10.2 分式的基本性质（题型专练，4基础&2提升题型+培优）数学新教材苏科版八年级下册

10.2 分式的基本性质 题型一 分式中字母的取值变化对分式值的影响 1．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来倍 C．不变 D．扩大到原来的9倍 2．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（　　） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 3．若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 4．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（　　） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 题型二 约分 1．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 2．化简，括号内应填（　　） A．6xy B．3y C．3xy D．3x 3．约分：　　 ． 4．约分： （1）； （2）． 题型三 最简分式 1．关于分式，下列说法正确的是（　　） A．化为最简分式等于 B．当x＝2时，分式的值为 C．当x＝2时，分式的值为零 D．当x＝2时，分式没有意义 2．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．将化为最简分式：　　 ． 4．在分式.，，，中，最简分式有　　 个． 题型四 通分 1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n） 2．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 3．与通分后的结果是 　 　 ． 4．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为　 ． 题型五 最简公分母 1．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（　　） A．x+5 B．x﹣5 C．（x+5）（x﹣5） D．6x 2．分式，的最简公分母是（　　） A．x2﹣y2 B．x2+xy C．（x2﹣y2）（x2+xy） D．x（x+y）（x﹣y） 3．分式和的最简公分母是　 ． 4．分式与的最简公分母是　 ． 题型一 利用分式的性质将系数化为整数 1．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 2．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正： ． 3．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 4．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 题型二 将分式的分子分母最高次项化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 3．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 4．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 1．若2，则 　 　 ． 2．约分 （1） （2）． 3．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　　 是和谐分式（填写序号即可）； ；；；④ （2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值； （3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：原式 小强：原式． 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　 ，请你接着小强的方法完成化简． 4．阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 分式的基本性质 题型一 分式中字母的取值变化对分式值的影响 1．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来倍 C．不变 D．扩大到原来的9倍 【答案】A 【分析】将x和y同时扩大3倍后代入分式，化简后与原分式比较即可解答． 【解答】解：将原分式中的x和y分别替换为3x和3y可得新分式为 ，即新分式是原分式的3倍， 所以分式的值扩大到原来的3倍． 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（　　） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 【答案】B 【分析】把x，y换为，代入所给分式化简后和原来分式比较即可． 【解答】解：新分式为：， ∴分式的值是原来的2倍． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，解决本题的关键是得到把相应字母的值变化后新分式的值，难度适中． 3．若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【解答】解：∵把分式中的x与y都扩大2倍， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 4．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（　　） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】分别用2026x和2026y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【解答】解：新分式为， ∴分式的值保持不变． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值的变化情况，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 题型二 约分 1．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据约分的约分法则计算，判断即可． 【解答】解：A、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； B、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； C、b﹣a，约分正确，符合题意； D、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 2．化简，括号内应填（　　） A．6xy B．3y C．3xy D．3x 【答案】C 【分析】先把分子分解因式，再约去公因式即可． 【解答】解： ∴括号内应填3xy． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的约分，熟练掌握因式分解是关键． 3．约分：　　 ． 【答案】． 【分析】利用约分的定义解答即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查的是约分，熟知约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分是解题的关键． 4．约分： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）分子分母都约去公因式2mn即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式（a﹣3b）即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分；确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． 题型三 最简分式 1．关于分式，下列说法正确的是（　　） A．化为最简分式等于 B．当x＝2时，分式的值为 C．当x＝2时，分式的值为零 D．当x＝2时，分式没有意义 【答案】D 【分析】利用约分对A选项进行判断；根据分式有意义的条件对B、C、D选项进行判断． 【解答】解：A． ，所以A选项不符合题意； B．当x＝2时，分式没有意义，所以B选项不符合题意； C．当x＝2时，分式没有意义，所以C选项不符合题意； D．当x＝2时，分式 没有意义，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了分式有意义的条件、分式的值为零的条件． 2．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，据此进行判断即可． 【解答】解：中，分子、分母有公因式3，则A不符合题意， 中，分子、分母有公因式x+1，则B不符合题意， 中，分子、分母有公因式x+1，则C不符合题意， 中，分子、分母没有公因式，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查最简分式，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．将化为最简分式：　　 ． 【答案】． 【分析】根据分式的基本性质进行约分即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的定义是关键． 4．在分式.，，，中，最简分式有　　 个． 【答案】3 【分析】根据最简分式的定义分别对每一个式子进行判断，即可得出答案． 【解答】解：，，是最简分式，的分子分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式． 故答案为：3． 【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 题型四 通分 1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n） 【答案】A 【分析】先确定两分式的最简公分母为2（m+n）（m﹣n），然后分式的分子分母都乘以2（m﹣n），从而可对各选项进行判断． 【解答】解：分式与的最简公分母为2（m+n）（m﹣n）， 所以分式分子分母都乘以2（m﹣n），此时分子变为6m2﹣6mn． 故选：A． 【点评】本题考查了通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分；通分的关键是确定最简公分母． 2．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 【答案】C 【分析】分式的分母a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 3．与通分后的结果是 　 　 ． 【答案】； 【分析】首先找出两个分式的最简公分母是（1﹣a）（a+1）2，由此根据分式的基本性质化为同分母分式即可． 【解答】解：； ． 故答案为：；． 【点评】此题主要考查分式的通分，关键是找出最简公分母． 4．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为　 ． 【答案】6y2，4x，3y 【分析】解题关键是找到最简公分母，然后再用最简公分母除以原分母，得出结果． 【解答】解：2x、3y2、4xy的最小公倍数为12xy2，12xy2÷2x＝6y2，12xy2÷3y2＝4x，12xy2÷4xy＝3y， 故依次填6y2，4x，3y． 【点评】最简公分母实际上就是求几个分母的最小公倍数． 题型五 最简公分母 1．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（　　） A．x+5 B．x﹣5 C．（x+5）（x﹣5） D．6x 【答案】C 【分析】利用平方差公式把x2﹣25因式分解，再根据最简公分母的定义解答． 【解答】解：x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）， 则与的最简公分母是（x+5）（x﹣5）， 故选：C． 【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2．分式，的最简公分母是（　　） A．x2﹣y2 B．x2+xy C．（x2﹣y2）（x2+xy） D．x（x+y）（x﹣y） 【答案】D 【分析】取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【解答】解：根据分式的最简公分母的定义可知： 分式，的最简公分母是x（x+y）（x﹣y）， 故选：D． 【点评】本题考查的是分式的最简公分母的确定，熟练掌握该知识点是关键． 3．分式和的最简公分母是　 ． 【答案】6a2b2． 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式与的分母分别是2a2b、3ab2， 故最简公分母是6a2b2． 故答案为：6a2b2． 【点评】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 4．分式与的最简公分母是　 ． 【答案】6a2b2c． 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【解答】解：∵3和6的最小公倍数是6，字母a，b，c的最高次幂的积为a2b2c， ∴分式和的最简公分母是6a2b2c． 故答案为：6a2b2c． 【点评】本题考查最简公分母的求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键． 题型一 利用分式的性质将系数化为整数 1．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 4．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 题型二 将分式的分子分母最高次项化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 3．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 1．若2，则 　 　 ． 【答案】 【分析】由2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由2，得x+y＝2xy 则． 故答案为． 【点评】解题关键是用到了整体代入的思想． 2．约分 （1） （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据约分的方法可以解答本题； （2）根据完全平方公式和平方差公式先对题目中式子的分子分母分解因式，即可解答本题． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确约分的方法． 3．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　　 是和谐分式（填写序号即可）； ；；；④ （2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值； （3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：原式 小强：原式． 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　 ，请你接着小强的方法完成化简． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题； （2）根据和谐分式的定义可以得到a的值； （3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题． 【解答】解：（1）不符合和谐分式的定义，故①不是和谐分式， ，故②是和谐分式， ，故③不是和谐分式， ，故④不是和谐分式， 故答案为：②； （2）∵分式为和谐分式，且a为整数， ∴a＝10，a＝6，a＝﹣6； （3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分找的是最简公分母， 故答案为：小强通分找的是最简公分母； 小强：原式． 【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答． 4．阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【答案】（1）减小，减小； （2）2； （3）﹣8． 【分析】（1）由、的变化情况，判断1、1的变化情况即可； （2）由2，即可求解； （3）由2，再结合x的取值范围即可求解． 【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小， ∴随着x的增大，1的值减小； ∵当x＜0时随着x的增大而减小， ∵1， ∴随着x的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）∵2， ∵当x＞1时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）∵5， 又∵0≤x≤2， ∴﹣13， ∴﹣8． 【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.2分式的基本性质 题型一分式中字母的取值变化对分式值的影响 题型二约分 基础达标题 题型三最简分式 题型四通分 题型五最简公分母 分式的概念 题型一利用分式的性质将系数化为整数 能力提升题 题型二将分式的分子分母最高次项化为正数 拓展培优题 A 基础达标题 题型一分式中字母的取值变化对分式值的影响 1.A 2.B 3.A 4.C 题型二约分 1.C 2.C 3. b2 a2 4.)架：(2) a3b 题型三最简分式 1.D 2.D 1/3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.品 4.3 题型四通分 1.A 2.C {aD2 5 5(a+1） 3. a2+2a+1 (1或a+12, (1-a+1)2 4. 6y2,4x,3y 题型五最简公分母 1.C 2.D 3.6a2b2. 4. 6a2b2c. B 能力提升题 题型一利用分式的性质将系数化为整数 10 1.x+20 2. 3&10 4+3 5x-7y 12a+3b 3. 2x+6 16a6b 4. 2a+5b a3b 题型二将分式的分子分母最高次项化为正数 1.D 2. Xx2 之 3. 山)-，2制 2/3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10x2y2 y2x 4.(1)(1) x+10:(2)~+;(3)①x=号，②x>号 拓展培优题 1.品 +y5 2.(1)4o:(2)对+5 3.见试题解答内容 4.(1)减小，减小，(2)2：(3)-8≤号≤号 3/3