专题21.3-21.5 一元二次方程判别式、根与系数、二次三项式因式分解 讲义 2026--2027学年 沪教版（五四制）八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程判别式、根与系数关系（韦达定理）及二次三项式因式分解，通过思维导图梳理知识脉络，以判别式为基础判断根的情况，根与系数关系解决代数式求值及参数问题，进而实现二次三项式因式分解，构建完整学习支架。 资料以核心素养为导向，通过“幸运方程”“限根方程”等新定义问题培养数学思维，结合典型例题与分层练习提升数学语言表达能力，思维导图助力学生用数学眼光整合知识，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题21.3-21.5 一元二次方程判别式/根与系数/二次三项式因式分解 (知识梳理+典例+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能利用它求代数式的值、求参数的范围。 1. 理解二次三项式与一元二次方程的关系，会在实数范围内进行因式分解。 1. 能综合运用判别式、根与系数关系解决新定义问题（如“限根方程”“幸运方程”“开心数”等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的判别式 对于一元二次方程 （），根的判别式 。当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。 【典型例题】 （第1题）下列所给方程中，没有实数根的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 分别计算判别式：A中 ；B中 ；C中 ；D中 ，故没有实数根。答案：D。 ☆ 2. 一元二次方程根与系数的关系 若 、 是一元二次方程 （）的两个实数根，则 ，。使用前提是方程有实数根（）。 【典型例题】 （第17题）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 由韦达定理，，。则 又因为方程有两个实数根，所以 得 。当 时，取得最小值 。答案：D。 ☆ 3. 二次三项式的因式分解 若一元二次方程 的两个根为 、，则二次三项式 在实数范围内分解时，需先判断方程是否有实数根。 【典型例题】 （第37题）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 令 ， 所以 答案：B。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 根的判别式 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根 根与系数关系 ， 前提是方程有实数根（） 二次三项式因式分解 先求对应方程的根，注意二次项系数 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） 1. 计算判别式 ，判断符号确定根的情况。 1. 注意二次项系数不为 ，含参数时需分类讨论。 1. 新定义运算需先转化为一元二次方程，再计算判别式。 1. 方程组有实数解可转化为一元二次方程有实根，由 求参数范围。 1．（2025秋•嘉定区月考）下列所给方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+x＝0 B．5x2﹣4x﹣1＝0 C．3x2﹣4x+1＝0 D．4x2﹣5x+2＝0 2．（2025秋•浦东新区校级期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（　　） A．t B．t C．t D．t 3．（2025秋•黄浦区校级期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程ax2+bx+c＝0（a≠0）总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（　　） A．若a+c＝0，则方程一定有两个实数根 B．若a﹣c＝0，则方程一定有两个实数根 C．若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个实数根 D．若a+b+c＝0，则方程一定有两个实数根 4．（2025春•浦东新区校级期中）方程组有实数解，则k的取值范围是（　　） A．k≥3 B．k＝3 C．k＜3 D．k≤3． 5．（2026•松江区二模）下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有实数根的是（　　） A．ax2+x+1＝0 B．x2+ax﹣1＝0 C．x2+ax+1＝0 D．x2+x﹣a＝0 6．（2026•松江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是　 　 ． 7．（2026•闵行区二模）如果关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为　 　 ． 8．（2026春•虹口区校级月考）无论k取何值，关于x、y方程组都只有一组解，则b+c＝　 　 ． 9．（2025秋•奉贤区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，则m的值为　 　 ． 10．（2025秋•静安区校级期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（3+a）x+3a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 　 　 ． 11．（2025秋•杨浦区校级期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 12．（2025秋•黄浦区校级期中）阅读下列材料： 当x为实数时，求的最大值．设y，将其化为关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（y﹣2）xy＝0．因为x为实数，就是这个方程有实数根，所以b2﹣4ac＝（y﹣2）2﹣4（y﹣3）y＝﹣y+4≥0，得y≤4，即的最大值为4．则x为实数时，的最小值是　 　 ． 13．（2025秋•青浦区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3cm，另外两条边是方程的根，求△ABC的周长． 14．（2025秋•浦东新区校级月考）阅读：已知7a+c，求证：b2≥4ac． 证明：∵，∴， ∴是方程ax2+bx+c＝0的根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac． 利用以上方法，求证：（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）（m，n为非零实数）． 【附加题】实数a、b、c互不相等且满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为　 　 ． 15．（2025秋•闵行区校级期中）定义：关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的“友好方程”．例如：﹣2x2﹣x+1＝0是x2﹣x﹣2＝0的“友好方程”．求： （1）方程3x2﹣2x﹣4＝0的“友好方程”是　 　 ． （2）若关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． （3）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5mx+（m2+2m﹣3）＝0（其中m是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求m的值以及原方程的根． 16．（2025秋•闵行区校级期中）已知x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”； （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根； （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0（a，m，b均为常数，a≠0）的一个根是x＝3，则关于x的方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，写出它的根；若不是，请说明理由． 【考点2】一元二次方程的根与系数的关系（第17-36题） 1. 利用韦达定理求两根和与积，再整体代入求代数式的值。 1. 求参数时，注意使用 的前提条件。 1. 新定义题如“幸运方程”“限根方程”等，需按定义列方程或不等式。 1. 注意代数式的变形，如等。 17．（2026•浦东新区校级竞赛）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 18．（2025秋•宝山区校级期末）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣7 D．7 19．（2025秋•上海校级期末）如果x1和x2是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（　　） A．x1+x2＝8 B．x1+x2＝﹣4 C． D． 20．（2025秋•普陀区校级同步）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为50°则这个等腰三角形的顶角度数为40°；④一元二次方程﹣x2+3x+4＝0，由根与系数的关系，可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025秋•闵行区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（　　） A．若方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0是半根方程，则4m2+5mn+n2＝0 B．一元二次方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程 C．一元二次方程x2﹣4＝0是半根方程 D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是半根方程，则系数满足2b2＝9ac 22．（2025秋•徐汇区校级月考）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1，其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 23．（2026•浦东新区校级竞赛）已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则的值为　 　 ． 24．（2025秋•杨浦区期末）已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1＝0，n2﹣4n﹣1＝0，则　 　 ． 25．（2025秋•黄浦区校级期末）若p，q是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2p2+4q2﹣4q+2012的值为　 　 ． 26．（2025秋•金山区校级期末）已知一元二次方程x2﹣2026x﹣1＝0的两个根分别是x1和x2，则代数式的值是 　 　 ． 27．（2025秋•松江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是　 　 ． 28．（2025秋•闵行区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，a＝±3； （2）方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； （3）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0，（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； （4）若q＝2p，则关于x的方程px2﹣q＝0（p≠0）是倍根方程． 其中正确的结论有 　 　 ．（写出所有正确说法的序号） 29．（2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则　 　 ． 30．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 31．（2025秋•黄浦区期末）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且，求m的值． 32．（2025秋•宝山区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝1，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程x2+3x﹣8＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2+bx﹣1＝0的一个根是x＝2，求a，b的值； （3）若一个波浪方程mx2+nx+p＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，求这个波浪方程． 33．（2025秋•杨浦区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值． 34．（2025秋•徐汇区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式的值． 35．（2025秋•闵行区校级期中）我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F（a，b，c）表示，即F（a，b，c）．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r＝0（p≠0，p，q，r均为整数）的“幸运数”为F（p，q，r），若r•F（a，b，c）＝c•F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“幸运方程”． ①当m＝2时，该幸运方程的“幸运数”是 　 　 ； ②若该幸运方程的“幸运数”是﹣1，则m的值为 　 　 ． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根为α、β，那么α+β，αβ，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如2x2+x﹣3＝0的两个根分别为α、β．则α+β，αβ． （1）小爱同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和． 不解方程，请求一元二次方程2x2+x﹣3＝0的两个根的倒数和． （2）小艺同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程2x2﹣3x﹣7＝0，∵a＝2、b＝﹣3、c＝﹣7，∴x1+x2． 设x1k，则，即，解得k＝±． 所以原方程的解为x1． 请利用小艺的方法解方程3x2﹣4x﹣2＝0． （3）小董同学善于发现，他对三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以a可得x30．若该方程的三个根分别为α、β、γ，则（x﹣α）（x﹣β）（x﹣γ）＝0，将其展开后为x3﹣（α+β+γ）x2+（αβ+αγ+βγ）x﹣αβγ＝0，于是α+β+γ、αβ+αγ+βγ、αβγ． 若三次方程x3﹣x2﹣3x﹣10＝0的三个根分别为α、β、γ，且μ＝﹣α+β+γ．请先说明μ+2α＝1，再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为﹣α+β+γ、α﹣β+γ、α+β﹣γ． 【考点3】二次三项式的因式分解（第37-42题） 1. 先求对应一元二次方程的根，再利用公式因式分解。 1. 注意二次项系数的处理，如 。 1. 整体思想：将某一部分看作整体，或换元。 1. 分解要彻底，直到不能在实数范围内分解为止。 37．（2025秋•普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 38．（2025秋•虹口区校级期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 39．（2024秋•杨浦区校级月考）将二次三项式2x2y2﹣3xy﹣1在实数范围内分解因式，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 40．（2025秋•浦东新区校级月考）在实数范围内分解因式：x4﹣2x2y2﹣3y4． 41．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：（x2+6x）2+8（x2+6x）﹣9． 42．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 判别式是基础： 熟练掌握 的计算，注意二次项系数不为 ，含参问题要分类讨论。 韦达定理要活用： 牢记两根和与积的公式，能将代数式灵活变形为含 和 的形式，注意使用前提 。 因式分解要彻底： 先求对应方程的根，再按 分解，注意二次项系数和符号。 新定义题耐心读： 理解定义的本质，转化为方程或不等式，注意检验根的情况。 错题整理： 将判别式、根与系数、因式分解的易错题归类，分析错误原因，避免重复犯错。 【作业1】（2025秋•上海校级期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（　　） A． B．x2﹣3x﹣2＝0 C． D．x2+3x+2＝0 【作业2】（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的方程x2+nx+m＝0的两根中，只有一个等于0，则下列条件正确的是（　　） A．m＝0，n＝0 B．m＝0，n≠0 C．m≠0，n＝0 D．m≠0，n≠0 【作业3】（2025秋•崇明区期末）已知方程x2﹣3x+2＝0有两个实数根x1，x2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025秋•普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2023•台江区校级模拟）若关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个相等实数根，则m的值是 　 　 ． 【作业6】（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的一元二次方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1，那么m的值为　 　 ． 【作业7】（2025秋•浦东新区校级期末）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　 　 ． 【作业8】（2025秋•普陀区期末）已知是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，那么方程的另一个根是　 　 ． 【作业9】（2025秋•长宁区校级期末）已知α与β是方程x2﹣2x＝2026的两个不同的根，那么代数式α2﹣4α﹣2β﹣2的值为　 　 ． 【作业10】（2025秋•浦东新区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2＝　 　 ． 【作业11】（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 【作业12】（2022秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：3x2y2+10xy+5． 【作业13】（2025秋•虹口区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 【作业14】（2025秋•上海校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+2＝0． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求m的值． 【作业15】（2025秋•青浦区校级期中）已知关于x的方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实根，试求m的取值范围； （2）若方程有两个实根分别为x1、x2，且满足，试求m的值． 【作业16】（2025秋•黄浦区校级期中）综合理解： 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它有两个实数根x1和x2，有以下关系式：x1+x2． （1）设方程x2x﹣1＝0的两个根为α、β，则α+β＝ 　 　 ， 　 　 ； （2）设关于x的方程x2﹣kx+k﹣1＝0的两个实数根为α、β，且2α+β＝4，则k的值为 　 　 ； （3）已知αβ≠1，且α2+20α+25＝0及25β2+20β+1＝0，求的值． 【作业17】（2025秋•青浦区校级月考）我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用F（a，b，c）表示，即F（a，b，c）．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r＝0（p≠0，p，q，r均为整数）的“幸运数”为F（p，q，r），若r•F（a，b，c）＝c•F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“幸运方程”． ①当m＝2时，该幸运方程的“幸运数”是　 　 ； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是﹣2，则m的值为　 　 ； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“幸运方程”，求m的值． （3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m、n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出n的值． 【作业18】（2024秋•崇明区期中）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，x1x2，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，34，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 　 　 ．（此小问直接填空，不写过程） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3-21.5 一元二次方程判别式/根与系数/二次三项式因式分解 (知识梳理+典例+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能利用它求代数式的值、求参数的范围。 1. 理解二次三项式与一元二次方程的关系，会在实数范围内进行因式分解。 1. 能综合运用判别式、根与系数关系解决新定义问题（如“限根方程”“幸运方程”“开心数”等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的判别式 对于一元二次方程 （），根的判别式 。当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。 【典型例题】 （第1题）下列所给方程中，没有实数根的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 分别计算判别式：A中 ；B中 ；C中 ；D中 ，故没有实数根。答案：D。 ☆ 2. 一元二次方程根与系数的关系 若 、 是一元二次方程 （）的两个实数根，则 ，。使用前提是方程有实数根（）。 【典型例题】 （第17题）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 由韦达定理，，。则 又因为方程有两个实数根，所以 得 。当 时，取得最小值 。答案：D。 ☆ 3. 二次三项式的因式分解 若一元二次方程 的两个根为 、，则二次三项式 在实数范围内分解时，需先判断方程是否有实数根。 【典型例题】 （第37题）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析： 令 ， 所以 答案：B。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 根的判别式 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根 根与系数关系 ， 前提是方程有实数根（） 二次三项式因式分解 先求对应方程的根，注意二次项系数 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） 1. 计算判别式 ，判断符号确定根的情况。 1. 注意二次项系数不为 ，含参数时需分类讨论。 1. 新定义运算需先转化为一元二次方程，再计算判别式。 1. 方程组有实数解可转化为一元二次方程有实根，由 求参数范围。 1．（2025秋•嘉定区月考）下列所给方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+x＝0 B．5x2﹣4x﹣1＝0 C．3x2﹣4x+1＝0 D．4x2﹣5x+2＝0 【分析】分别计算出判别式Δ＝b2﹣4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可． 【解答】解：A、Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，所以方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，所以方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、Δ＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，所以方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 2．（2025秋•浦东新区校级期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（　　） A．t B．t C．t D．t 【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解． 【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立； ②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立； 则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t， 化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， Δ＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0； 解得：t． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算． 3．（2025秋•黄浦区校级期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程ax2+bx+c＝0（a≠0）总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（　　） A．若a+c＝0，则方程一定有两个实数根 B．若a﹣c＝0，则方程一定有两个实数根 C．若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个实数根 D．若a+b+c＝0，则方程一定有两个实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断结论，Δ≥0时方程有两个实数根，逐一计算各条件下的判别式即可判断正误． 【解答】解：A、∵a+c＝0， ∴c＝﹣a， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2， ∵a≠0， ∴4a2＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2＞0，则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意； B、∵a﹣c＝0， ∴c＝a ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a2，根据题意无法得到b2与4a2的大小关系， ∴无法得到方程的根的个数，原说法错误，符合题意； C、∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意； D、∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣（a+c）， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（a+c）]2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 4．（2025春•浦东新区校级期中）方程组有实数解，则k的取值范围是（　　） A．k≥3 B．k＝3 C．k＜3 D．k≤3． 【分析】使用代入法，易得x2﹣（2x﹣k）＝2，再根据题意可得4﹣4（k﹣2）≥0，解即可． 【解答】解：， 由②得，y＝2x﹣k③， 把③代入①，得 x2﹣（2x﹣k）＝2， x2﹣2x+k﹣2＝0， ∴Δ＝4﹣4（k﹣2）≥0， 解得k≤3， 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握△≥0时，方程有实数根． 5．（2026•松江区二模）下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有实数根的是（　　） A．ax2+x+1＝0 B．x2+ax﹣1＝0 C．x2+ax+1＝0 D．x2+x﹣a＝0 【分析】利用Δ＝b2﹣4ac判断方程是否对任意实数a恒有实数根，若Δ≥0对任意a恒成立，则符合要求． 【解答】解：由题知， 对于方程ax2+x+1＝0， 当a＝0时，方程为x+1＝0，有实数根x＝﹣1； 当a≠0时，Δ＝12﹣4a＝1﹣4a， 因为Δ不一定恒大于等于0， 所以方程不一定有实数根， 故A选项不符合题意； 对于方程x2+ax﹣1＝0， Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4≥4＞0， 所以不论a取何实数值，方程都有实数根， 故B选项符合题意； 对于方程x2+ax+1＝0， Δ＝a2﹣4×1×1＝a2﹣4， 因为Δ不一定恒大于等于0， 所以方程不一定有实数根， 故C选项不符合题意； 对于方程x2+x﹣a＝0， Δ＝12﹣4×1×（﹣a）＝1+4a， 因为Δ不一定恒大于等于0， 所以方程不一定有实数根， 故选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．（2026•松江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是a≤9且a≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根， ∴a≠0且Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4a≥0， 解得：a≤9， ∴a≤9且a≠0． 故答案为：a≤9且a≠0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式的关系是解题的关键． 7．（2026•闵行区二模）如果关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为　1　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝22﹣4m＝0， 解得m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8．（2026春•虹口区校级月考）无论k取何值，关于x、y方程组都只有一组解，则b+c＝　﹣1　 ． 【分析】将②变形后代入①可整理出关于x的一元二次方程，由方程组只有一组解，可得出b2﹣（2b+4）k﹣4c＝0，结合k可以为任何值，可得出关于b，c的二元一次方程组，解之即可得出b，c的值，再将其代入（b+c）中即可求出结论． 【解答】解：． 由②可得出y＝kxk③， 将③代入①整理得：x2+（b﹣k）x+ck． ∵无论k取何值，关于x、y方程组都只有一组解， ∴Δ＝（b﹣k）2﹣4×1×（ck）＝0， 即b2﹣（2b+4）k﹣4c＝0， ∴， ∴， ∴b+c＝﹣2+1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 9．（2025秋•奉贤区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，则m的值为　或　 ． 【分析】先求出一元二次方程6x2+7x﹣5＝0的解x1，x2，根据方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，分情况求解即可． 【解答】解：6x2+7x﹣5＝0， （2x﹣1）（3x+5）＝0， 解得：x1，x2， 当相同的根是x时， 代入方程可得（1）（m）＝0， 解得：m； 此时方程为（x﹣1）（x）＝0，可得：x1＝1，x2，符合题意； 当相同的根是x时， 代入方程（1）（m）＝0， 解得：m， 此时方程为（x﹣1）（x）＝0，可得：x1＝1，x2，符合题意； ∴m的值是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2025秋•静安区校级期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（3+a）x+3a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 　﹣2　 ． 【分析】先求得方程x2﹣（3+a）x+3a＝0的解，再根据题中定义和方程的解的意义得到关于a的方程，然后解方程求得a值，结合根的判别式与根的关系即可求解． 【解答】解：解x2﹣（3+a）x+3a＝0得x1＝3，x2＝a， 由题意可知：x1＝3，x2＝a是方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的两个根， 当x＝3时，则（a﹣1）×32﹣a2×3﹣a+2＝0，即3a2﹣8a+7＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×3×7＝64﹣84＝﹣20＜0， ∴此方程无实数根，即x＝3不是方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的解； 当x＝a时，则（a﹣1）×a2﹣a2×a﹣a+2＝0， 解得a1＝1，a2＝﹣2， ∵a≠1， ∴a＝﹣2， 此时，方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0为3x2+4x﹣4＝0， 解得x1＝﹣2，， ∵方程x2﹣（3+a）x+3a＝0的一个解为x＝﹣2，满足题意， ∴a的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查解一元二次方程及根的判别式，理解题中定义和方程的解的意义，得到关于a的方程是解答的关键． 11．（2025秋•杨浦区校级期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k≠0且 k　 ． 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得列出不等式，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（）2﹣4×2k＝﹣5k+2＞0，3k+2≥0， 解得k≠0且k． 故答案为：k≠0且k． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．（2025秋•黄浦区校级期中）阅读下列材料： 当x为实数时，求的最大值．设y，将其化为关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（y﹣2）xy＝0．因为x为实数，就是这个方程有实数根，所以b2﹣4ac＝（y﹣2）2﹣4（y﹣3）y＝﹣y+4≥0，得y≤4，即的最大值为4．则x为实数时，的最小值是　　 ． 【分析】设y，将y化为关于x的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式△≥0，从而得到关于y的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值． 【解答】解：设y， 将y化为关于x的一元二次方程（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0． ∵关于x的一元二次方程（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0有实数解， ∴Δ＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0， 解得y， ∴，的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查根的判别式，将函数化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式求函数的最值是本题的关键． 13．（2025秋•青浦区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3cm，另外两条边是方程的根，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到x＝3是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定△ABC的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：原方程整理得： [x﹣（m+1）][x﹣（m﹣1）]＝0， 解得x1＝m+1，x2＝m﹣1， 当m+1＝3时，解得m＝2，m﹣1＝2﹣1＝1， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ∴此时能构成三角形， 1+3+3＝7（cm）， ∴△ABC的周长为7cm； 当m﹣1＝3时，解得m＝4，m+1＝4+1＝5， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ∴此时能构成三角形， 5+3+3＝11（cm）， ∴△ABC的周长为11cm； 综上可知，△ABC的周长为7cm或11cm． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． 14．（2025秋•浦东新区校级月考）阅读：已知7a+c，求证：b2≥4ac． 证明：∵，∴， ∴是方程ax2+bx+c＝0的根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac． 利用以上方法，求证：（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）（m，n为非零实数）． 【附加题】实数a、b、c互不相等且满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为　﹣3　 ． 【分析】利用题干的方法构造一元二次方程，利用根的判别式证得结论成立． 【附加题】设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，得到关于x1与x2的解析式，进而求出a的值，再求出b、c的值即可解答． 【解答】证明：∵（mn﹣2n）+2（n﹣m）+（2m﹣mn） ＝mn﹣2n+2n﹣2m+2m﹣mn ＝0， ∴（mn﹣2n）×12+2（n﹣m）×1+（2m﹣mn）＝0， ∴x＝1是方程（mn﹣2n）x2+2（n﹣m）x+（2m﹣mn）＝0的根， ∴Δ＝[2（n﹣m）]2﹣4（mn﹣2n）（2m﹣mn）≥0， ∴（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）． 【附加题】 解：设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（a﹣b）x1＝c﹣1， 解得x1， 设x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（c﹣1）x2＝a﹣b， 解得x2， 所以x1x2＝1， 又∵方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，于是x2也是方程x2+ax+1＝0的根， 则ax2+1＝0． 又∵x2+a＝0，两式相减，得（a﹣1）x2＝a﹣1． 若a＝1，则方程x2+ax+1＝0无实根， 所以a≠1，故x2＝1． 于是a＝﹣2，b+c＝﹣1．又a﹣b+c＝3， 解得b＝﹣3，c＝2， 所以a+b+c＝﹣2﹣3+2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的解，根与系数的关系和根的判别式的应用，能够构造一元二次方程是解题关键． 15．（2025秋•闵行区校级期中）定义：关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的“友好方程”．例如：﹣2x2﹣x+1＝0是x2﹣x﹣2＝0的“友好方程”．求： （1）方程3x2﹣2x﹣4＝0的“友好方程”是　﹣4x2﹣2x+3＝0　 ． （2）若关于x的一元二次方程cx2+bx+a＝0（其中a、b、c是实数，且ac≠0）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． （3）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5mx+（m2+2m﹣3）＝0（其中m是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求m的值以及原方程的根． 【分析】（1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可； （2）根据方程cx2+bx+a＝0的一个解为3，得到9c+3b+a＝0，写出其“友好方程”ax2+bx+c＝0，当时，得到关于 a、b、c的方程，据此进行计算求解即可； （3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合ac≠0，得到m的值，将m的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可． 【解答】解：（1）根据“友好方程”的定义，方程3x2﹣2x﹣4＝0的“友好方程”是﹣4x2﹣2x+3＝0， 故答案为：﹣4x2﹣2x+3＝0； （2）由条件可知9c+3b+a＝0， 其“友好方程”为：ax2+bx+c＝0， 当时，， 把9c+3b+a＝0代入上式得：， 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）设方程（m﹣1）x2+5mx+（m2+2m﹣3）＝0的解为x1、x2， 则， 其“友好方程”（m2+2m﹣3）x2+5mx+（m﹣1）＝0的解也为x1、x2， 则， 由题意列方程为：， 解得m＝﹣2，或m＝1， ∵（m﹣1）（m2+2m﹣3）≠0， ∴m≠1且m≠﹣3， ∴m＝﹣2， 那么原方程为3x2+10x+3＝0， （3x+1）（x+3）＝0， 令3x+1＝0或x+3＝0， 解得，x2＝﹣3． 答：m的值为﹣2以及原方程的根为和x2＝﹣3． 【点评】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键． 16．（2025秋•闵行区校级期中）已知x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”； （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根； （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0（a，m，b均为常数，a≠0）的一个根是x＝3，则关于x的方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，写出它的根；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得|x1﹣x2|＝1，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1﹣k，再利用完全平方公式的变形计算可得k，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得a＝﹣4b，从而可得（x+m+4）2，求解并判断即可得解． 【解答】解：（1）由题意，原方程整理得（x+3）（x+4）＝0， ∴x+3＝0或x+4＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4． ∴|x1﹣x2|＝|﹣3﹣（﹣4）|＝1， ∴方程x2+7x+12＝0是“差根方程”； （2）由题意，∵|x1﹣x2|＝1， ∴（x1﹣x2）2＝1． ∵x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1﹣k， ∴， ∴， ∴方程为， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴，x2． （3）由题意得，ax2+2amx+am2+b＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝a2． ∴a＝﹣4b， 将a＝﹣4b代入方程a（x+m+4）2＝﹣b可得：， ∴，x2＝﹣m． ∴|x1﹣x2|＝|﹣m（﹣m）|＝1， ∴方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”，它的根为x1＝﹣m，． 【点评】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“差根方程”的定义是解此题的关键． 【考点2】一元二次方程的根与系数的关系（第17-36题） 1. 利用韦达定理求两根和与积，再整体代入求代数式的值。 1. 求参数时，注意使用 的前提条件。 1. 新定义题如“幸运方程”“限根方程”等，需按定义列方程或不等式。 1. 注意代数式的变形，如等。 17．（2026•浦东新区校级竞赛）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 【分析】根据题意，用t分别表示出a+b和ab，再据此表示出（a+4）（b+4），并求出最小值即可． 【解答】解：由题知， 因为a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根， 所以a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4， 所以（a+4）（b+4）＝ab+4（a+b）+16＝t2﹣2t+4+8t+16＝t2+6t+20＝（t+3）2+11． 又因为Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， 所以t≥2， 则当t＝2时，（a+4）（b+4）有最小值为：52+11＝36． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 18．（2025秋•宝山区校级期末）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣7 D．7 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为x1，x2， 所以x1+x2＝4，x1x2＝﹣3， 所以x1x2（x1+x2）＝﹣3×4＝﹣12． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19．（2025秋•上海校级期末）如果x1和x2是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（　　） A．x1+x2＝8 B．x1+x2＝﹣4 C． D． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣8，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则． 20．（2025秋•普陀区校级同步）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为50°则这个等腰三角形的顶角度数为40°；④一元二次方程﹣x2+3x+4＝0，由根与系数的关系，可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据根的判别式可以判断①；将n代入方程x2+mx+n＝0，可得n（n+m+1）＝0，即可判断②；分类讨论画图，利用角度的计算可判断③；根据根与系数的关系可判断④． 【解答】解：①由条件可知m＝1+2n， Δ＝m2﹣4n＝（1+2n）2﹣4n＝1+4n+4n2﹣4n＝1+4n2≥1＞0， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故①正确． ②若n是方程x2+mx+n＝0的根， 则n（n+m+1）＝0， 若n＝0，则m+n不一定为﹣1；若n≠0，则m+n＝﹣1，故②错误． ③等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°， 当等腰三角形顶角为锐角时，如图，AB＝AC，BD⊥AC， 此时∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°； 当等腰三角形顶角为钝角时，如图，AB＝AC，BD⊥AC， 此时∠BAC＝90°+∠ABD＝140°， 故顶角可能为40°或140°，不唯一，故③错误． ④方程﹣x2+3x+4＝0即x2﹣3x﹣4＝0， 由根与系数关系，，，故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的判别式、等腰三角形性质及根与系数关系，需注意分类讨论． 21．（2025秋•闵行区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（　　） A．若方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0是半根方程，则4m2+5mn+n2＝0 B．一元二次方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程 C．一元二次方程x2﹣4＝0是半根方程 D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是半根方程，则系数满足2b2＝9ac 【分析】根据“半根方程”的定义（一根是另一根的一半），验证各选项．选项B和C的方程根不满足半根关系；选项A中推导出的关系式不成立；选项D通过根与系数关系推导出正确结论． 【解答】解：根据“半根方程”的定义（一根是另一根的一半）逐项分析判断如下： A：方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0的根为x＝2和， 若为半根方程，则或4，代入4m2+5mn+n2均不为零，故错误，不符合题意； B：方程x2﹣x﹣2＝0的根为x＝2和x＝﹣1，不满足半根关系，故错误，不符合题意； C：方程x2﹣4＝0的根为x＝2和x＝﹣2，不满足半根关系，故错误，不符合题意； D：∵设方程两根为r和s，且， 根据根与系数关系：，， 则，即， 又，即， 则，整理得：， 故2b2＝9ac， ∴选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键． 22．（2025秋•徐汇区校级月考）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1，其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可． 【解答】解：∵M：ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∵N：cx2+bx+a＝0的判别式为Δ＝b2﹣4ca＝b2﹣4ac＞0， ∴方程N也有两个不相等的实数根， 故①正确； ∵M：ax2+bx+c＝0两根符号相同， ∴， ∴， ∴方程N的两根符号也相同， 故②正确； ∵m是方程 M：ax2+bx+c＝0的一个根， ∴am2+bm+c＝0， ∵ ∴是方程N的一个根； 故③正确； 设方程M和方程N相同的根为x0， 根据题意，得， ∴， ∵ac≠0，a≠c， ∴， 解得x0＝±1， 故这个根是x＝±1， 故④错误； 故选B． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 23．（2026•浦东新区校级竞赛）已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则的值为　6　 ． 【分析】利用一元二次方程根的定义将x2转化为含x2的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣5，， 即， 则 ＝（﹣5x2+1）+4x2﹣x1 ＝﹣x1﹣x2+1 ＝1﹣（x1+x2） ＝1﹣（﹣5） ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 24．（2025秋•杨浦区期末）已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1＝0，n2﹣4n﹣1＝0，则　2或﹣18　 ． 【分析】分类讨论：当m＝n时，易得原式＝2；当m≠n时，则可把m、n看作方程x2﹣4x﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣1，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：当m＝n时，原式＝1+1＝2； 当m≠n时，m、n可看作方程x2﹣4x﹣1＝0的两根， 则m+n＝4，mn＝﹣1， 所以原式18． 故答案为2或﹣18． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 25．（2025秋•黄浦区校级期末）若p，q是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2p2+4q2﹣4q+2012的值为　2026　 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2＝2p+1，q2＝2q+1，再根据根与系数的关系得到p+q＝2，将代数式降次变形后，利用整体思想计算即可． 【解答】解：由条件可知：p2﹣2p﹣1＝0，q2﹣2q﹣1＝0，p+q＝2， ∴p2＝2p+1，q2＝2q+1． ∴2p2+4q2﹣4q+2012 ＝2（2p+1）+4（2q+1）﹣4q+2012 ＝4p+2+8q+4﹣4q+2012 ＝4p+4q+2018 ＝4（p+q）+2018 ＝4×2+2018 ＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2025秋•金山区校级期末）已知一元二次方程x2﹣2026x﹣1＝0的两个根分别是x1和x2，则代数式的值是 　﹣2026　 ． 【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝2026，x1x2＝﹣1，再利用因式分解把变形为x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2026x﹣1＝0的两个根分别是x1和x2， ∴x1+x2＝2026，x1x2＝﹣1， ∴x1x2（x1+x2）＝﹣1×2026＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 27．（2025秋•松江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是　　 ． 【分析】由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【解答】解：方程两根为和， 由题意得， 设，则， 或， 解得或， 代数式， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 28．（2025秋•闵行区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，a＝±3； （2）方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； （3）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0，（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； （4）若q＝2p，则关于x的方程px2﹣q＝0（p≠0）是倍根方程． 其中正确的结论有 　（1）（3）　 ．（写出所有正确说法的序号） 【分析】（1）把a＝±3代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程x2+2x﹣8＝0的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由（x﹣2）（mx+n）＝0，解得x1＝2，，由方程（x﹣2）（mx+n）＝0是“倍根方程”，得到m+n＝0，4m+n＝0，即可求解； （4）把q＝2p代入原方程中，求解即可判断． 【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为x2+3x+2＝0， ∴x1＝2，x2＝1， ∴x2+3x+2＝0是“倍根方程”， 当a＝﹣3时，x2﹣3x+2＝0， ∴x1＝2，x2＝1， ∴x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程x2+2x﹣8＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝2， ∴方程x2+2x﹣8＝0不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）解方程得x1＝2，， ∴或， ∴m+n＝0，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，故（3）符合题意； （4）∵q＝2p，p≠0， ∴方程px2﹣q＝px2﹣2p＝0， ∴x2＝2， ∴，， ∴px2﹣q＝0不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 【点评】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． 29．（2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则　　 ． 【分析】由条件可知，a2和b2是关于x的二次方程的两个根，根据根与系数的关系，可得，再计算立方根即可． 【解答】解：由条件可知a2和b2是关于x的二次方程的两个根， 即a2和b2是关于x的二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 30．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，结合x1x2+x1+x2＝m2+6，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＝8m﹣4≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， 整理得：m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣3（不符合题意，舍去），m2＝1， ∴m的值为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系及x1x2+x1+x2＝m2+6，找出关于m的一元二次方程． 31．（2025秋•黄浦区期末）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴[2（m+1）]2﹣4×m×（m﹣1）＞0， 解得m， 又m≠0， 所以m的取值范围是m且m≠0； （2）因为该方程有两个实数根分别为x1、x2， 所以x1+x2，x1•x2， 又， 即x1•x2（x1+x2）＝﹣1 ∴（）＝﹣1， 解得m1，m2（舍去）， 经检验m是原方程的解． 所以m． 【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 32．（2025秋•宝山区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝1，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程x2+3x﹣8＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2+bx﹣1＝0的一个根是x＝2，求a，b的值； （3）若一个波浪方程mx2+nx+p＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，求这个波浪方程． 【分析】（1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到3a+2b＝2①，再由一元二次方程的解的定义得到4a+2b﹣1＝0②，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出n＝﹣3m，p＝2m，根据波浪方程的定义得到3m+2n+p＝1，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程，理由如下： 由题意得，a＝1，b＝3，c＝﹣8， ∴3a+2b+c＝1＝3+6﹣8＝1， ∴方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程； （2）由条件可知3a+2b+c＝1，且c＝﹣1， ∴3a+2b＝2①， ∵x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣1＝0的一个根， ∴4a+2b﹣1＝0②， 联立①②解得； （3）由条件可知，，3m+2n+p＝1， ∴n＝﹣3m，p＝2m， ∴3m﹣6m+2m＝1， ∴m＝﹣1，n＝3，p＝﹣2， ∴这个波浪方程为﹣x2+3x﹣2＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： 33．（2025秋•杨浦区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值． 【分析】（1）先把方程化为一般式得到x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2，则|2（k﹣1）|＝k2﹣22，利用（1）的k的范围去绝对值后解方程得到k＝4或k＝﹣6，然后根据（1）中k的范围确定k的值． 【解答】解：x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）， 整理得x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0． （1）∵方程有两个实数根x1，x2． ∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0， 解得k； （2）由根与系数关系知： x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2， 又|x1+x2|＝x1x2﹣22，代入得， |2k﹣2|＝k2﹣22， ∵k， ∴2k﹣2＜0， ∴|2k﹣2|＝k2﹣22可化简为：k2+2k﹣24＝0． 解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6， ∴k＝﹣6． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程根的判别式． 34．（2025秋•徐汇区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式的值． 【分析】（1）由根的判别式Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m×2＝（2m﹣1）2即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【解答】解：（1）此方程总有两个实数根． 理由：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m•2＝（2m﹣1）2≥0， ∴此方程总有两个实数根； （2）设方程的两个根为x1，x2， 则，， ∵此方程的两个实数根都是整数， ∴m的值为±1， ∴符合条件的整数m的值的和为0； （3）∵x1，x2是方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0的两个实数根， ∴，， ∴①，②， ①+②得，． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，是解题的关键． 35．（2025秋•闵行区校级期中）我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F（a，b，c）表示，即F（a，b，c）．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r＝0（p≠0，p，q，r均为整数）的“幸运数”为F（p，q，r），若r•F（a，b，c）＝c•F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“幸运方程”． ①当m＝2时，该幸运方程的“幸运数”是 　　 ； ②若该幸运方程的“幸运数”是﹣1，则m的值为 　﹣1或3　 ． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【分析】（1）①把m＝2 代入方程x2﹣（m+1）x+m＝0得到方程x2﹣3x+2＝0根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程m2﹣2m﹣3＝0解方程可求得m的值； （2）通过m的取值范围确定根的判别式b2﹣4ac的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据x2﹣mx+m+1＝0是“幸运方程”得出x2﹣mx+m+1＝0的两个根为整数，设方程x2﹣mx+m+1＝0的两个分别为P，q，根据根与系数的关系得出（p﹣1）（q﹣1）＝2，进而根据p，q为整数，得出m的值为5或﹣1，求得F（1，﹣m，m+1），根据F（1，﹣m，m+1）与F（1，﹣n﹣2，2n） 互为“开心数”得出方程2n＝（m+1）（n﹣2）2，进而分m＝5 或m＝﹣1，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【解答】解：（1）①当m＝2时，代入x2﹣（m+1）x+m＝0得，x2﹣3x+2＝0， ∴，即F（a，b，c）， 故答案为：； ②依题意，F（a，b，c）1， 整理得，m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝3， 故答案为：﹣1或3； （2）∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m﹣3）＝4m+13， ∵4＜m＜15， ∴29＜4m+13＜73， ∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0是“幸运方程”， ∴b2﹣4ac是完全平方数， 即4m+13是完全平方数， ∴4m+13＝36或49或64， 解得m或9或， ∵m为整数， ∴m＝9， 当m＝9时，方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0化为x2﹣17x+60＝0， ∴F（a，b，c）， ∴方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0的“幸运数”为； （3）x2﹣mx+m+1＝0是“幸运方程”， ∴x2﹣mx+m+1＝0的两个根为整数， 设方程x2﹣mx+m+1＝0的两个根分别为p，q， ∴p+q＝m，pq＝m+1， ∴pq＝（p+q）+1， ∴pq﹣p﹣q＝1， ∴（p﹣1）（q﹣1）＝2， ∵p，q为整数，2＝1×2＝2×1＝（﹣1）×（﹣2）＝（﹣2）×（﹣1）， 当p﹣1＝1，q﹣1＝2时，则p＝2，q＝3，此时m＝2+3＝5， 当p﹣1＝2，q﹣1＝1时，则p＝3，q＝2，此时m＝2+3＝5， 当p﹣1＝﹣1，q﹣1＝﹣2时，则p＝0，q＝﹣1，此时m＝0﹣1＝﹣1， 当p﹣1＝﹣2，q﹣1＝﹣1时，则 p＝﹣1，q＝0，此时m＝﹣1+0＝﹣1， 综上所述，m的值为5或﹣1， 方程x2﹣mx+m+1＝0的“幸运数”为F（1，﹣m，m+1）， 当m＝5时，F（1，﹣m，m+1）＝F（1，﹣5，6）， 当m＝﹣1时，F（1，﹣m，m+1）＝F（1，1，0）， ∴F（1，﹣m，m+1）， 方程x2﹣（n+2）x+2n＝0的“幸运数”为F（1，﹣n﹣2，2n）， ∵F（1，﹣m，m+1）与F（1，﹣n﹣2，2n） 互为“开心数”， ∴2n（m+1），即2n＝（m+1）（n﹣2）2， 当m＝5时，方程为：2n＝6（n﹣2）2， 解得：n＝3或n（舍去，不是整数）， 当m＝﹣1时，方程为：2n＝0， 解得：n＝0， 综上所述，n＝3或n＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根为α、β，那么α+β，αβ，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如2x2+x﹣3＝0的两个根分别为α、β．则α+β，αβ． （1）小爱同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和． 不解方程，请求一元二次方程2x2+x﹣3＝0的两个根的倒数和． （2）小艺同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程2x2﹣3x﹣7＝0，∵a＝2、b＝﹣3、c＝﹣7，∴x1+x2． 设x1k，则，即，解得k＝±． 所以原方程的解为x1． 请利用小艺的方法解方程3x2﹣4x﹣2＝0． （3）小董同学善于发现，他对三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以a可得x30．若该方程的三个根分别为α、β、γ，则（x﹣α）（x﹣β）（x﹣γ）＝0，将其展开后为x3﹣（α+β+γ）x2+（αβ+αγ+βγ）x﹣αβγ＝0，于是α+β+γ、αβ+αγ+βγ、αβγ． 若三次方程x3﹣x2﹣3x﹣10＝0的三个根分别为α、β、γ，且μ＝﹣α+β+γ．请先说明μ+2α＝1，再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为﹣α+β+γ、α﹣β+γ、α+β﹣γ． 【分析】（1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小艺同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得α+β+γ＝1，αβ+αγ+βγ＝﹣3，αβγ＝10，代入即可证出μ+2α＝1，可设新方程为x3+mx2+nx+p＝0，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解． 【解答】解：（1）∵，αβ， ∴（）； （2）由题意，∵3x2﹣4x﹣2＝0， ∴x1+x2，x1x2． 设x1k，x2k， ∴x1x2＝（k）（k）， ∴k2． ∴k＝±． ∴原方程的解为x1，x2； （3）由根与系数的关系，可得α+β+γ＝1，αβ+αγ+βγ＝﹣3，αβγ＝10， ∴μ+2α＝（﹣α+β+r）+2α＝α+β+γ＝1， 由题意得，可设新方程为x3+mx2+nx+p＝0， ∵α+β+γ＝1， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为1﹣2α、1﹣2β、1﹣2γ， ∴（1﹣2α）+（1﹣2β）+（1﹣2γ）＝﹣m，（1﹣2α）（1﹣2β）+（1﹣2α）（1﹣2γ）+（1﹣2β）（1﹣2γ）＝n，（1﹣2α）（1﹣2β）（1﹣2γ）＝p， ∴m＝﹣[3﹣2（α+β+γ）]＝﹣（3﹣2）＝﹣1，3﹣4（α+β+γ）+4（αβ+αγ+βγ）＝n，1﹣2（α+β+γ）+4（αβ+αγ+βγ）﹣8αβγ＝p， ∴n＝3﹣4×1+4×（﹣3）＝﹣13，p＝1﹣2×1+4×（﹣3）﹣8×10＝﹣93， ∴新方程为x3﹣x2﹣13x﹣93＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点，熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【考点3】二次三项式的因式分解（第37-42题） 1. 先求对应一元二次方程的根，再利用公式因式分解。 1. 注意二次项系数的处理，如 。 1. 整体思想：将某一部分看作整体，或换元。 1. 分解要彻底，直到不能在实数范围内分解为止。 37．（2025秋•普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式． 【解答】解：∵对于x2﹣2x﹣1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8， ∴根为， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的求根公式；熟练掌握该知识点是关键． 38．（2025秋•虹口区校级期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把y看出已知数求出关于x的方程2x2﹣8xy+5y2＝0的解，再分解因式即可． 【解答】解：2x2﹣8xy+5y2＝0， Δ＝64y2﹣4×2×5y2＝24y2， 则x， 所以2x2﹣8xy+5y2＝2（xy）（xy）， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程和在实数内分解因式，能求出方程2x2﹣8xy+5y2＝0的解是解此题的关键． 39．（2024秋•杨浦区校级月考）将二次三项式2x2y2﹣3xy﹣1在实数范围内分解因式，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用换元法分解因式，令2x2y2﹣3xy﹣1＝0，设t＝xy，则方程变为2t2﹣3t﹣1＝0，解得t值后还原即可得到结果． 【解答】解：令2x2y2﹣3xy﹣1＝0，设t＝xy，则方程变为2t2﹣3t﹣1＝0， 解得：t1，t2， 所以原式＝2（t）（t）＝2（xy）（xy） 故选：D． 【点评】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 40．（2025秋•浦东新区校级月考）在实数范围内分解因式：x4﹣2x2y2﹣3y4． 【分析】根据题意，把原式分解为（x2+y2）（x2﹣3y2）后，再继续分解，可得到结果． 【解答】解：x4﹣2x2y2﹣3y4 ＝（x2+y2）（x2﹣3y2） ＝（x2+y2）（xy）（xy）． 【点评】本题考查了因式分解方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 41．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：（x2+6x）2+8（x2+6x）﹣9． 【分析】把x2+6x看作整体，再因式分解为（x2+6x+9）（x2+6x﹣1），最后再次进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝（x2+6x+9）（x2+6x﹣1） ． 【点评】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 42．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 【分析】先求出关于x的一元二次方程﹣3x2+4xy+2y2＝0的解，再分解因式即可． 【解答】解：令﹣3x2+4xy+2y2＝0， 解得，， 所以﹣3x2+4xy+2y2． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，掌握“ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1、x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）”是正确解答的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 判别式是基础： 熟练掌握 的计算，注意二次项系数不为 ，含参问题要分类讨论。 韦达定理要活用： 牢记两根和与积的公式，能将代数式灵活变形为含 和 的形式，注意使用前提 。 因式分解要彻底： 先求对应方程的根，再按 分解，注意二次项系数和符号。 新定义题耐心读： 理解定义的本质，转化为方程或不等式，注意检验根的情况。 错题整理： 将判别式、根与系数、因式分解的易错题归类，分析错误原因，避免重复犯错。 【作业1】（2025秋•上海校级期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（　　） A． B．x2﹣3x﹣2＝0 C． D．x2+3x+2＝0 【分析】计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根，若Δ＜0则无实数根． 【解答】解：通过根的判别式逐项判断如下： 选项A：，有实数根，不符合题意； 选项B：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，有实数根，不符合题意； 选项C：，没有实数根，符合题意； 选项D：Δ＝32﹣4×1×2＝9﹣8＝1＞0，有实数根，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查通过根的判别式判断根的情况，熟练掌握该知识点是关键． 【作业2】（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的方程x2+nx+m＝0的两根中，只有一个等于0，则下列条件正确的是（　　） A．m＝0，n＝0 B．m＝0，n≠0 C．m≠0，n＝0 D．m≠0，n≠0 【分析】代入方程的解求出m的值，再用因式分解法确定n的取值． 【解答】解：方程有一个根是0，即把x＝0代入方程，方程成立． 得到m＝0； 则方程变成x2+nx＝0，即x（x+n）＝0， 则方程的根是0或﹣n， 因为两根中只有一根等于0， 则得到﹣n≠0即n≠0 方程x2+nx+m＝0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m＝0，n≠0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程． 【作业3】（2025秋•崇明区期末）已知方程x2﹣3x+2＝0有两个实数根x1，x2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】所给一元二次方程较简单，可解出方程的根，再代入求解即可；也可通分所求式子，再用韦达定理求解即可． 【解答】解：方程 x2﹣3x+2＝0 因式分解，得 （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝1，x2＝2， ∴； 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程和韦达定理，掌握解一元二次方程的方法和韦达定理是解题关键． 【作业4】（2025秋•普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【解答】解：由条件可知方程ax2+3x+4＝0无实数根， ∴根的判别式Δ＝32﹣4•a•4＝9﹣16a＜0， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 【作业5】（2023•台江区校级模拟）若关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个相等实数根，则m的值是 　1　 ． 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式Δ＝0，且二次项系数不为零即可求得m的值． 【解答】解：依题意，有：Δ＝4﹣4m＝0且m≠0， 解得m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【作业6】（2025秋•浦东新区校级期末）关于x的一元二次方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1，那么m的值为　2　 ． 【分析】由二次项系数非零可得出m≠0，由根的判别式Δ＝1可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0为一元二次方程， ∴m≠0 ∵方程mx2﹣3mx+x+2m﹣1＝0的根的判别式的值为1， ∴Δ＝（﹣3m+1）2﹣4×m×（2m﹣1）＝1， ∴9m2﹣6m+1﹣8m2+4m＝1， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出m的值是解题的关键． 【作业7】（2025秋•浦东新区校级期末）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【解答】解：由条件可知α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴α+β﹣αβ＝2﹣（﹣5）＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1，x2，满足，． 【作业8】（2025秋•普陀区期末）已知是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，那么方程的另一个根是　　 ． 【分析】已知条件“方程x2﹣2x+c＝0的一个根是”，根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2求该方程的另一个根即可． 【解答】解：根据题意得x1+x2， 令x1， 则， 解得：x2， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【作业9】（2025秋•长宁区校级期末）已知α与β是方程x2﹣2x＝2026的两个不同的根，那么代数式α2﹣4α﹣2β﹣2的值为　2020　 ． 【分析】由根与系数的关系可得α2＝2α+2026，α+β＝2，进而代入计算可以得解． 【解答】解：由题意得，α与β是方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个不同的根， ∴α2＝2α+2026，α+β＝2． ∴α2﹣4α﹣2β﹣2＝2α+2026﹣4α﹣2β﹣2 ＝2024﹣2（α+β） ＝2024﹣2×2 ＝2020． 故答案为：2020． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形是解题的关键． 【作业10】（2025秋•浦东新区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2＝　2（xy）（xy）　 ． 【分析】将原式分组并配方，利用平方差及完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2xyy2） ＝2（x2xyy2y2y2） ＝2[（xy）2y2] ＝2（xyy）（xyy） ＝2（xy）（xy）， 故答案为：2（xy）（xy）． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业11】（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 【分析】将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案 【解答】解：将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程， ∵2x2﹣3xy﹣y2＝0， ∴Δ＝（﹣3y）2﹣4×2×（﹣y2） ＝9y2+8y2 ＝17y2≥0， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 【作业12】（2022秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：3x2y2+10xy+5． 【分析】将原式变形后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝3（x2y2xy） ＝3（x2y2xy） ＝3[（x2y2xy）] ＝3[（xy）2] ＝3（xy）（xy）． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，将原式进行正确的变形是解题的关键． 【作业13】（2025秋•虹口区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 【分析】（1）利用根的判别式Δ≥0，可得出﹣4m+5≥0，解之即可得出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1，结合x1+x2+x1x2＝0，可得出m2﹣2m＝0，解之可得出m的值，再结合m，即可确定结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣1） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4 ＝﹣4m+5≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1， ∵x1+x2+x1x2＝0， ∴﹣（2m﹣1）+m2﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2， 又∵m， ∴m＝0， ∴实数m的值为0． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”． 【作业14】（2025秋•上海校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+2＝0． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求m的值． 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式列方程，然后解方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+2）＞0， ∴4m2+4m+1﹣4m2﹣8＞0， 解得， 故m的取值范围． （2）设x1，x2是方程x2﹣（2m+1）x+m2+2＝0的两个实数根， 则x1+x2＝2m+1，，且Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+2）≥0， 解得； 由条件可知， ∴（2m+1）2﹣2（m2+2）＝13， ∴4m2+4m+1﹣2m2﹣4＝13， ∴m2+2m﹣8＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣4， ∵， ∴m＝﹣4舍去， 故m＝2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式、解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【作业15】（2025秋•青浦区校级期中）已知关于x的方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实根，试求m的取值范围； （2）若方程有两个实根分别为x1、x2，且满足，试求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m+1），，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：（1）根据方程有实数根可得：Δ＝4（m+1）2﹣4×1•（m2﹣1）≥0， 解得：m≥﹣1； （2）根据方程有两个实数根得：x1+x2＝﹣2（m+1），， ∵， ∴， ， [﹣2（m+n）]2﹣3（m2﹣1）＝16， m2+8m+9＝0， （m﹣1）（m+9）＝0， m﹣1＝0或m+9＝0， m＝1或m＝﹣9， ∵m≥﹣1时，方程有实根， ∴m＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握相关知识． 【作业16】（2025秋•黄浦区校级期中）综合理解： 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它有两个实数根x1和x2，有以下关系式：x1+x2． （1）设方程x2x﹣1＝0的两个根为α、β，则α+β＝ 　　 ， 　　 ； （2）设关于x的方程x2﹣kx+k﹣1＝0的两个实数根为α、β，且2α+β＝4，则k的值为 　﹣1或　 ； （3）已知αβ≠1，且α2+20α+25＝0及25β2+20β+1＝0，求的值． 【分析】（1）先利用根与系数的关系得到α+β，αβ＝﹣1，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）先利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝k﹣1，再利用2α+β＝4得到2×1+k﹣1＝0或2（k﹣1）+1＝0，然后分别解关于k的方程即可； （3）先把25β2+20β+1＝0两边除以β2得到（）2+20（）+25＝0，则可把α、可看作方程x2+20x+25＝0的两根，利用根与系数的关系得到α20，α•25，接着利用因式分解的方法把原式变形为（α），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）根据根与系数的关系得α+β，αβ＝﹣1； ∴； 故答案为：，； （2）解方程方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝1，x2＝k﹣1， ∵2α+β＝4， ∴2×1+k﹣1＝0或2（k﹣1）+1＝0， 解得k＝﹣1或k 即k的值为﹣1或； 故答案为： （3）∵25β2+20β+1＝0， ∴（）2+20（）+25＝0， ∵α2+20α+25＝0，αβ≠1， ∴α、可看作方程x2+20x+25＝0的两根， ∴α20，α•25， ∴原式＝α•• （α） ＝25×（﹣20） ＝﹣500． 【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【作业17】（2025秋•青浦区校级月考）我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用F（a，b，c）表示，即F（a，b，c）．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r＝0（p≠0，p，q，r均为整数）的“幸运数”为F（p，q，r），若r•F（a，b，c）＝c•F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“幸运方程”． ①当m＝2时，该幸运方程的“幸运数”是　　 ； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是﹣2，则m的值为　﹣1或3　 ； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“幸运方程”，求m的值． （3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m、n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出n的值． 【分析】（1）①把m＝2代入方程x2﹣（m+1）x+m＝0得到方程x2﹣3x+2＝0，根据“幸运数”的定义即可求解；②根据“幸运数”的定义可得方程m2﹣2m﹣3＝0，解方程可求得m的值； （2）由x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0为“幸运方程”，可得两根都为整数，推出Δ＝4m+29为完全平方数，再结合m为整数，即可求出m的值； （3）根据x2﹣mx+m+1＝0的解为整数，得出m的值，进而得出，再根据﹣n•F（1，﹣m，m+1）＝（m+1）•F（1，n﹣1，﹣n）列方程，将m的值代入计算即可． 【解答】解：（1）①当m＝2时，x2﹣（m+1）x+m＝0为x2﹣3x+2＝0， ， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是﹣2时， ， 整理得m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝3， 即m的值为﹣1或3； 故答案为：①；②﹣1或3． （2）∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4（m2﹣4m﹣5）＝4m+29， ∵4＜m＜15， ∴45＜4m+29＜89， ∵x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0为“幸运方程”， ∴两根都为整数， ∴Δ＝4m+29为完全平方数， ∴4m+29为49或64或81， ∴m的值为5或或13， ∵m为整数， ∴m的值为5或13； （3）由条件可知两根都为整数， 设方程x2﹣mx+m+1＝0的两个根分别为p，q， 则pq＝m+1，p+q＝m， ∴pq＝p+q+1， ∴pq﹣p﹣q＝1， ∴（p﹣1）（q﹣1）＝2， ∵2＝1×2＝2×1＝（﹣1）×（﹣2）＝（﹣2）×（﹣1）， 当p﹣1＝1，q﹣1＝2时，p＝2，q＝3，此时m＝2+3＝5， 当p﹣1＝2，q﹣1＝1时，p＝3，q＝2，此时m＝3+2＝5， 当p﹣1＝﹣1，q﹣1＝﹣2时，p＝0，q＝﹣1，此时m＝0﹣1＝﹣1， 当p﹣1＝﹣2，q﹣1＝﹣1时，p＝﹣1，q＝0，此时m＝﹣1+0＝﹣1， 综上可知，m的值为5或﹣1， x2﹣mx+m+1＝0的“幸运数”为：， 当m＝5时，， 当m＝﹣1时，， 综上可知，x2﹣mx+m+1＝0的“幸运数”为； x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“幸运数”为：， 由条件可知﹣n•F（1，﹣m，m+1）＝（m+1）•F（1，n﹣1，﹣n）， ∴， 当m＝5时，， 解得，（都不是整数，舍去）； 当m＝﹣1时，， 解得n＝0， 综上可知，n的值为0． 【点评】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． 【作业18】（2024秋•崇明区期中）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，x1x2，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，34，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 　﹣4＜m＜﹣3或m　 ．（此小问直接填空，不写过程） 【分析】（1）先利用因式分解法解方程得到x1＝﹣7，x2＝﹣2，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2，x1x2，再利用x1+x2+x1x2＝﹣1得到1，则可求得k1＝2，k2＝﹣1，当k＝﹣1时，方程化为x2+3x+2＝0，当k＝2时，方程化为2x2+9x+7＝0， 然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定k的值； （3）利用因式分解法解方程得到x＝m或x＝﹣1，再根据“限根方程”的定义得到m＜﹣1＜0时，34，当﹣1＜m＜0时，34，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：（1）一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”． 理由如下： x2+9x+14＝0， （x+7）（x+2）＝0， x+7＝0或x+2＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝﹣2， ∵﹣7＜﹣2＜0，34， ∴所以一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”； （2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵x1+x2+x1x2＝﹣1， ∴1， 解得k1＝2，k2＝﹣1， 当k＝﹣1时，方程化为x2+3x+2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∵﹣2＜﹣1＜0， 而3， ∴方程化，x2+3x+2＝0不是“限根方程”， 综上所述，k的值为2； 当k＝2时，方程化为2x2+9x+7＝0， 解得x1，x2＝﹣1， ∵1＜0，34， ∴方程化2x2+9x+7＝0是“限根方程”； （3）x2+（1﹣m）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， x﹣m＝0或x+1＝0， 解得x＝m或x＝﹣1， 当m＜﹣1＜0时，34，解得﹣4＜m＜﹣3； 当﹣1＜m＜0时，34，解得m， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m． 故答案为：﹣4＜m＜﹣3或m． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1+x2，x1x2，也考查了解一元二次方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $