精品解析：上海市松江区第四中学2025-2026学年高一上学期第一次学期检测数学试卷

松江四中2025-2026学年高一上学期第一次学期检测数学试卷 （测试范围：沪教版2020新教材高一上集合与逻辑、等式与不等式） 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______. 2. 不等式的解集是_____________ ． 3. 已知集合，，且，则的值为________. 4. 用列举法表示集合_________. 5. 已知，则“若，则”是__________命题.（填“真”或“假”） 6. 用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设__________. 7. 设集合，则________． 8. 已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________. 9. 设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是________. 10. 已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则__________. 11. 已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 12. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项） 13. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 14. “且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知，记，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 16. 当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分．） 17. （1）已知，比较与的大小，并说明理由； （2）已知集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由． 18. 已知集合，，，实数集为全集． （1）求， （2）如果，求的取值范围． 19. 已知关于的不等式的解集为 （1）若求实数取值范围; （2）求解集 20. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若集合中有两个元素，求； （3）若，求实数的取值范围． 21. 已知集合为非空数集，定义：，． （1）若集合，直按写出集合、； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江四中2025-2026学年高一上学期第一次学期检测数学试卷 （测试范围：沪教版2020新教材高一上集合与逻辑、等式与不等式） 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的定义直接求解 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 2. 不等式的解集是_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 即或，解得. 所以不等式的解集为. 3. 已知集合，，且，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可. 【详解】解：因为，，， 所以，解得， 故答案为：0 【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题. 4. 用列举法表示集合_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得或，解之即可求解. 【详解】因为， 所以或，解得或0或2或3， 即. 故答案为： 5. 已知，则“若，则”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】根据，可判断. 【详解】因为等价于， 所以命题“若，则”是真命题. 故答案为：真. 6. 用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设__________. 【答案】x、y两个都大于0 【解析】 【分析】根据反证法证明命题的特征，否定命题的结论即可. 【详解】依题意，给定命题的结论是：x、y中至多有一个大于0，其否定为：x、y两个都大于0. 故答案为：x、y两个都大于0 7. 设集合，则________． 【答案】 【解析】 【详解】联立方程，解得或. 所以. 8. 已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 则不等式为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 9. 设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 10. 已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则__________. 【答案】##5.25 【解析】 【分析】韦达定理得，，把变形为，代入求值即可. 【详解】一元二次方程的两个实数根分别为、， 则有，， 所以. 故答案为：. 11. 已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 【答案】或 【解析】 【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 12. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项） 13. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解. 【详解】因为，故，故A正确； 对于选项B：因为，所以成立，故B正确； 对于选项C：成立，故C正确； 对于选项D：由可知，，故D错误. 故选：D. 14. “且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由且，则且，所以，即充分性成立； 由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立； 故“且”是“”的充分不必要条件； 故选：B 15. 已知，记，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差法比较代数式的大小. 【详解】，因为，所以，所以. 故选:B 16. 当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集是一个数域. 其中假命题的个数是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④. 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，，，故②正确； 对于③，对，，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中假命题的个数是1个. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分．） 17. （1）已知，比较与的大小，并说明理由； （2）已知集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题意得， 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，当时，；当时，； （2）存在，． 理由如下：因为，则， 若，则；若，则或. 当时，此时，不合题意； 当时，则，符合题意. 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明不等式即可. （2）由得，利用元素关系可先求出的值，再对的值逐个代入进行验证. 【详解】（1）略 （2）略 18. 已知集合，，，实数集为全集． （1）求， （2）如果，求的取值范围． 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的运算求解即可. （2）由得出，分类讨论，两种情况，由包含关系得出的取值范围． 【小问1详解】 因为集合，，所以. 因为或，所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，即，也即时，满足条件； 当时，由有，解得， 综上所述，的取值范围是. 19. 已知关于的不等式的解集为 （1）若求实数取值范围; （2）求解集 【答案】（1） （2） 当时，解集为空集. 当时，解集为. 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元一次不等式的解法求得. （2）根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由于，所以； 【小问2详解】 依题意 当时，不等式转化为，解集为空集. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 20. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若集合中有两个元素，求； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意. （2）借助判别式及韦达定理化简即可. （3）根据集合元素情况分类求解即可. 【小问1详解】 依题意，，由，得， 则，化简得，解得或， 当时，，满足， 当时，，满足， 所以或. 【小问2详解】 由集合中有两个元素，得方程有两个不等实根， 则，， 所以. 【小问3详解】 由，得，而且，， 当时，，解得； 当时，则，无解； 当时，则，解得； 当时，则，无解， 所以实数的取值范围为. 21. 已知集合为非空数集，定义：，． （1）若集合，直按写出集合、； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 由，所以中也只包含个元素， 又有， 故， 则剩下的元素满足，， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）结合所给定义，计算出集合、中所有元素即可得； （2）结合所给定义，根据集合相等的概念计算可以证明； （3）结合所给定义，计算可得，，再借助可得，又，计算可得，再构造集合，通过计算可得的最小值为，即可得的最大值. 【小问1详解】 由，故可能为，即； 可能为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合满足题意，且， 则， 所以，又，故， 因为，由容斥原理，， 所以最小的元素为，最大的元素为，所以， 即，解得， 实际上，当时满足题意； 证明如下：设， 则，则， 依题意可知，，即，所以的最小值为， 所以当时，集合中元素最多，即时满足题意， 综上，的最大值为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $