上海2026-2027学年高一上学期10月月考自编模拟数学试题

高一年级10月月考数学试卷 (集合与逻辑、等式与不等式考试时间：90分钟满分：100分) 姓名： 班级： 学号： 注意事项： 1.本试卷共三部分。答题前，请先将姓名、班级、学号填写在指定位置。 2.填空题将答案填写在题中的横线上，选择题将答案的选项字母填写在题后括号内。 3.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在每题下方的答题区域内作答。 一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分) 1.已知集合A={x∈ZI-2<x≤3}，用列举法表示A= 2.集合M={1,2,3,4,5}的非空真子集的个数为 3.“|x-1<2”是“x<3”的 条件（填“充分不必要“必要不充分“充要”或“既不充分也不必要”) 4.不等式3≥0的解集为 x+1 5.已知集合A={xIx2-3x+2=0},B={xIax-2=0},若B二A,则实数a的取值集合为 6.设a,b∈R,则a>b'是“a3>b3的 条件（填“充分不必要“必要不充分“充要”或“既不充分 也不必要”) 7.若关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是 8.已知命题VxeR,x2+2x+a≥0”是假命题，则实数a的取值范围是 9.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值为 10.已知x>1,则x+4的最小值为一，此时x= 11.已知关于x的不等式ax2+(a-1)x-1>0(a∈R)的解集为M,若-2EM且1￠M,则实数a 的取值范围是 12.对于实数集的非空子集A,若对任意xEA都有x2∈A,则称A是“平方封闭集”。下列集合中是“平 方封闭集”的序号为 （写出所有正确结论的序号)。①A1=[0,1]:②A2=[1,+0):③A3= {-1,0,1}:④A4=(1,2) 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分；每小题只有一个正确选项) 13.已知集合A={xIx2-x-6≤0}，B={xIx>a},若AUB=B,则() A.a<-2 B.a≤-2 C.a>3 D.a≥3 14.已知a,b∈R,则a>b是<的() A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 15.下列结论中，正确的是（) A.函数y=x+二的最小值为2 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第1页共2页 B.若a>0,b>0,且a+b=1,则+号的最小值为4 C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,则a2>b2 16.已知关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为{xI2<x<3},则不等式bx2-ax+1>0的解集 为() A.{xIx<或x>费 B.{xIx<-或x>-引 C.x< D.{xI-<x<-引 三、解答题（本大题共5小题，满分36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(5分)设全集U=R,集合A={xI-1≤x<3},B={x|2<x≤4}。 (1)求AUB与A∩B: (2)求(CuA)∩B。 18。(5分)(1)解不等式号≤1： (2)解关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a∈R)。 19.(8分)设集合A={x1x2-4x-5≤0}，B={x12a-1≤x≤3a+1。 (1)若A∩B=B,求实数a的取值范围： (2)若A∩B=,求实数a的取值范围； (3)设C={xIx2-(m+2)x+2m<0},若存在实数a使得AnB≠0且B∈C,求实数m的取 值范围。 20.(9分)阅读材料：用基本不等式可求某些式子的最值。例如，求y=x+生(x>0)的最小值： 因为x+生≥2x是4，当且仅当x=即x=2时取等号，所以最小值为4。 请模仿上述方法，解决下列问题： (1)求y=x+是(x>1)的最小值，并求此时x的值： (2)已知x>0,求y=器的最小值： (3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求+4的最小值，并求此时x、y的值。 1) 21.（9分)对于非空实数集S,若对任意x∈S,yES,都有x+yES,则称S为“可加集”。 （1)判断S1={x1x>0}与S2={0,1,2,3}是否为“可加集”，并说明理由； (2)设S为“可加集”，证明：0度S时，若x∈S,则2x∈S且-x度S: (3)设S是含3个元素的“可加集”，求S中所有元素之和的所有可能值： (4)设S={xIx=a+bV2,a,b∈Z,判断S是否为“可加集”。若S为“可加集，证明： n∈N*与任意x∈S,都有nx∈S。 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第2页共2页 对任意高一年级10月月考数学试卷 参考答案、评分标准及逐题解析 一、填空题（每小题4分，共48分） 1. . 3。 4. {-1,0,1,2,3} 30 充分不必要 {x|x<-1或x≥3} 5. 6. 7. 8. {0,1,2} 充要 {a|-1≤a<0或4<a fala<1} ≤5} 9. 10. 11. 12. 3+2V2 5;3 ①②③ 【填空题解析】 1.-2<x≤3中的整数有-1,0,1,2,3，故A={-1,0,1,2,3}。 2.含5个元素的集合共有25=32个子集，去掉自身与空集，非空真子集有32一2=30个。 3.x-1<2解得-1<x<3,可推出x<3;但x<3推不出-1<x<3(如x=-5)。 故为充分不必要条件。 4.≥0等价于(x-3)(x+1)≥0且x+1≠0，解得x<-1或x≥3。 5.A=1,2。B={x1x-2=0:a=0时B=0cA:a≠0时B=}令=1得a=2, 令2=2得a=1。故a∈{0,1,2}。 6.y=x3在R上单调递增，故a>b曰a3>b3,为充要条件。 7.(x-a)(x-2)<0,解集为a、2之间的开区间。当a<2时解集为(a,2),含2个整数曰 La=-1台-1≤a<0;当a>2时解集为(2，a),含2个整数→[al=5台4<a≤5。故 a∈[-1,0)U(4,5]。 8.原命题为假→存在x∈R使x2+2x+a<0台判别式4-4a>0台a<1。 9.+=+2x+)=3++号≥3+22。当且仅当兰=号时取等号，故最小值为3+ 2W2. 10.x>1,令t=x-1>0,则x+4=t++1≥24+1=5，当且仅当t=2即x=3 时取等号。故最小值为5，此时x=3。 11.M即f(x)=ax2+(a-1)x-1>0的解集。-2∈M且1EM即f(-2)>0且f(1)≤0： 由f(-2)=2a+1>0得a>-子，由f(1)=2(a-1)≤0得a≤1。故-号<a≤1。 12.①x∈[0,1]→x2e[0,1],成立；②x≥1→x2≥1，成立：③(-1)2=1,02=0,12= 1均在{-1,0,1}内，成立；④取x=1.5∈(1,2)，则x2=2.25度(1,2)，不成立。故填①②③ 二、选择题（每小题4分，共16分） 题号 13 14 15 16 答案 A D B A 【选择题解析】 13.A={xIx2-X-6≤0}={xI-2≤x≤3}。AUB=B台A∈B,即A中每个元素都大 于a,故a<-2(若a=-2,则x=-2不属于B,不合)。选A。 高一数学10月月考（市重点·加强版）参考答案第1页共4页 14.取a=1,b=-1:a>b但=1>-1=，不充分；取a=-1,b=1:<后但a<b, 不必要。既非充分也非必要，选D。 15.A错：y=x+只在x>0时≥2，且x<0时无最小值：B对：+号=(a+b)+月= 2++号之4，当a=b=取等；c错：c=0时两边相等：D错：取a=1,b=-2.则a> b但a2<b2。选B. 16.由解集(2,3)知2、3是x2-ax+b=0的根，故a=2+3=5,b=2×3=6。不等式 6x2-5x+1>0即(2x-1)(3x-1)>0,解得x<3或x>2。选A. 三、解答题（第17、18题各5分，第19题8分，第20、21题各9分，共36分） 17.(5分) 解： (1)由A={xI-1≤x<3},B={xI2<x≤4}，得 AUB={x|-1≤x≤4}：A∩B={xI2<x<3}。(2分) (2)CuA={xIx<-1或x≥3}， 所以(CuA)nB={xI3≤x≤4}。(5分) 18.(5分) 解： (1D移项得号-1≤0即≤0， x+3 等价于(x-4)(x+3)≤0且x+3≠0，解得-3<x≤4， 故解集为{x|-3<x≤4}。（2分) (2)方程x2-2x-3a2=0的两根为x=-a与x=3a。 当a>0时，-a<3a,解集为{x1-a<x<3a: 当a=0时，原不等式为x2<0,解集为0： 当a<0时，3a<-a,解集为{xI3a<x<-a。(5分) 19.(8分) 解：由x2-4x-5≤0得(x-5)(x+1)≤0，故A={x|-1≤x≤5}。 (1)由A∩B=B知BSA。 若B=0,则2a-1>3a+1,解得a<-2: 若B≠0，则2a-1≤3a+1,且2a-1≥-1,3a+1≤5，解得0≤a≤。 综上，a的取值范围是{aIa<-2或0≤a≤。(3分) (2)由AnB=0: 若B=0,即a<-2,此时A∩B=0成立： 若B≠0，即a≥-2，需3a+1<-1或2a-1>5。 由3a+1<-1得a<-:由2a-1>5得a>3。 综上，a的取值范围是{ala<-号或a>3人。(5分) 高一数学10月月考（市重点·加强版）参考答案第2页共4页 (3)x2-(m+2)x+2m<0即(x-m)(x-2)<0。B∈C与A∩B≠0同时成立，先看 C: 情形一：m<2,则C=(m,2)。由B=[2a-1,3a+1]∈(m,2)得m<2a-1且3a+ 1<2,即a<且a>m 。 要存在这样的a,需m:<子即m<一手此时取a充分接近号可使B与A=【1,5]相交， 满足A∩B≠D。 情形二：m>2,则C=(2,m。由Bc(2,m)得2a-1>2且3a+1<m,即a>且 a<"号 要存在a,需">多即m>兰：此时取aE,3)可使2a-1e(2,5]∈A,即AnB≠ 0。 综上，m的取值范围是{m1m<-专或m>》。(8分) 20.(9分) 解：(1)因x>1,故x-1>0,于是y=x+号=(x-1)+2+1≥ 2-)是+1=7 当且仅当x-1=即x=4时取等号，故y的最小值为7，此时x=4。(3分) (2)令t=V+1≥1，则x2=2-1,y=生=t+≥2E=4, 当且仅当t=2(此时x2=3,x=V3)时取等号，故y的最小值为4。(6分) (3)因x>0.y>0.x+y=1.放+=G+ce+》=+号+522层多+5= 9, 当且仅当兰=共且x+y=1,即x=y=时取等号， y 故+等的最小值为9，此时x=子y=子。(9分) 21.(9分) 解：(1)S1={xIx>0}是“可加集”：任取x>0,y>0,有x+y>0,故x+y∈S1 S2={0,1,2,3}不是“可加集”：取x=y=3,则x+y=6S2。（2分) (2)因S为可加集，对xES有x+x=2xES,且x+2x=3x∈S,. 用归纳法证：设kx∈S,则(k+1)x=kx+x∈S,故2x∈S。 反设-x∈S,则x+(-x)=0∈S,与0度S矛盾，故-x度S。(5分) (3)设S为含3个元素的“可加集”，记m=minS,M=maxS。 由m∈S得2m∈S,故2m≥m,即m≥0；由M∈S得2M∈S,故2M≤M,即M≤0。 所以m=M=0,即S={0,与S含3个元素矛盾。 故不存在含3个元素的“可加集”，S中所有元素之和无可能取值（为空集）。(7分) (4)S={a+bV21a,b∈Z是“可加集”：设x=a1+b1V2,y=a2+b2V2(a,b:∈Z), 高一数学10月月考（市重点·加强版）参考答案第3页共4页 则x+y=(1+a2)+(b1+b2)V2,其中a1+a2,b1+b2∈Z,故x+y∈S。 再证nxeS(n∈N*,xeS),对n用数学归纳法： n=1时1·x=x∈S;设kx∈S,则(k+1)x=kx+x∈S(由S的可加性)， 故对任意neN*都有nxeS。(9分) 附：命题双向细目表 题号 考查内容 分值 难度 1 集合的表示（列举法） 4 易 2 子集与真子集计数 易 3 充分条件与必要条件 易 4 分式不等式 4 中 5 集合包含关系（含参） 4 中 不等式性质与充要条件 中 辨析 7 含参一元二次不等式的 难 整数解 8 全称命题的否定与恒成 中 立 9 “1的代换”求最值 中 10 基本不等式（配凑） 中 11 含参不等式与解集的判 难 定 12 新定义“平方封闭集”的 难 判断（集合性质） 13 集合运算与参数范围 易 14 不等式性质与充要条件 中 15 基本不等式成立条件辨 中 析 16 一元二次不等式与韦达 中 定理 17 集合的交、并、补运算 5 易 18 分式不等式与含参二次 5 中 不等式 19 集合含参问题（空集讨 难 论、双条件) 20 基本不等式（配凑、换 元、1的代换”模仿探 究) 21 新定义"可加集”（判 9 难 断·证明·构造) 说明：全卷21题，满分100分。容易题约30分，中等题约31分，较难题约39分，整卷难度系 数约为0.55（压轴部分对标四校水平）。填空题48分、选择题16分、解答题36分。第12题 与第20题分属不同板块（集合新定义/基本不等式模仿探究），互不重复；第19、20、21题为 多小问压轴：19题考含参集合的空集讨论与双条件叠加，20题为“阅读一模仿”型基本不等式探 究（配凑、换元、“1的代换”)，21题为新定义“可加集”的判断、证明、构造与归纳，是主要区 分度所在。 高一数学10月月考（市重点·加强版）参考答案第4页共4页 高一年级10月月考数学试卷 （集合与逻辑、等式与不等式　考试时间：90分钟　满分：100分） 姓名：　　　　 班级：　　　　 学号：　　　　 注意事项： 1．本试卷共三部分。答题前，请先将姓名、班级、学号填写在指定位置。 2．填空题将答案填写在题中的横线上，选择题将答案的选项字母填写在题后括号内。 3．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在每题下方的答题区域内作答。 一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1．已知集合 ，用列举法表示 ________ 2．集合 的非空真子集的个数为________ 3．“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 4．不等式 的解集为________ 5．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为________ 6．设 ，则“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 7．若关于 的不等式 的解集中恰有 2 个整数，则实数 的取值范围是________ 8．已知命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是________ 9．已知 ，且 ，则 的最小值为________ 10．已知 ，则 的最小值为________，此时 ________ 11．已知关于 的不等式 （）的解集为 ，若 且 ，则实数 的取值范围是________ 12．对于实数集的非空子集 ，若对任意 都有 ，则称 是“平方封闭集”。下列集合中是“平方封闭集”的序号为________（写出所有正确结论的序号）。① ；② ；③ ；④ 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分；每小题只有一个正确选项） 13．已知集合 ，，若 ，则（　　） A． B． C． D． 14．已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 15．下列结论中，正确的是（　　） A．函数 的最小值为 2 B．若 ，，且 ，则 的最小值为 4 C．若 ，则 D．若 ，则 16．已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，满分36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分）设全集 ，集合 ，。 （1）求 与 ； （2）求 。 　 　 　 18．（5分）（1）解不等式 ； （2）解关于 的不等式 （）。 　 　 　 19．（8分）设集合 ，。 （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）设 ，若存在实数 使得 且 ，求实数 的取值范围。 　 　 　 　 　 　 20．（9分）阅读材料：用基本不等式可求某些式子的最值。例如，求 （）的最小值： 因为 ，当且仅当 即 时取等号，所以最小值为 4。 请模仿上述方法，解决下列问题： （1）求 （）的最小值，并求此时 的值； （2）已知 ，求 的最小值； （3）已知 ，，且 ，求 的最小值，并求此时 、 的值。 　 　 　 　 　 　 　 　 21．（9分）对于非空实数集 ，若对任意 ，，都有 ，则称 为“可加集”。 （1）判断 与 是否为“可加集”，并说明理由； （2）设 为“可加集”，证明： 时，若 ，则 且 ； （3）设 是含 3 个元素的“可加集”，求 中所有元素之和的所有可能值； （4）设 ，判断 是否为“可加集”。若 为“可加集”，证明：对任意 与任意 ，都有 。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一年级10月月考数学试卷 (集合与逻辑、等式与不等式考试时间：90分钟满分：100分) 姓名： 班级： 学号： 注意事项： 1.本试卷共三部分。答题前，请先将姓名、班级、学号填写在指定位置。 2.填空题将答案填写在题中的横线上，选择题将答案的选项字母填写在题后括号内。 3.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在每题下方的答题区域内作答。 一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1.已知集合A={x∈ZI-2<x≤3}，用列举法表示A= 2.集合M={1,2,3,4,5)的非空真子集的个数为 3.“|x-1<2”是“x<3”的 条件（填“充分不必要“必要不充分“充要”或“既不充分也 不必要”) 4.不等式≥0的解集为 5.已知集合A={xIx2-3x+2=0},B={xIax-2=0},若B≤A,则实数a的取值集合 为 6.设a,b∈R,则“a>b”是“a3>b3”的 条件（填“充分不必要“必要不充分“充要”或 “既不充分也不必要”) 7.若关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是 8.已知命题Vx∈R,x2+2x+a≥0”是假命题，则实数a的取值范围是 9.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值为 10.已知x>1,则x+的最小值为 ,此时x= 11.已知关于x的不等式ax2+(a-1)x-1>0(a∈R)的解集为M,若-2eM且1M, 则实数α的取值范围是 12.对于实数集的非空子集A,若对任意x∈A都有x2∈A,则称A是“平方封闭集”。下列集 合中是“平方封闭集”的序号为 (写出所有正确结论的序号)。①A1=[0,1]:②A2= [1,+o)；③A3={-1,0,1:④A4=(1,2) 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分；每小题只有一个正确选项） 13.已知集合A={xIx2-x-6≤0}，B={xIx>a,若AUB=B,则() A.a<-2 B.a≤-2 C.a>3 D.a≥3 14.已知a,bEeR,则a>b"是<的（） A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D,既不充分也不必要 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第1页共4页 15.下列结论中，正确的是（) A.函数y=x+三的最小值为2 B.若a>0,b>0,且a+b=1,则二+的最小值为4 C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,则a2>b2 16.已知关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为{xI2<x<3},则不等式bx2-ax+1> 0的解集为() A.{xIx<或x>引 B.{xIx<-或x>-引 C.{x<x<引 D.{xI-x<-引 三、解答题（本大题共5小题，满分36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(5分)设全集U=R,集合A={xI-1≤x<3},B={x12<x≤4}。 (1)求AUB与AnB: (2)求(CuA)∩B。 18.(5分)(1)解不等式2x≤1： x+3 (2)解关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(aER)。 19.(8分)设集合A={xIx2-4x-5≤0}，B={x12a-1≤x≤3a+1。 (1)若A∩B=B,求实数a的取值范围： (2)若A∩B=0,求实数a的取值范围： (3)设C={x1x2-(m+2)x+2m<0},若存在实数a使得AnB≠0且B二C,求实 数m的取值范围。 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第2页共4页 20.(9分)阅读材料：用基本不等式可求某些式子的最值。例如，求y=x+(x>0)的最 小值： 因为x+之≥2x:=4,当且仅当x=即x=2时取等号，所以最小值为4。 请模仿上述方法，解决下列问题： (1)求y=x+号(x>1)的最小值，并求此时x的值： (2)已知x>0,求y=票的最小值： (3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求+4的最小值，并求此时x、y的值。 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第3页共4页 21.(9分)对于非空实数集S,若对任意x∈S,yES,都有x+yES,则称S为“可加集”。 (1)判断S1={xIx>0}与S2={0,1,2,3}是否为“可加集”，并说明理由： (2)设S为可加集”，证明：0度S时，若x∈S,则2x∈S且-x￠S; (3)设S是含3个元素的“可加集”，求S中所有元素之和的所有可能值： (4)设S={x1x=a+bV2,a,bEZ},判断S是否为“可加集”。若S为“可加集”，证明： 对任意nEN*与任意x∈S,都有nxES。 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第4页共4页 高一年级10月月考数学试卷 （集合与逻辑、等式与不等式　考试时间：90分钟　满分：100分） 姓名：　　　　 班级：　　　　 学号：　　　　 注意事项： 1．本试卷共三部分。答题前，请先将姓名、班级、学号填写在指定位置。 2．填空题将答案填写在题中的横线上，选择题将答案的选项字母填写在题后括号内。 3．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在每题下方的答题区域内作答。 一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1．已知集合 ，用列举法表示 ________ 2．集合 的非空真子集的个数为________ 3．“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 4．不等式 的解集为________ 5．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为________ 6．设 ，则“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 7．若关于 的不等式 的解集中恰有 2 个整数，则实数 的取值范围是________ 8．已知命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是________ 9．已知 ，且 ，则 的最小值为________ 10．已知 ，则 的最小值为________，此时 ________ 11．已知关于 的不等式 （）的解集为 ，若 且 ，则实数 的取值范围是________ 12．对于实数集的非空子集 ，若对任意 都有 ，则称 是“平方封闭集”。下列集合中是“平方封闭集”的序号为________（写出所有正确结论的序号）。① ；② ；③ ；④ 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分；每小题只有一个正确选项） 13．已知集合 ，，若 ，则（　　） A． B． C． D． 14．已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 15．下列结论中，正确的是（　　） A．函数 的最小值为 2 B．若 ，，且 ，则 的最小值为 4 C．若 ，则 D．若 ，则 16．已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，满分36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分）设全集 ，集合 ，。 （1）求 与 ； （2）求 。 　 　 　 18．（5分）（1）解不等式 ； （2）解关于 的不等式 （）。 　 　 　 19．（8分）设集合 ，。 （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）设 ，若存在实数 使得 且 ，求实数 的取值范围。 　 　 　 　 　 20．（9分）阅读材料：用基本不等式可求某些式子的最值。例如，求 （）的最小值： 因为 ，当且仅当 即 时取等号，所以最小值为 4。 请模仿上述方法，解决下列问题： （1）求 （）的最小值，并求此时 的值； （2）已知 ，求 的最小值； （3）已知 ，，且 ，求 的最小值，并求此时 、 的值。 　 　 　 　 　 　 　 21．（9分）对于非空实数集 ，若对任意 ，，都有 ，则称 为“可加集”。 （1）判断 与 是否为“可加集”，并说明理由； （2）设 为“可加集”，证明： 时，若 ，则 且 ； （3）设 是含 3 个元素的“可加集”，求 中所有元素之和的所有可能值； （4）设 ，判断 是否为“可加集”。若 为“可加集”，证明：对任意 与任意 ，都有 。 　 　 　 　 　 　 　 　 高一数学10月月考（市重点·加强版） 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级10月月考数学试卷 参考答案、评分标准及逐题解析 一、填空题（每小题4分，共48分） 1． 2． 3． 4． 30 充分不必要 5． 6． 7． 8． 充要 9． 10． 11． 12． 3+2 5；3 ①②③ 【填空题解析】 1． 中的整数有 ，故 。 2．含 5 个元素的集合共有 个子集，去掉自身与空集，非空真子集有 个。 3． 解得 ，可推出 ；但 推不出 （如 ）。故为充分不必要条件。 4． 等价于 且 ，解得 或 。 5．。： 时 ； 时 ，令 得 ，令 得 。故 。 6． 在 上单调递增，故 ，为充要条件。 7．，解集为 、 之间的开区间。当 时解集为 ，含 2 个整数 ；当 时解集为 ，含 2 个整数 。故 。 8．原命题为假 存在 使 判别式 。 9．，当且仅当 时取等号，故最小值为 。 10．，令 ，则 ，当且仅当 即 时取等号。故最小值为 5，此时 。 11． 即 的解集。 且 即 且 ：由 得 ，由 得 。故 。 12．①，成立；②，成立；③，， 均在 内，成立；④取 ，则 ，不成立。故填①②③。 二、选择题（每小题4分，共16分） 题号 13 14 15 16 答案 A D B A 【选择题解析】 13．。，即 中每个元素都大于 ，故 （若 ，则 不属于 ，不合）。选 A。 14．取 ，： 但 ，不充分；取 ，： 但 ，不必要。既非充分也非必要，选 D。 15．A 错： 只在 时 ，且 时无最小值；B 对：，当 取等；C 错： 时两边相等；D 错：取 ，，则 但 。选 B。 16．由解集 知 、 是 的根，故 ，。不等式 即 ，解得 或 。选 A。 三、解答题（第17、18题各5分，第19题8分，第20、21题各9分，共36分） 17．（5分） 解： （1）由 ，，得 ；。（2分） （2）， 所以 。（5分） 18．（5分） 解： （1）移项得 ，即 ， 等价于 且 ，解得 ， 故解集为 。（2分） （2）方程 的两根为 与 。 当 时，，解集为 ； 当 时，原不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 。（5分） 19．（8分） 解：由 得 ，故 。 （1）由 知 。 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，且 ，，解得 。 综上， 的取值范围是 。（3分） （2）由 ： 若 ，即 ，此时 成立； 若 ，即 ，需 或 。 由 得 ；由 得 。 综上， 的取值范围是 。（5分） （3） 即 。 与 同时成立，先看 ： 情形一：，则 。由 得 且 ，即 且 。 要存在这样的 ，需 ，即 ；此时取 充分接近 可使 与 相交，满足 。 情形二：，则 。由 得 且 ，即 且 。 要存在 ，需 ，即 ；此时取 可使 ，即 。 综上， 的取值范围是 。（8分） 20．（9分） 解：（1）因 ，故 ，于是 ， 当且仅当 即 时取等号，故 的最小值为 7，此时 。（3分） （2）令 ，则 ，， 当且仅当 （此时 ，）时取等号，故 的最小值为 4。（6分） （3）因 ，，，故 ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号， 故 的最小值为 9，此时 ，。（9分） 21．（9分） 解：（1） 是“可加集”：任取 ，，有 ，故 。 不是“可加集”：取 ，则 。（2分） （2）因 为可加集，对 有 ，且 ，…… 用归纳法证：设 ，则 ，故 。 反设 ，则 ，与 矛盾，故 。（5分） （3）设 为含 3 个元素的“可加集”，记 ，。 由 得 ，故 ，即 ；由 得 ，故 ，即 。 所以 ，即 ，与 含 3 个元素矛盾。 故不存在含 3 个元素的“可加集”， 中所有元素之和无可能取值（为空集）。（7分） （4） 是“可加集”：设 ，（）， 则 ，其中 ，故 。 再证 （，），对 用数学归纳法： 时 ；设 ，则 （由 的可加性）， 故对任意 都有 。（9分） 附：命题双向细目表 题号 考查内容 分值 难度 1 集合的表示（列举法） 4 易 2 子集与真子集计数 4 易 3 充分条件与必要条件 4 易 4 分式不等式 4 中 5 集合包含关系（含参） 4 中 6 不等式性质与充要条件辨析 4 中 7 含参一元二次不等式的整数解 4 难 8 全称命题的否定与恒成立 4 中 9 “1的代换”求最值 4 中 10 基本不等式（配凑） 4 中 11 含参不等式与解集的判定 4 难 12 新定义“平方封闭集”的判断（集合性质） 4 难 13 集合运算与参数范围 4 易 14 不等式性质与充要条件 4 中 15 基本不等式成立条件辨析 4 中 16 一元二次不等式与韦达定理 4 中 17 集合的交、并、补运算 5 易 18 分式不等式与含参二次不等式 5 中 19 集合含参问题（空集讨论、双条件） 8 难 20 基本不等式（配凑、换元、“1的代换”模仿探究） 9 难 21 新定义"可加集"（判断·证明·构造） 9 难 说明：全卷21题，满分100分。容易题约 30 分，中等题约 31 分，较难题约 39 分，整卷难度系数约为 0.55（压轴部分对标四校水平）。填空题 48 分、选择题 16 分、解答题 36 分。第 12 题与第 20 题分属不同板块（集合新定义 / 基本不等式模仿探究），互不重复；第 19、20、21 题为多小问压轴：19 题考含参集合的空集讨论与双条件叠加，20 题为“阅读—模仿”型基本不等式探究（配凑、换元、“1 的代换”），21 题为新定义“可加集”的判断、证明、构造与归纳，是主要区分度所在。 高一数学10月月考（市重点·加强版）参考答案 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $