根据乙的效率关系表示乙的日产量，结合时间差列分式方程求解； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，结合的条件舍去不符合的根. 【详解】（1）解：设甲车间每天能生产万个“冰箱贴”，则乙车间每天能生产万个“冰箱贴”， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意； ； 答：甲车间每天能生产0.5万个“冰箱贴”，乙车间每天能生产0.6万个“冰箱贴”； （2）解：单个冰箱贴的利润为元，即元， 由题意得， 整理得， 解得，， ， 不符合题意，舍去， . 1．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 2．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 3．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每年的增长率为，根据题意，2022年至2024年两年间充电桩数量从万增长到万，建立一元二次方程求解增长率，再按此增长率计算2025年的数量． 【详解】解：由题意，2022年充电桩数量为2.5万个，2024年达到3.6万个，设每年的增长率为， 两年间按相同增长率增长，可得方程：， 即， 解得：（负值舍去）； 即年增长率为20%； 2025年充电桩数量为2024年的基础上再增长一年，即：（万个）； 因此，2025年底充电桩总数预计达到万个； 故选：A． 4．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 首先根据1月份售价为20万元，设月平均降价率是可x，得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 则 ． 解得：（不合题意，舍去） 2月份、3月份的平均月降价率为． 故答案为：． 5．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，先配方，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【答案】(1)分式方程的解为 (2)n的值为或或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键． （1）把代入分式方程，得，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）先根据解分式方程的方法，求出再根据分式方程无解，得出或，，进而求出答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 7．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳围另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？    【答案】长方形等候区的边为15米，为20米 【分析】如图：设长方形等候区的边为x米，则米，然后再根据“设立一个面积为300平方米的长方形等候区”列一元二次方程即可解答． 【详解】解：如图：设长方形等候区的边为x米，则米，    由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去；当时，，符合题意． 答：长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． 8．闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植工程，计划第一期先栽种棵梧桐树. 为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多棵，结果提前天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？ 【答案】实际每天栽种棵梧桐树． 【分析】设实际每天栽种x棵梧桐树，则原计划每天栽种（x-200）棵梧桐树，由题意：栽种1500棵梧桐树，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设实际每天栽种棵梧桐树米. 根据题意，得. 化简得. 解得，. 经检验：，是原方程的根，不合题意，舍去. 原方程的根为，且符合题意. 答：实际每天栽种棵梧桐树. 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程． 9．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【答案】(1)90天 (2)不能 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设乙施工队单独施工完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）先计算甲、乙两支队伍合作施工需要的时间，再与25天比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 10．在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】(1) 小芳的方案不符合条件， 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； (2) 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设折现率为，本金为1元，则1年后的总金额（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率（以此类推，n年后到期的金额，应连续折现n次，即n年后的1元相当于当前时刻的元）． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． (1)本金10000元，年利率为，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为___________元； (2)按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为___________元； (3)现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 【答案】(1)10890 (2)9000 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据单利法，计算出利息，再加上本金即可得到答案； （2）根据折现的计算方法求解即可； （3）设该方案的收益率为r，根据折现率（此时对应收益率）应该使取回金额折现后的总金额等于其本金建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， ∴按照单利法，2年后可取回金额为10890元； （2）解：元， ∴按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为9000元； （3）解：设该方案的收益率为r， 由题意得，， 解得（已检验，是原方程的解，且符合题意）或（舍去）， 答：该方案的收益率为． 12．理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为时，年后的元折算成当前时刻的价值为元，年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金，此时的折现率也称为理财方案的收益率． (1)当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为______元（用含，的代数式表示）； (2)表格所列的是一个分年返回的理财方案： 方案 本金（元） 年后返回的金额（元） 年后返回的金额（元） 收益率 请求出此方案的收益率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系． （1）根据例题求解即可； （2）由题意得，令，则，求出，进而即可求出． 【详解】（1）解：当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为， 故答案为：； （2）解：由题意得， 令，则， 解得，（舍去）， ， 答：此方案的收益率为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $