第十二章 因式分解（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

第十二章 整式的乘除因式分解（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 3．结果为（     ） A． B． C． D． 4．若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 5．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 6．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．因式分解：________． 8．因式分解：________． 9．因式分解：__________． 10．已知，，，则的值是________． 11．若，，则__________． 12．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 13．对于，因为，则，所以的最小值为1．利用所学知识，多项式的最小值为______． 14．对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 15．已知关于 、的二元一次方程组 ，则 的值为______． 16．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 17．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 18．如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．因式分解： (1)； (2)． 20．因式分解： (1) (2)． 21．因式分解： (1)． (2)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 22．先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 23．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 24．小温在查阅数学家杨辉撰写的《详解九章算法》及相关资料时，翻看到二项式的乘方的展开式，其各项系数排列成表如图所示． (1)写出的展开式． (2)小温由的展开式推导公式：，以下是部分过程，请继续完成推导． 解：因为 所以 …… (3)若正数，满足，，求的值． 25．【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以， 【尝试应用】 (1)利用材料中得到的等式计算：________； (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 (3)若，，且，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 整式的乘除因式分解（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，即可判断． 【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意； B、，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是因式分解，故选项符合题意； D、，右边分母中含有字母，不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意． 2．下列各式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除非因式分解的选项，再验证剩余选项的变形是否正确． 【详解】解：A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，错误． 3．结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 4．若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 5．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 6．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．因式分解：________． 【答案】 【分析】先将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解后化简即可得到结果 【详解】解： 8．因式分解：________． 【答案】 【分析】先展开原式并合并同类项，整理为二次三项式后，利用完全平方公式因式分解. 【详解】解：原式 9．因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再连续利用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解． 【详解】解： ． 10．已知，，，则的值是________． 【答案】 【分析】观察的结构，先计算两两的差，对所求多项式变形配方，即可求出定值． 【详解】解：∵，，， ∴，， 对所求多项式变形得： 则原式． 11．若，，则__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件求出，再计算最终结果． 【详解】解：； ∵， ， 解得， 则． 12．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 13．对于，因为，则，所以的最小值为1．利用所学知识，多项式的最小值为______． 【答案】 【分析】先利用配方法将多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据完全平方式的非负性，即可求出多项式的最小值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 14．对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ 这三个整数是、、． 15．已知关于 、的二元一次方程组 ，则 的值为______． 【答案】121 【分析】先将所求代数式因式分解得，，再观察方程组，得到的值，代入计算即可得结果． 【详解】解： ， 得 ： ∴． ∴ ． 16．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 17．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 【答案】121236或361212或123612（答案不唯一） 【分析】先对多项式运用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入，计算各因式的值，将各因式的值按顺序组合即可得到密码． 【详解】解： ， 当，时，，， 将三个因式的值按顺序排列，可得密码为121236或361212或123612． 18．如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 【答案】10 【分析】设正方形A，B的边长分别为，，结合题意可得，，进一步可得，从而可得答案. 【详解】解：设正方形A，B的边长分别为，， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为. 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式x的方法，进行因式分解； （2）利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 20．因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式整理为平方差公式的标准形式，利用平方差公式分解后化简即可； （2）把看作整体，先十字分解，再利用完全平方公式分解至彻底即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 21．因式分解： (1)． (2)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）根据看错的项确定原多项式的各项正确系数，得到原多项式后分解因式； 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵看错一次项系数时，二次项系数与常数项正确， ∴原多项式的二次项为，常数项为， ， ∵看错常数项时，二次项系数与一次项系数正确， ∴原多项式的一次项为， ∴原多项式为， 将原多项式分解因式：． 22．先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3)该长方形的周长为． 【分析】（1）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）先把前三项利用完全平方公式变形，再利用平方差公式继续分解； （3）先对给定的等式进行变形，通过因式分解求出的值，进而求出长方形的周长． 【详解】（1）解：因式分解， 设，则原式可化为， 则． 再把代回，得到原式． （2）解： ． （3）解：， ， 设，则 ， ， 解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 23．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)128160 (2)282114 【分析】（1）将，分别代入，，计算，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式，然后把代入分解好的式子计算，最后按从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：当时，，，，将128，16，0这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码是128160； （2）， 当时，，，，将28，21，14这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码为282114． 24．小温在查阅数学家杨辉撰写的《详解九章算法》及相关资料时，翻看到二项式的乘方的展开式，其各项系数排列成表如图所示． (1)写出的展开式． (2)小温由的展开式推导公式：，以下是部分过程，请继续完成推导． 解：因为 所以 …… (3)若正数，满足，，求的值． 【答案】(1) (2)继续推导： ； (3)18 【分析】（1）在中，令即可求解； （2）继续因式分解即可完成推导； （3）先根据和已知求得，再整体代入中进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵正数，满足，， ∴，， ∴， ∴． 25．【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以， 【尝试应用】 (1)利用材料中得到的等式计算：________； (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 (3)若，，且，，求的值． 【答案】(1)9800 (2) (3)的值为 【分析】（1）根据材料提示得到，由此即可求解； （2）根据立体图形体积的计算方法，分别算出甲、乙、丙的体积，再根据整式的混合运算计算即可求解； （3）运用完全平方公式变形得到，，结合（2）的计算方法得到原式，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积， 甲的体积为：， 乙的体积为：， 丙的体积为：， ∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 根据（2）的计算得到， 同理，， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第十二章整式的乘除因式分解（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7.(4x-y以 8.(a+3) 9.3(+)(x+)(-) 10.3 11.-11 12.a=1,b=-1(答案不唯一) 14.这三个整数是98、99、100. 15.121 16.-11 17.121236或361212或123612（答案不唯一） 18.10 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19.(1)解： 3x2-6y+x=x(3x-6y+1) (2) 9a2-(2b-c2 =(3a2-(2b-c2 =(3a+2b-c)(3a-2b+c) 20.(1)解.81(a+b-16(a-b} 答案第1页（共2页） =[9(a+b)]-[4(a-b)] =[9(a+b)-4(a-b)][9(a+b)+4(a-b)] =(9a+9b-4a+4b)(9a+9b+4a-4b) =(5a+13b)13a+5b) (2)解：(m2-2m)-3(mr2-2m）-4 =(m2-2m-4)(m2-2m+1） =(m2-2m-4)(m-1 21.(1)解： a2(m-n)+b2(n-m) =a2(m-n-b2(m-n) =(m-n)(a2-b2) =(m-n)(a+b)(a-b) 2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18 (2)解： ,看错一次项系数时，二次项系数与常数项正确， 原多项式的二次项为2x2,常数项为18， 2(x-2)x-4)=2x2-12x+16 ,看错常数项时，二次项系数与一次项系数正确， ∴.原多项式的一次项为-12x, .原多项式为2x2-12x+18, 2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2 将原多项式分解因式： 2.(1)解：因式分解16+8(x-)+x- 答案第2页（共2页） 设x-y=A,则原式可化为16+8A+2, 则16+8A+=(A+4 再把x-y=A代回，得到原式(x-y+4 9x2+6xy+y2-25 (2)解： =(3x+y2-25 =(3x+y)2-52 =(3x+y+5)(3x+y-5) (3)解：(+y-2x-2y+1=0 (x+y}-2(x+y)+1=0 设+y=B,则 B2-2B+1=0 (B-12=0 解得B=x+y=1 C=2(x+y)cm 因为长方形的周长 把x+y=1代入，得到C=2×1=2cm. 23.1)解：当=8y=8时，+少=8+8=128，+y=8+8=16,-y=8-8=0,将128,16， 时， 0这三个数值按从大到小的顺序排列， .生成的密码是128160： (2)r-y=x(x-y(x+) 答案第3页（共2页） 当x=21,y=7时，x=21,x-y=21-7=14,x+y=21+7=28,将28,21,14这三个数值按从大到小 的顺序排列， .生成的密码为282114. 24.(4)解：(a+八=d+3a×1+3axP+P=d2+3d+3a+1 (2)a'+b=(a+b)-3a'b-3ab2 =(a+b)'-3ab(a+b) =(a+b)(a+b2-3ab =(a+b)a2+2ab+b2-3ab） =(a+b(a2-ab+b2) (3)解：由(2)知+b=(a+ba-ab+b) 正数a,b满足a2+b2=7,ab=1, :(a+=d++2ab=7+1x2=9.a+b>0, .a+b=3, ,a3+b3=3×(7-1)=3×6=18 25.4解：…-广=(c+yx-) ,992-12=(99+1)×(99-1)=100×98=9800 故答案为：9800； (2)解：棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积 3-y3 甲的体积为：x(-=r(x-)=- 乙的体积为：xy(x-川=x-)=xy-gy2 答案第4页（共2页） 丙的体积为：yy(x-)=(x-)=g2-少 剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即(x-)+(x-)+y(x-)=(c-y2+gy+y） -少=(x-yx+y+y) 故答案为：(x-r++y） (3)解：x-y=2,y=1, :(x-y=x2-2y+y2=4 x2+y2=4+2y=4+2×1=6 +y=2+2w+y=(x+y）+2y=6+2x1=8,x>0,y>0, x+y>0.x+y=2V2 根据(2)的计算得到-y=(-++y） 同理，r+少=(6x+yr-9+y) x-y(x-y(x2+y+y2）2x(6+) 7 六(2+[e+2-g+y了22x6-1o. 答案第5页（共2页）