18.3分式的加法与减法（分层作业，9大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 18.3 分式的加法与减法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 同分母分式的加减 题型02 异分母分式的加减 题型03 整式与分式的加减 B组 能力进阶 题型01 已知分式恒等式确定分子或分母 题型02 分式的加减混合运算 题型03 分式加减的实际应用 题型04 分式加减乘除混合运算 题型05 分式的化简求值 C组 思维拔高 题型 分式最值问题 同分母分式的加减题型01 1．（24-25八年级上·青海海东·期末）下列分式运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解∶A．，则原计算错误，不符合题意； B．，则原计算错误，不符合题意； C．，则原计算错误，不符合题意； D．，则原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（26-27八年级·河北沧州·月考）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 3．当时，计算：______． 【答案】2018 【分析】本题涉及分式的加减运算、平方差公式，通过分式加减法则化简式子，再代入求值．先根据同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式因式分解，最后约分，再代入求值． 【详解】 当时， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】此题主要考查同分母分式的减法运算，解题的关键是熟知分式的运算法则． 根据分式的运算法则化简求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 5．定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”， 理由如下： ， 与互为“平衡分式”． (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 异分母分式的加减题型02 1．计算的结果等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 2．相机成像运用的物理公式是：，表示相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示像到镜头的距离，若，则______．（用表示） 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握异分母分式的加减是解题的关键． 利用分式的运算法则，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2026·湖北·模拟）化简：_____． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．（24-25八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 5．（25-26八年级上·北京·期中）小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上曾讲过可以利用作差法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容由AI生成 作差法比大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 具体步骤可分为3步． 1．作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为和，计算． 2．变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与的关系（若差值为常数，此步可省略）． 3．判断：根据差值与的大小关系，得出结论： 若，则； 若，则； 若，则； 比如比较“”和“”，作差得，因此； 比较“”和“”作差得，因此． 通过学习，小云同学尝试解决下面三个问题： （1）比较和的大小； （2）已知，比较与的大小； （3）比较与． 利用作差法，小云成功解决了前两个问题，请你尝试并给出比较结果： （1）______； （2）时，_______． 第三个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢，聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”，以为例，． （3）请结合小云的思考完成第3个问题，并写出比较的过程：与． 【答案】（1）； （2）； （3），理由： ∵，， ， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、代数式的比较大小、不等式的性质，熟练掌握知识点是解决问题的关键； （1）利用作差法得到，从而得到； （2）利用作差法得，又利用得到，从而得到； （3）利用分子有理化得到，通分得到，从而得 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （3）略 整式与分式的加减题型03 1．若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法运算，整体代入求值，对等式合理的变形是解题的关键；先计算分式的减法，再整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ， ∴ 原式 ， 故选：． 2．计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的加法运算，解题的关键是正确进行通分． 4．（24-25八年级上·山东威海乳山·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【答案】(1) (2) ①解：小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小颖认为“该分式的值不可能为”； ②解：小颖的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为． 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①略 ②略 已知分式恒等式确定分子或分母题型01 1．（24-25八年级上·山东聊城·月考）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 2．若，，为常数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 3．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____． 【答案】0 【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵＝，且A、B为常数， ∴， ∴， 解得：， ∴A+3B＝3+3×(-1)=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键． 4．（24-25八年级上·广西北海·期中）已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查异分母分式的加减法，根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可． 【详解】解：， 由题意可知：， 解得：，． 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． (1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，请用含有和的式子表示． 【答案】(1)①非和谐分式　②， (2)，，， (3) 【分析】（1）①根据“和谐分式”的定义，通过分式拆分进行验证；②将分式拆分后的形式通分，通过“左右两边分子对应项的系数相等”建立二元一次方程组，求解得到待定系数； （2）先将分式变形为“整式+分子为常数的分式”，再利用“分子为常数时，分式值为整数则分母是分子的因数”，找出分母的所有可能取值，列方程求解整数； （3）对已知分式进行因式分解与变形，将、转化为只含和数字的式子，通过代数运算，最终得到与、的关系式． 【详解】（1）解：①由， 可知原式无法表示为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，是非和谐分式． 故答案为：非和谐分式； ②已知， 右边通分： ， 对比分子可得， 解得， 故，． 故答案为：，． （2）解：， 为整数，若分式为整数，则为整数，即是的因数， ， 解得， 故的值为，，，． （3）解：化简变形： ， ， ， ，即； 化简变形： ， ，即， 故， 即， 可得． 【点睛】本题考查分式的运算与变形，因式分解，整数性质应用，代数恒等变换，理解“和谐分式” 的定义是解题关键． 分式的加减混合运算题型02 1．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立． 2．化简的结果是__________ 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 3．（25-26八年级上·吉林辽源·期末）先化简，再从，，0，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式．当时，原式．当时，原式 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式加减混合运算，分式化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先将小括号里面的通分，再将除法转化为乘法计算，化为最简后，根据分式有意义的条件，得出a可以取，0，2，任取一个代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵且， ∴从，，0，1，2中，a可以取，0，2， 当时， 原式． 当时， 原式． 当时， 原式．(只需任取一个代入求值) 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 5．有两块小麦试验田，其中甲试验田是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为的正方形．去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦．为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收1号”和“丰收2号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为． (1)去年的单位面积产量为 ；（用含的代数式表示） (2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多．根据上述信息，请判断杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 解：设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为， ， ， ， 又， ，， “丰收1号”单位面积产量为：，“丰收2号”单位面积产量为：， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 即， ， 杂交后获得的“丰收1号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量． 又， ， ， ， ， 又， ，， ， 即， ， 杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量． 【分析】（1）本题考查了一元一次方程的应用和整式的混合运算，设去年的单位面积产量为，根据“两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦”列出表达式，根据解一元一次的方法和整式混合运算法则即可解题． （2）本题考查利用作差法比较两个分式的大小，设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为，根据“甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多”列不等式，得到，根据题意表示出“丰收1号”单位面积产量“丰收2号”单位面积产量，再与去年的单位面积产量进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：设去年的单位面积产量为， 根据题意可得：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 分式加减的实际应用题型03 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 2．（24-25八年级·辽宁大连·期末）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水：吨， 故选C． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末），用两种不同的方法比较的大小； （2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）． 【答案】（1）； 方法一：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 方法二：， ∵， ∴，，， ∴， ∴； （2）3；2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握分式运算法则． （1）用作差法和作商法比较大小即可； （2）根据写出一组符合题意的a、b的值即可． 【详解】解：（1）略 （2）当，时，，， ∵， ∴，符合题意． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 【答案】任务1：； 任务2：、； 任务3：选择乙购买方案 理由如下：∵甲均价元 乙均价元 ∴ ∴选择乙购买方案； 任务4：金额 【分析】本题考查了分式的混合运算，利用作差法，找出两分式的大小是解题的关键． 任务1：二者作差后，可得出，根据得出； 任务2：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，即可求出结论； 任务3：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，用含a,b的代数式表示出甲、乙两人两次买大米的均价，作差后，即可求解； 任务4：由任务3的结论，即可得出结论． 【详解】解：任务1： ∵， ∴ ∴ ∴ 任务2：∵第二次甲购买大米的金额为（元），乙购买大米的质量为（千克）， ∴甲两次买大米的均价为（元/千克），乙两次买大米的均价为（元/千克） 故答案为：、． 任务3：略 任务4：根据任务3的结论，得：任务3的素材4中习惯的人按相同金额加油更合算． 故答案为：金额． 分式加减乘除混合运算题型04 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是正确计算的前提．根据分式的混合运算的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．化简：（1+）÷结果为（　　） A．4x B．3x C．2x D．x 【答案】D 【详解】解：原式=（1+）× =+= =x 故选D. 3．（2025·四川成都·月考）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内计算，再计算除法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 分式的化简求值题型05 1．先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式= = =， ∵，且x≠0，x≠±2， ∴当x=-1时，原式=1. 故选B. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解题时要注意x的值要保证分式有意义． 2．已知，，代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则进行化简，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ． 故答案是：． 3． 先化简（-m-2）÷，然后从-2＜m≤2中选一个合适的整数作为m的值代入求值． 【答案】，． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在中选一个使得原分式有意义的整数作为m的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 分式的分母不能为0 解得 因此，从中选，代入得：原式．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 4．（25-26八年级上·期末）若，请从嘉嘉和淇淇的对话中（如图）确定的值，并对进行化简求值． 【答案】；0 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化简到最简，然后确定a，b的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ． ∵b是的立方根，a是不大于的最大整数， ∴， ∴原式． 5．代数式求值是在已知字母的值或限制条件下，求出给定代数式的值．为了方便求值，我们常常将所求代数式化简或把限制条件进行变形，再将变形后的条件代入化简后的代数式求值． 例如：当时，求的值． 为解决本道题，若直接把代入所求式子进行计算，计算量较大，我们可以通过对条件和所求式子变形，对本题进行解答： 解：∵∴ ∴， ∴． 方法一：∵，∴ ∴原式 方法二：∵，∴ ∴原式 …本题还有其它类似方法． 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）当时，____________． （2）当时，求的值． （3）当时，求的值． 【答案】（1）6；（2）2019；（3）4． 【分析】（1）模仿方法一，利用对多项式进行逐渐降次计算即可； （2）将、变形为，，先将代入化简可得原式，再将代入即可得出结果； （3）利用已知变形出，，再模仿（1）进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ =6； （2）∵， ∴， ∴ ∴ =2019， （3）∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ =4． 【点睛】本题考查了整体思想进行代数式求值，解题关键是等式性质对已知式进行变形，用整体代入法求值． 分式最值问题题型 1．（25-26八年级上·山东威海乳山·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)当时，分式取到最小值，最小值为 【分析】（1）将代入即可； （2），根据是的整数约数进行求值； （3），结合进行求值．注意验证取等． 【详解】（1）解：， ， 当且仅当（即）时取等号， 又，故， 因此，当时，式子取到最小值，最小值为； （2）解：； 若分式的值为整数， 则需为整数，即是的整数约数， 的整数约数有， 因此，，， 共个满足条件的整数； （3）解：， ， ， ， 当且仅当（即）时取等号， 又∵，故，即， 此时分式的最小值为； 因此，当时，分式取到最小值，最小值为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 18.3 分式的加法与减法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 同分母分式的加减 题型02 异分母分式的加减 题型03 整式与分式的加减 B组 能力进阶 题型01 已知分式恒等式确定分子或分母 题型02 分式的加减混合运算 题型03 分式加减的实际应用 题型04 分式加减乘除混合运算 题型05 分式的化简求值 C组 思维拔高 题型 分式最值问题 同分母分式的加减题型01 1．（24-25八年级上·青海海东·期末）下列分式运算正确的是（） A． B． C． D． 2．（26-27八年级·河北沧州·月考）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．当时，计算：______． 4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中． 5．定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 异分母分式的加减题型02 1．计算的结果等于（    ） A．0 B． C． D． 2．相机成像运用的物理公式是：，表示相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示像到镜头的距离，若，则______．（用表示） 3．（2026·湖北·模拟）化简：_____． 4．（24-25八年级上·北京·期末）计算：． 5．（25-26八年级上·北京·期中）小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上曾讲过可以利用作差法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容由AI生成 作差法比大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 具体步骤可分为3步． 1．作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为和，计算． 2．变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与的关系（若差值为常数，此步可省略）． 3．判断：根据差值与的大小关系，得出结论： 若，则； 若，则； 若，则； 比如比较“”和“”，作差得，因此； 比较“”和“”作差得，因此． 通过学习，小云同学尝试解决下面三个问题： （1）比较和的大小； （2）已知，比较与的大小； （3）比较与． 利用作差法，小云成功解决了前两个问题，请你尝试并给出比较结果： （1）______； （2）时，_______． 第三个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢，聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”，以为例，． （3）请结合小云的思考完成第3个问题，并写出比较的过程：与． 整式与分式的加减题型03 1．若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 2．计算：的结果是______． 3．计算：． 4．（24-25八年级上·山东威海乳山·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 已知分式恒等式确定分子或分母题型01 1．（24-25八年级上·山东聊城·月考）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若，，为常数，则的值为______． 3．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____． 4．（24-25八年级上·广西北海·期中）已知，求的值． 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． (1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，请用含有和的式子表示． 分式的加减混合运算题型02 1．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是__________ 3．（25-26八年级上·吉林辽源·期末）先化简，再从，，0，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 4．计算： (1)； (2)． 5．有两块小麦试验田，其中甲试验田是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为的正方形．去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦．为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收1号”和“丰收2号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为． (1)去年的单位面积产量为 ；（用含的代数式表示） (2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多．根据上述信息，请判断杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由． 分式加减的实际应用题型03 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·辽宁大连·期末）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末），用两种不同的方法比较的大小； （2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 分式加减乘除混合运算题型04 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．化简：（1+）÷结果为（　　） A．4x B．3x C．2x D．x 3．（2025·四川成都·月考）化简：________． 4．先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 分式的化简求值题型05 1．先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为（    ） A． B．1 C．0 D． 2．已知，，代数式的值为______． 3． 先化简（-m-2）÷，然后从-2＜m≤2中选一个合适的整数作为m的值代入求值． 4．（25-26八年级上·期末）若，请从嘉嘉和淇淇的对话中（如图）确定的值，并对进行化简求值． 5．代数式求值是在已知字母的值或限制条件下，求出给定代数式的值．为了方便求值，我们常常将所求代数式化简或把限制条件进行变形，再将变形后的条件代入化简后的代数式求值． 例如：当时，求的值． 为解决本道题，若直接把代入所求式子进行计算，计算量较大，我们可以通过对条件和所求式子变形，对本题进行解答： 解：∵∴ ∴， ∴． 方法一：∵，∴ ∴原式 方法二：∵，∴ ∴原式 …本题还有其它类似方法． 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）当时，____________． （2）当时，求的值． （3）当时，求的值． 分式最值问题题型 1．（25-26八年级上·山东威海乳山·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $