第十二章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

第十二章整式的乘除因式分解（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：90分钟试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(x-2°=x2-4x+4 B.x+3x+2=x(x+3)+2 C.x2-9=(x+3)(x-3) 2+2-=2+到 2.己知关于x的整武+mr+6=(+x+b),其中Ab为整数，能使这个因式分解过程成立的m的 值共有()个. A.5 B.4 C.3 D.2 3.利用提取公因式法计算5)+(-) ,结果是() A.4x52026 B.4x(←5)206 C.4x52027 D.4×(←-5)20 x-xy+2y-2x 4.用分组分解法将 分解因式，下列分组不恰当的是() A.(r-2x+(2-y) B.(x-9y+(2y-2x) c.(2+2y+(-9y-2x) D.(（x-2x-(y-2y) 5下列多项式国-：®-（以：③+2咖-所：01 4；⑤m2n2+4-4mn,其中能用 公式法分解因式的是() A.①③④⑤ B.②④⑤ C.②③④ D.②③④⑤ 6.数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念.在日常生活中如取款 上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理：如多项式 -少因式分 解的结果为-x++y）,当x=9,y=9时，各因式的值是-y=0,+y=18,+=16配， 试卷第1页（共3页） 9x3-y2 于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式 取=12.y=12 时，密码不可能为 () A.124824 B.241248 C.122448 D.482124 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7.因式分解：x2-5x-6= 8.因式分解： 2(a-12-a+1= xy-2x2y2+xy3= 9.因式分解： ax2-ay +bx2-by 10.因式分解： 1,如果(a+b+c)=c2-(a+b,那么括号内的整式是 12.因式分解：1-a= 16 13.已知3x2-x=1,那么6x3+7x2-5x+2018= 14.已知32-1可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为一 15.在对整式 +心+9进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误，甲同学看错了一次项系数，得到 的分解结果为 +2-》,乙月华君行了有数质：得到的维吴为+-)，么些式+9正 确的因式分解结果是 16.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n=2,则称这个正整数为“智慧 优数”.例如，当m=3,n=1时，8=32-12,8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024 个智慧优数是 17.如图，正方形ABCD分割成四个长方形AMFO、OFPD、MBNG、GNCP,它们的面积分别为 3a2+4ab 6a2+8ab 3b2 b2 （其中a>0,>0),请用含有、b的代数式表示正方形 a b BCD 的边 试卷第2页（共3页） 长 0 D E H G 18.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n>1,则称这个正整数为“智慧 优数”.例如，16=5-3,16就是一个智慧优数，可以利 m'-n2=(m+n(m-”进行研究.若将智 慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19.因式分解： aa+3aj°-8d+3a)+16. a-42+4-1 20.因式分解： ①a-b+46（6-a) (281a6-a6 21.因式分解： 2m(m-3)-6m2(3-m)+8m(m-3 22.以下是小明因式分解的过程： 16-ad2+4ab-4b2=(16-a2）+(4ab-4h2）…① =(4+a(4-a+4b(a-b)…② =4b(1+a)1-a)(a-b)…③ 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程. 23.阅读：分解因式x2+2x-3. 试卷第3页（共3页） 解：原式=x2+2x+1-1-3 =(x2+2x+1-4 =(x+1)2-4 =（x+1+2)(x+1-2) =（x+3)(x-1) 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方 法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： 4a2+4a-15 0) (②m+mr2+n 24.因为 2+2x-3=(x+3)(x-1) ,这说明多项式r+2x-3有一个因式为-1，我们把x=1代入多项式， 发现x=1能使多项式x2+2x-3的值为0. 利用上述规律，回答下列问题： (I)若x-3是多项式x2+:+12的一个因式，求k的值. (2)若x-3和x-4是多项式x+m2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解. (3)分解因式：2x3-x2-5x-2. 25.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如 图1，有足够多的边长为a的小正方形，长为b、宽为a的长方形以及边长为b的大正方形 b aa a a b A类 B类 C类 图1 图2 图3 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法： (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 也可以解释因式分解： 试卷第4页（共3页） (1)若用4个B类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为x,内部小正方形的边长为'，观察图案， 指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）一： 0g6@ef-2:国b,@4p1@+8 2 (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a+5b+2b2,在虚框中画出 图形，并根据所画图形，将多项式3a+5ab+2b分解因式为一 (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为4a2+mab+5b则m的值为 (直接写出结果) 试卷第5页（共3页）第十二章整式的乘除因式分解（高效培优单元自测·强化卷) (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 6 答案 B A B D 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7.（x+1x-6) 8.(a-(2a-3) 9.y(x-y月 10.(r-y(a+b) 11.c-a-b 2.〔+0+0-9) 13.2021 14.28和26 15 (x-6)(x+3) 16.8100 17.3a+2b/2b+3a 18.28 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分) 19.(1)解：原式=[(c+3a-4 =(a+3a-4月 =(a+4)2(a-1)2 3分 试卷第1页（共3页） (2)解：原式-4r2-4+) =4-(21-12 =(2+21-1(2-21+1) =(-1(+21-) 6分 a2(a-b)+4b2(b-a 20.(1)解： =a2(a-b)-4b2(a-b) =(a-b)a2-462) =(a-b)(a-2b)(a+2b) 3分 (2)解：81ab-ab =ab(81a'b*-1) =ab(9a2b2+10(9a2b2- =ab(9a2b2+1)(3ab-1)(3ab+1)】 6分 21.解：原式=2m(m-3+6m(m-3)+8m(m-3) =2m(m-3)[(m-3)+3m+4] =2m(m-3)(4m+1) …6分 22.小明做得不正确，从第③步出错， 小明在步骤③中错误地将加法运算视为乘法运算，并且错误地改变了因式，导致因式分解错误， 试卷第2页（共3页） 16-a2+4ab-4b2 =16-(a2-4ab+462)） =16-(a-2b)2 =[4-(a-2b)1[4+(a-2b)1 =（(4-a+2b)(4+a-2b) 8分 23.（1解：原式(+4如+小-1-15 =(2a+1)2-16 =(2a+1+4)(2a+1-4) =(2a+5)(2a-3) .4分 (2)解：原式(m'+2m+m)-mn =(m2+n2-(mn)2 =(m2+n2-mn)(m2+n2+mn) …8分 24.(1)解：当x-3=0时，x=3, ,x-3是多项式x2+:+12的一个因式， ∴.当x-3=0时，x2++12=0, .9+3k+12=0, .k=-7…2分 (2)解：x-3和x-4是多项式x+m2+12x+n的两个因式， .当x-3=0或x-4=0时，x+mx2+12x+n=0, 试卷第3页（共3页） .x=3或x=4时，x3+mx2+12x+n=0, 「27+9m+36+n=0 ∴.64+16m+48+n=0, m=-7 解得n=0, 六原多项式为-7+12x=(-7x+12)--3训x-到，5分 (3)解：2x3-x2-5x-2 =(2x3-3x2-2x)+(2x2-3x-2 =x(2x2-3x-2）+(2x2-3x-2） =(x+1)2x2-3x-2) =(x+1)(x-2)(2x+1) 8分 25.(1)解：由图形可得，x=b+a、y=b-a,故①正确， :(x-=b+a-b+a=4d,即@错误： 由图形可得，4ab=r-y2,即ah=兰 4，即③正确： x=b+a、y=b-a, w=-d,即=y+口， ”,即④正确： r+y=-(a+b+b-=2a+26,2+b2=+y 2，即故⑤正确。 故答案为：①③④⑤.…2分 (2)解：30+5ab+2=(3a+2b)a+b) 试卷第4页（共3页） (3a+2b)(a+b) 故答案为： 4分 (3)解：由题意可得， ①当4a+mab+5办=(4a+5孙la+)=4d+9ab+562.m=9. ②当4a+mab+56=4a+ba+5动)=4+21b+56,m=21 ③当r+mab+56=(2a+bj(2a+5动)=4d+12ab+56.m=12 故答案为：9或21或12.…10分 试卷第5页（共3页） 第十二章 整式的乘除因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 2．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 3．利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 4．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 5．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 6．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，使用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．因式分解：______． 【答案】 【分析】该题考查了因式分解，运用提公因式法分解因式，通过变形后提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 10．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．如果，那么括号内的整式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将右边因式分解后判断即可． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 12．因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．已知，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 14．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为______． 【答案】28和26 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解，将利用幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解得到，即可解题． 【详解】解： ， 可以被28和26两个数整除， 故答案为：28和26． 15．在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是__________． 【答案】8100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 17．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握公式法（完全平方和（差）和平方差公式）和提公因式法结合使用即可得出结果． （1）将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； （2）利用平方差和完全平方公式分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 21．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 22．以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 【答案】 小明做得不正确，从第③步出错， 小明在步骤③中错误地将加法运算视为乘法运算，并且错误地改变了因式，导致因式分解错误． ． 【分析】题目主要考查利用提公因式法和公式法分解因式，根据题意，将原式分组，然后利用完全平方公式和平方差公式公式因式分解即可． 【详解】略 23．阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1)； (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)图形如图所示， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $