18.1分式及其基本性质（分层作业，16大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 18.1 分式及其基本性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 分式的判断 题型02 分式无意义的条件 题型03 分式有意义的条件 题型04 判断分式变形是否正确 题型05 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型06 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型07 约分 题型08 最简分式 题型09 最简公分母 题型10 通分 B组 能力进阶 题型01 分式值为0的条件 题型02 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型03 求使分式变形成立的条件 题型04 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型05 求使分式值为整数时未知数的整数值 C组 思维拔高 题型 分式的规律性问题 分式的判断题型01 1．下列各式是分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、是整式，不符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是整式，不符合题意； D、是分式，符合题意； 故选：D． 2．下列各式中,是分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式. 【详解】，，分母中均不含有字母,因此它们是整式，而不是分式，，，的分母中，，含有字母,因此是分式，共有3个.所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是知道分式是分母中含字母. 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下面是马小虎的答卷，他的得分应是（    ） 判断题（每小题分，共分） （1）代数式，是分式．（✔） （2）当时，分式无意义．（✔） （3）不是最简分式．（✗） （4）若分式的值为，则的值为．（✔） （5）分式中，的值均扩大为原来的倍，分式的值保持不变．（✗） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，分式无意义，分式的值为的条件，分式的基本性质，最简分式的含义，熟记以上基本概念与性质是解本题的关键． 【详解】解：代数式是整式不是分式，故错误， 小马虎回答错误； 当时，分式的分母为， 当时，分式无意义 故正确， 小马虎回答正确； 的分子、分母没有公因式，是最简分式， 故错误， 小马虎回答正确； 若分式的值为，则, 解得：， 故错误， 小马虎回答错误； 分式中，的值均扩大为原来的倍， 则新的分式为 分式的值扩大了倍， 故错误， 小马虎回答正确． 小马虎答对了道题，应得分分. 故选：B． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有_____，是整式的有_____ 【答案】 ①④⑤ ②③⑥ 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义解答即可． 【详解】解：分式为，，；整式为，，． 故答案为：①④⑤；②③⑥ 5．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程如下： 为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】略 分式无意义的条件题型02 1．若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为零成为解题的关键． 根据分式无意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：A． 2．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川广元·质检）已知分式 m，n为常数）满足如下表格中的信息，则表中的a值为（   ） x的取值 1 4 分式的值 无意义 0 a A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，分式无意义的条件，根据分式的分母为0时，分式无意义，求出的值，把代入分式，求出的值，在把代入分式，求出的值即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴， ∴， ∴当时，， ∴，解得：， ∴当时，； 故选D 4．已知当x=-2时，分式无意义，x=4时，此分式的值为0，则a+b=_____. 【答案】2 【分析】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义． 【详解】由分母x−a＝−2−a＝0则a＝−2． 由分子x−b＝0得4−b＝0，解得：b＝4． 所以a＋b＝−2＋4＝2． 故答案为2． 【点睛】分式分母的值为0时分式没有意义，要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 5．已知，x取哪些值时： (1)y的值是正数； (2)y的值是负数； (3)y的值是零； (4)分式无意义． 【答案】(1) (2)x＜或x＞2 (3)x＝2 (4)x＝ 【分析】（1）分式的值为正数，则分子、分母同号，列不等式组求解； （2）分式的值是负数，则分子、分母异号，列不等式组求解； （3）分式的值为0，则分子为0，分母不等于0； （4）分式无意义，则分母等于0． 【详解】（1）根据题意，得 或， 解得； （2）根据题意，得 或， 解得x＜或x＞2； （3）根据题意，得 ， 解得x＝2； （4）根据题意，得 3﹣4x＝0， x＝． 【点睛】本题考查了分数的取值范围，分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为正数，则分子、分母同号；分式的值为负数，则分子、分母异号． 分式有意义的条件题型03 1．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴． ∴ 故选A． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 2．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件分母不为0进行判断即可． 【详解】解：A、不论x取什么值，分母2x2+1＞0，分式有意义； B、当x=-0.5时，分母2x+1=0，分式无意义； C、当x=0时，分母x2=0，分式无意义； D、当x=-0.5时，分母2x+1=0，分式无意义． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义． 3．在函数y = 中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由分式的分母不为0，求出x的范围． 【详解】解：根据题意得，2x＋3≠0， ， 故答案为：． 【点睛】此题是函数自变量的取值范围题，主要考查了分式有意义的条件，分母不为0，解本题的关键是列出不等式． 4．x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零时分式有意义是解题的关键． （1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】（1）解：要使有意义， 得． 解得， 当时，有意义； （2）解：要使有意义，得． 解得， 当时，有意义； （3）解：要使有意义，得． 而对任意实数，， 所以，x为任意实数，有意义． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 【答案】(1)① (2)的值是或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“满分方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“满分方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令求出的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是或， 当时，， ∴①是“满分方程”，符合题意； 方程的解是， ， ∴②不是“满分方程”，不符合题意； 故答案为：①； （2）解：∵方程， ∴， 即或， 解得：或， ∴方程的解为或， 解一元一次方程得， 若， 则， 解得， 若， 则， 解得， 综上，的值是或； （3）解：方程， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， ∵分母不能为 0 ， ，， 即． 判断分式变形是否正确题型04 1．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案： 分式的分子分母都乘以﹣1，得. 故选D． 考点：分式的基本性质． 2．下列各式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质进行判断． 【详解】解：A、分式的分子、分母同时乘以3，分式的值不变，则成立； B、分式的分子、分母同时减2，分式的值发生改变，故不成立； C、分式的分子、分母同时平方，分式是值有可能改变，则不一定成立； D、分式的分子加2、分母乘以2，分式是值发生改变，则不成立； 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0的分数（或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键． 3．（25-26九年级下·辽宁抚顺·期中）下列式子中，从左往右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B．，变形正确，符合题意； C．当时，无意义，变形错误，不符合题意； D．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意． 4．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (2)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 (3)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (4)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 【分析】本题考查分式的基本性质， （1）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （2）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （3）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （4）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； 正确观察分式的分子与分母变化是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （2）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边； （3）∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （4）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边． 5．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 将分式的分子分母的最高次项化为正数题型05 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质和符号法则的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分母的负号移到分式前面即可； （2）分子、分母同乘以即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）直接将两个负号消掉即可； （2）将分子的负号移到分数线前面即可； （3）直接将两个负号消掉即可； （4）将分子和分母中的负号消掉即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 5．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可． 【详解】（1）解：原式＝； （2）原式＝ ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则． 将分式的分子分母各项系数化为整数题型06 1．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键． 2．（24-25八年级上·山东邹平·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 3．（24-25下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 4．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）_______． （2）_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的基本性质． （1）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以10，分式的值不变． （2）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以6，分式的值不变． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 5．系数化成整数且结果化为最简分式：=________． 【答案】 【分析】利用分式的性质，分子分母同乘100，再进行化简即可． 【详解】解：根据分式的基本性质得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘或都除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 约分题型07 1．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察分子、分母都是数字和字母的积，都是单项式，只需要找到分子、分母的公因式，约分即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了约分的定义与方法，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． 2．下列分式约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的约分首先将分子和分母进行因式分解，然后约去公共的因式 【详解】A． ，原变形错误， 不符合题意； B． ，原变形错误， 不符合题意； C．只有当时，原变形错误， 不符合题意； D． ，原变形正确， 符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键熟知分式的运算法则． 3．小张同学在化简分式时得到的结果为，部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测部分的代数式应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键. 【详解】将分式化简后得， . 部分的代数式为， 故选B. 4．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的约分，根据分式的基本性质对分式进行变形约分是解题的关键． （1）观察分式，找出分子和分母的公因式，进行约分即可； （2）观察分式，先对分子和分母进行因式分解，然后进行约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．已知，解关于的不等式． 【答案】当时，；当时， 【分析】分为和两种情况讨论，根据不等式的性质，结合因式分解，求出不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， ①当，即时， 不等式两边同除以，得； ②当，即时， 不等式两边同除以，得； 综上所述，当时，；当时，． 最简分式题型08 1．（24-25八年级下·山西晋城·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简分式的识别，分子和分母不含有公因式的分式叫做最简分式，据此可得答案． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 2．（2026·河南漯河·模拟）若代数式是最简分式，则表示的可以是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先利用平方差公式分解分子，再结合分式定义和最简分式定义，判断分母是否符合要求．最简分式要求分子分母没有公因式，且原式为分式要求分母含有字母． 【详解】解：首先对分子因式分解： ， 逐个判断选项： 对于A选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； 对于B选项：当时，分母为常数，原式不是分式，不符合题意； 对于C选项：当时，分母与分子的因式没有公因式，且分母含字母，原式是最简分式，符合题意； 对于D选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意． 3．下列各式中，最简分式有 _____个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 4．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）； (2)若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________； (3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________． ；；． 【答案】(1)② (2)4，， (3)或 【分析】本题考查因式分解，分式约分，“和谐分式”概念，解题的关键在于正确理解“和谐分式”概念． （1）根据“和谐分式”概念，逐个进行分析判断，即可解题； （2）根据“和谐分式”得到可以因式分解，进而得到的取值，再结合“和谐分式”不可约分进行分析，即可解题； （3）先将与因式分解，再结合“和谐分式”概念进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：①，分子分母不可因式分解，不是“和谐分式”； ②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”；③分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”； ④分子与分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”． 综上所述，是“和谐分式”的是②， 故答案为：②． （2）解：a为整数，且为“和谐分式”， 可因式分解， 则可以为： ，但其作为分母时，分式可约分，不是“和谐分式”， ， ， ， 当或或时，分解后，分式不可约分，是“和谐分式”， 故答案为：4，，； （3）解：由题知；； “和谐分式”不可约分， 构造的分式是“和谐分式”的有或， 故答案为：或． 最简公分母题型09 1．式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：式子的最简公分母是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南安阳·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】C 【分析】求几个分式的最简公分母时，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，根据这一条件即可得出答案．此题考查了最简公分母，求几个分式的最简公分母时，应注意将分母转化为最简式后再进行相乘． 【详解】解：A、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； B、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； C、与的最简公分母是，故本选项符合题意； D、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．对分式和进行通分，则它们的最简公分母为____． 【答案】6a2b2 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】解：分式和的最简公分母为6a2b2． 故答案为：6a2b2． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是知道确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是：． 故答案为：． 5．已知分式，．若是这两个分式分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了公因式和最简公分母，求分式的值，首先得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴两个分式分母的公因式，最简公分母为， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，． 通分题型10 1．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 2．已知，，则________． 【答案】 【分析】先对所求式子通分变形，再将已知条件整体代入求值． 【详解】解： 代入已知条件， ，得： ． 3．已知对于成立，则A=_________,B=__________． 【答案】 5 2 【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果. 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∴，解得. 【点睛】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键. 4．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1) ，； (2) ，． 【分析】找到各分式的最简公分母即可完成通分． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查通分．确定最简公分母是解题关键． 5．小强昨天做了一道分式题：“对下列分式通分：”．他的解答过程如下．请你指出他的错误，并改正． ，…① ．…② 【答案】 解：错误：①的最后结果不能进行去分母，②的通分过程中符号出现问题，并且不能进行去分母． 改正：， 【分析】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：（1）系数取各系数的最小公倍数；（2）凡出现的因式都要取；（3）相同因式的次数取最高次幂． 将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，找出最简公分母，再通分即可． 【详解】略 分式值为0的条件题型01 1．（24-25八年级上·广西南宁·月考）分式的值为0．则x的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．不存在这样的x 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ，， ， 故选：A． 2．当_______________时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子为零，且分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零 ∴且， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如果分式的值为零，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为零的条件可得，且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， ∴，且， 解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识，对于每个结论，利用分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件以及整数解的分析进行判断． 【详解】解：结论①：∵， ∴，即，故正确． 结论②：∵有意义， ∴，， ， ∴，，，故错误． 结论③：∵分式值为零 ∴且， ∴，故正确． 结论④：∵的值为整数， ∴为整数， ∴或或， ∴或或或或或， 又为整数， ∴或，共2个整数解，故正确． 结论⑤：当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意， ∴和，故错误． 故答案为∶ ①③④． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． （1）根据分式值为零的条件：分子为零，分母不为零，解答即可； （2）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：∵分式的值是， ∴且， ∴， ∴当时分式的值是零． （2）解：∵分式的值为正数， ∴或 不等式组①无解， 解不等式组②得：， ∴的取值范围是． 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围题型02 1．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 2．（24-25八年级下·河南新乡·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值______． 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查了分式的值为正数的条件，解题的关键是根据分式值为正的条件列出不等式求解． 根据分式值为正数的条件列出不等式，求出的取值范围，再在范围内取一个值即可． 【详解】根据题意可得：． 解得：． 那么在这个范围内任取一个值都满足条件，例如． 故答案为：3（答案不唯一，满足即可） 3．的值为正数的条件是___________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式的值，用到的知识点为：分式有意义，分母不为；一个数的平方为非负数；两数相除，同号得正． 易得分母为非负数，那么分式为正数，则应让分子大于，且分母不等于． 【详解】解：∵ ∴的值为正数应满足：且， 解得：且， 故答案为：且． 4．已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 5．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【分析】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【详解】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 求使分式变形成立的条件题型03 1．使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 2．在括号填入适当的整式，使等式成立：． 【答案】2x 【分析】设括号内的整式为W，则，根据分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以一个不为零的数和整式，分式的值不变，据此左边分式分子分母同时乘以2x即可得到答案. 【详解】解：设括号内的整式为W ∴ ∴左边分式分子分母同时乘以得： ∴ 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 3．利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入_______；            （2），括号内应填入_______； （3），括号内应填入_______；         （4），括号内应填入_______． 【答案】 x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）对于任意一个四位数，如果它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数为“勤思数”，记的各数位上的数字之和为． 若是“勤思数”，且，则四位数是____，， 均为“勤思数”，，，，且，，，，，均为整数），若 ，且为整数，则满足条件的所有的值和为___． 【答案】 1936 5453 【分析】本题考查了整式加减的应用、解二元一次方程组、分式的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用枚举法是解此题的关键． 对于第一部分，根据“勤思数”的定义和数字和条件，列方程求解得到四位数；对于第二部分，根据“勤思数”的定义和给定条件，推导出参数关系，通过枚举可能值并验证条件，得到唯一的值，求和即可． 【详解】解：第一部分：根据“勤思数”定义，有，即， 数字和，即， 联立，解得：，， 故四位数为1936． 第二部分：， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为4，个位数字为． 根据“勤思数”定义，有，， 数字和， ． ， ． 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，， 此时，则，不符合实际； 只有当，时，符合题意． ． ． 为整数，， ，解得． ， ． ． 只有这一种情况符合题意， 故答案为：1936，5453． 5．当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 利用分式的基本性质判断分式值的变化题型04 1．（25-26下·广东广州·期中）如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 【答案】A 【分析】根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的同时扩大为原来的2倍， 可得，即该分式的值扩大到原来的2倍． 2．把下列分式中，的值都同时扩大到原来的3倍，那么值保持不变的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，解题思路是将扩大后的代入各选项，计算得到新分式，和原分式对比，判断值是否不变． 【详解】解：将同时扩大到原来的3倍后，新的变量为和，分别代入各选项计算： A、，值变为原来的3倍，不符合要求； B、，值变为原来的，不符合要求； C、，值和原分式相等，保持不变，符合要求； D、，值变为原来的，不符合要求； ∴ 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）写出一个与相等的分式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质的应用． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，来构造一个相等的分式． 【详解】解：由分式的基本性质，将的分子和分母同时乘以2，得到， 由于乘以的整式2不为零，因此分式的值不变， 故与相等， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则_______k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，设，，求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成， ∴设，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 5．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍. 求使分式值为整数时未知数的整数值题型05 1．若表示一个整数,则整数a的取值可以有(　　) A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据3能整除的数，得到a+1的值，进而得到a的值. 【详解】∵3能被±1，±3整除， ∴a+1=±1，或a+1=±3， ∴a=0或﹣2或2或﹣4，共4个. 故选B. 【点睛】本题考查分式的整数值. 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·北京·月考）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式：_______； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为_______． 【答案】 2或6 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 4．（25-26七年级·山东济南·质检）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．如，这样的分式就是真分式，，这样的分式就是假分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如，． 根据材料，解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)或0或2或3 【分析】（1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据真分式的定义变形即可； （3）先把分式化为带分式，因为与均为整数，则或，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数为0，分母是一次式， ∴分子的次数小于分母的次数 ∴是真分式； （2）解：； （3）解：        ，       为整数， 为整数， 要使分式的值为整数， 必须为整数 或， 或0或2或3． 5．（24-25八年级下·江西 鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 分式的规律性问题题型 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）我们知道表示5的阶乘，即，易知，则________n为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据题干中所给的运算方法列式计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 2．“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【答案】正确. ， 故正确. 【分析】根据公式：，将分子、分母因式分解，再约分即可. 【详解】略 【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 3．（25-26八年级上·北京·期末）从“特殊到一般”是研究数学问题的一般思路，某兴趣小组探索：“任意一组都不为0的实数，当时，判断分式与的大小关系”，进行了如下的操作： (1)特殊化探索：找3组满足已知条件的具体的数进行验证、得到猜想． 填写下面的表格： ① ② ③ … … … … … … … 根据上面的计算结果，则有：____________（填“”“”或“”）； (2)一般化探索：任意一组都不为0的实数，当时，（1）中的结论是否还成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) 如表： ① 1 1 2 2 2 2 ② 2 1 4 2 3 3 ③ 1 2 2 4 … … … … … … … 根据上面的计算结果，则有：； (2) 成立，证明如下： ∵， ∴，即， ∴． 【分析】本题主要考查分式的性质、分式的加减运算等知识点，掌握相关定义和运算法则成为解题的关键． （1）采用特殊值法进行验证即可解答； （2）由，给左右两边同时加1，然后再进行运算化简即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 4．挑战自我，观察下面的一列数：，，，    …… （1）用只含一个字母的等式表示这一列数的特征； （2）利用（1）题中的规律计算： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据上述通分计算的过程，发现分母正好相差是1，所以结果中的分子应是1，即可得出结论； （2）先将各个分数写成的形式，再按照进行拆分，然后计算即可求解． 【详解】解：（1） （2） = = = 【点睛】本题考查了分式的通分，解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简便计算的目的． 5．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 18.1 分式及其基本性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 分式的判断 题型02 分式无意义的条件 题型03 分式有意义的条件 题型04 判断分式变形是否正确 题型05 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型06 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型07 约分 题型08 最简分式 题型09 最简公分母 题型10 通分 B组 能力进阶 题型01 分式值为0的条件 题型02 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型03 求使分式变形成立的条件 题型04 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型05 求使分式值为整数时未知数的整数值 C组 思维拔高 题型 分式的规律性问题 分式的判断题型01 1．下列各式是分式是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中,是分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下面是马小虎的答卷，他的得分应是（    ） 判断题（每小题分，共分） （1）代数式，是分式．（✔） （2）当时，分式无意义．（✔） （3）不是最简分式．（✗） （4）若分式的值为，则的值为．（✔） （5）分式中，的值均扩大为原来的倍，分式的值保持不变．（✗） A．分 B．分 C．分 D．分 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有_____，是整式的有_____ 5．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 分式无意义的条件题型02 1．若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 2．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川广元·质检）已知分式 m，n为常数）满足如下表格中的信息，则表中的a值为（   ） x的取值 1 4 分式的值 无意义 0 a A． B．2 C． D．1 4．已知当x=-2时，分式无意义，x=4时，此分式的值为0，则a+b=_____. 5．已知，x取哪些值时： (1)y的值是正数； (2)y的值是负数； (3)y的值是零； (4)分式无意义． 分式有意义的条件题型03 1．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 2．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．在函数y = 中，自变量x的取值范围是_______． 4．x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 判断分式变形是否正确题型04 1．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·辽宁抚顺·期中）下列式子中，从左往右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 5．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 将分式的分子分母的最高次项化为正数题型05 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号： (1)； (2)． 4．不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． (1) (2)． 将分式的分子分母各项系数化为整数题型06 1．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东邹平·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 4．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）_______． （2）_______． 5．系数化成整数且结果化为最简分式：=________． 约分题型07 1．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式约分正确的是（    ） A． B． C． D． 3．小张同学在化简分式时得到的结果为，部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测部分的代数式应该是（    ） A． B． C． D． 4．约分： (1)； (2)． 5．已知，解关于的不等式． 最简分式题型08 1．（24-25八年级下·山西晋城·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南漯河·模拟）若代数式是最简分式，则表示的可以是（     ） A． B．2 C． D． 3．下列各式中，最简分式有 _____个． ①；②；③；④； 4．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）； (2)若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________； (3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________． ；；． 最简公分母题型09 1．式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南安阳·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 3．对分式和进行通分，则它们的最简公分母为____． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为____． 5．已知分式，．若是这两个分式分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 通分题型10 1．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则________． 3．已知对于成立，则A=_________,B=__________． 4．通分： (1)与； (2)与． 5．小强昨天做了一道分式题：“对下列分式通分：”．他的解答过程如下．请你指出他的错误，并改正． ，…① ．…② 分式值为0的条件题型01 1．（24-25八年级上·广西南宁·月考）分式的值为0．则x的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．不存在这样的x 2．当_______________时，分式的值为零． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如果分式的值为零，那么___________． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围题型02 1．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南新乡·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值______． 3．的值为正数的条件是___________． 4．已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 5．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 求使分式变形成立的条件题型03 1．使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 2．在括号填入适当的整式，使等式成立：． 3．利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入_______；            （2），括号内应填入_______； （3），括号内应填入_______；         （4），括号内应填入_______． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）对于任意一个四位数，如果它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数为“勤思数”，记的各数位上的数字之和为． 若是“勤思数”，且，则四位数是____，， 均为“勤思数”，，，，且，，，，，均为整数），若 ，且为整数，则满足条件的所有的值和为___． 5．当取何值时，等式成立？ 利用分式的基本性质判断分式值的变化题型04 1．（25-26下·广东广州·期中）如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 2．把下列分式中，的值都同时扩大到原来的3倍，那么值保持不变的分式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）写出一个与相等的分式：________． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则_______k的代数式表示）． 5．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 求使分式值为整数时未知数的整数值题型05 1．若表示一个整数,则整数a的取值可以有(　　) A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 3．（24-25八年级上·北京·月考）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式：_______； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为_______． 4．（25-26七年级·山东济南·质检）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．如，这样的分式就是真分式，，这样的分式就是假分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如，． 根据材料，解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 5．（24-25八年级下·江西 鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 分式的规律性问题题型 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）我们知道表示5的阶乘，即，易知，则________n为正整数）． 2．“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 3．（25-26八年级上·北京·期末）从“特殊到一般”是研究数学问题的一般思路，某兴趣小组探索：“任意一组都不为0的实数，当时，判断分式与的大小关系”，进行了如下的操作： (1)特殊化探索：找3组满足已知条件的具体的数进行验证、得到猜想． 填写下面的表格： ① ② ③ … … … … … … … 根据上面的计算结果，则有：____________（填“”“”或“”）； (2)一般化探索：任意一组都不为0的实数，当时，（1）中的结论是否还成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． 4．挑战自我，观察下面的一列数：，，，    …… （1）用只含一个字母的等式表示这一列数的特征； （2）利用（1）题中的规律计算： 5．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $