精品解析：内蒙古呼和浩特市秋实中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

秋实中学2025-2026学年第一学期初三数学学科限时作业 一、选择题（本题共8小题，共24分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它是轴对称图形，但不是中心对称图形； B、它既是轴对称图形，也是中心对称图形； C、它是中心对称图形，但不是轴对称图形； D、它是轴对称图形，但不是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 13名同学中至少有两名同学的生日在同一月 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C. 国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中 D. 同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件定义，垂径定理，两直线平行，同位角相等，掌握知识点是解题的关键． 根据必然事件定义，垂径定理，同位角，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．一年有12个月，13名同学时，根据鸽巢原理，至少有两名同学生日在同一月，即A为必然事件； B．当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，即B不是必然事件； C．投篮是否投中不确定，即C不是必然事件； D，只有当两直线平行时同位角才相等，即D不是必然事件． 故选A． 3. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，设半径为，在中，根据勾股定理，得到，即，解得，则该桨轮船的轮子周长为，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， ∴该桨轮船的轮子周长为． 故选D． 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车2025年4月份售价为25万元，6月份售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键. 利用某款燃油汽车2025年6月份的售价该款燃油汽车2025年4月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率的平方，据此列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：∵ 初始价格25万元，最终价格18万元，月平均降价率x， ∴ 两次降价后关系为． 故选B． 5. 如图，点A、B、C，D均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 由得到，根据三角形的内角和定理求出，因此根据圆周角定理得到，再根据圆的内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故选：C． 6. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二倍函数的定义、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，将函数问题转化为方程问题是解题的关键． 由两倍点定义，点满足纵坐标为横坐标的2倍，即，代入二次函数得方程，图象有唯一两倍点等价于方程有唯一解，即判别式为零，据此列方程求得c的值即可． 【详解】解：设两倍点为，代入得：， ∴， ∵图象有唯一两倍点， ∴方程有唯一实数解， ∴，解得：． 故选C． 7. 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，坐标与图形，三角函数，由菱形的性质及三角函数得，按的顺序4次一个循环，即可求解；能由旋转的性质、菱形的性质、三角函数求出旋转后对应点的坐标，找出规律是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ∴，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 由旋转得：， 同理可求：，，， 按的顺序次一个循环， ， 第2025次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 8. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．利用根与系数的关系表达和，代入t得到关于k的二次函数，结合判别式求k的范围，从而求t的最小值． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴ ∴① 由根与系数的关系： ， ， ∴ ． 该二次函数开口向上，对称轴为直线． 当时，取得最小值， 最小值为． 此时，符合． ∴t的最小值为， 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，共12分） 9. 如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm． 【答案】3 【解析】 【详解】解：根据题意，由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形的半径为r cm，则×πr＝2π×1， 解方程可得r＝3 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 10. 星期天小明与小辉打算从呼市的青城公园，满都海公园，小草公园，公主府公园个中任选一个进行游玩，则两人选中同一公园的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图求概率，画出树状图，由图可知两人独立选择公园，总共有种等可能结果，其中两人选择同一公园的结果有种，因此概率为 ． 【详解】解：画出树状图，如图所示： 由图可知，小明和小辉各自从个公园中选择一个， 所有可能的选择组合共有：种， 这些结果出现的可能性相等， 两人选中同一公园的情况有种（即同时选中青城公园、满都海公园、小草公园或公主府公园）， 所以概率为 ． 故答案为：． 11. 如图是嘉嘉在做物理实验时，记录下的电阻与电流的几组对应值，其中一个数值被墨水污染，则污染的数值应该是__________． R/Ω 1 2 3 4 I/A 6 2 1.5 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据，，，，则电阻与电流成反比例关系，且乘积为6，进而可求出答案． 【详解】解：∵，，，， 则电阻与电流成反比例关系， ∴则污染的数值应该是， 故答案为：3． 12. 如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的基本性质，等腰直角三角形的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过证得，得到与所成的角为，进而当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与所成的角为， ∴当时，有最小值，此时为等腰直角三角形， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本题共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ，， ， 14. 内蒙古自治区文化和旅游厅发布了10条精品旅游路线，某旅行社将其划分为四种旅游类型，具体类型划分如表． 旅游路线 品鉴美食之旅 千里风景运动之旅 金色沙漠穿越之旅 大兴安岭自驾之旅 康养休闲度假之旅 阿尔山森林之旅 现代草原发现之旅 黄河几字弯文化研学之旅 冰雪世界童话之旅 科尔沁探秘之旅 类型 A美食运动 B自然风光 C休闲度假 D文化研学 为了解民众对旅游类型的选择倾向，该旅行社从回民区随机抽取部分居民进行“最感兴趣旅游类型”调查（要求每人限选一种类型），并将调查结果绘制成如图统计图． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）估计回民区12000名居民中选择旅游类型C的人数； （2）该旅行社准备从甲、乙、丙、丁四名导游中，随机选取两人负责C类旅游路线的讲解工作，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙的概率； （3）请你根据统计图中的数据，分析呼和浩特市居民对旅游类型的选择倾向，并为该旅行社提出一条旅游车辆分配的合理化建议． 【答案】（1）4800 （2） （3） 解：由条线统计图可知，选择的居民较多，选择旅游的车辆按照分配． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键． （）用乘以选择C的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； （）根据条形统计图分析即可； 【小问1详解】 解：， 答：估计回民区名居民中选择旅游类型C的人数为4800名； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能性结果，其中恰好选中甲、乙的结果有种， ∴恰好选中甲、乙的概率为； 【小问3详解】 略 15. 如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． （1）在图中画出线段，； （2）求证：． 【答案】（1） 如图，线段，即为所求作： （2） 证明：由旋转性质得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的对应边相等得到是解答的关键． （1）根据题干描述，先根据旋转性质画线段，连接即可； （2）根据旋转的性质得，，再根据等边三角形性质得到，，则有，证明得到，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 17. 回民区秋实学校为举办校园文化节，计划在操场入口处搭建一个装饰性拱门．拱门形状为抛物线形，底部宽度为8米，最高点距地面6米．为稳固结构，需要在拱门内侧安装两条对称的支撑杆，支撑点位于距离拱门中心线2米处．同时，要在拱门顶部下方悬挂一幅文化节徽标，徽标中心距离地面5米． 已知条件 1．以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点在y轴上． 2．支撑杆与地面垂直，上端固定在拱门内侧，下端固定在地面． 3．徽标中心位于拱门中垂线上． 问题 （1）根据以上条件，求拱门抛物线的函数解析式． （2）计算支撑杆的长度 （3）学校宣传部要求徽标中心到拱门顶部的距离为1米，徽标为圆形，直径为米．判断当徽标悬挂后，其最高点是否会被拱门遮挡？请通过计算说明． （4）由于场地调整，拱门底部宽度需改为10米，但保持最高点高度不变．此时拱门的最大水平跨度（即拱门底部宽度）增加了多少百分比？新拱门的函数解析式是什么？ 【答案】（1） （2）支撑杆长度为米 （3）徽标最高点不会被拱门遮挡 （4）； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握知识点是解题的关键． （1）以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标为，且过点，设抛物线解析式为，将代入求解即可； （2）将代入解析式，求出y的值即可； （3）求出徽标最高点距地面的距离为（米），徽标在中垂线上，拱门在处的高度为6米，，则徽标最高点不会被拱门遮挡，即可解答； （4）根据题意求出增加百分比为，新拱门的顶点仍为，设新拱门解析式，由新拱门过点，代入求出的值即可． 【小问1详解】 解：以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图 由题意，抛物线顶点坐标为，且过点， 设抛物线解析式为，将代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 支撑杆支点距中心线2米，即， 当时， ， ∴支撑杆长度为米． 【小问3详解】 徽标中心距地面5米，到拱门顶部距离1米，徽标直径米，则徽标最高点距地面： （米） 徽标在中垂线上，拱门在处的高度为6米，． ∴徽标最高点不会被拱门遮挡． 【小问4详解】 跨度增加百分比： 原跨度8米，新跨度10米，增加量为米， 增加百分比：． ∵新拱门的顶点仍为， ∴设新拱门解析式， ∵新跨度10米，端点横坐标为5，即新拱门过点， ∴， 解得， ∴新解析式为． 18. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入求出h即可； （2）先根据平移规律写出平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入即可求出n； （3）先确定p，q关于对称轴对称，再设，则，，求得m与t的关系，利用二次函数的性质求得m的范围． 【小问1详解】 解∶∵二次函数（h为常数）的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数为． 【小问2详解】 原抛物线． 先向右平移n个单位，得： 再向上平移5个单位，得到： ∵平移后的图象经过原点， ∴ 解得：，， ∵， ∴不符合， ∴； 【小问3详解】 ∵点和在抛物线上，且纵坐标相等， ∴p，q关于对称轴对称或， ∵两点不同， ∴， ∴p，q关于对称轴对称． 设，则，． 将代入抛物线， 得：， ∴， 即， ∴， ∵， ∴ 解得： ∴且． ∴， 为二次函数，图象（如图）为抛物线，开口向下，对称轴为， 当时，最大为， 当时，， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秋实中学2025-2026学年第一学期初三数学学科限时作业 一、选择题（本题共8小题，共24分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 13名同学中至少有两名同学的生日在同一月 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C. 国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中 D. 同位角相等 3. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子周长为（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车2025年4月份售价为25万元，6月份售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C，D均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（本题共4小题，共12分） 9. 如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm． 10. 星期天小明与小辉打算从呼市的青城公园，满都海公园，小草公园，公主府公园个中任选一个进行游玩，则两人选中同一公园的概率为________． 11. 如图是嘉嘉在做物理实验时，记录下的电阻与电流的几组对应值，其中一个数值被墨水污染，则污染的数值应该是__________． R/Ω 1 2 3 4 I/A 6 2 1.5 12. 如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（本题共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2） 14. 内蒙古自治区文化和旅游厅发布了10条精品旅游路线，某旅行社将其划分为四种旅游类型，具体类型划分如表． 旅游路线 品鉴美食之旅 千里风景运动之旅 金色沙漠穿越之旅 大兴安岭自驾之旅 康养休闲度假之旅 阿尔山森林之旅 现代草原发现之旅 黄河几字弯文化研学之旅 冰雪世界童话之旅 科尔沁探秘之旅 类型 A美食运动 B自然风光 C休闲度假 D文化研学 为了解民众对旅游类型的选择倾向，该旅行社从回民区随机抽取部分居民进行“最感兴趣旅游类型”调查（要求每人限选一种类型），并将调查结果绘制成如图统计图． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）估计回民区12000名居民中选择旅游类型C的人数； （2）该旅行社准备从甲、乙、丙、丁四名导游中，随机选取两人负责C类旅游路线的讲解工作，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙的概率； （3）请你根据统计图中的数据，分析呼和浩特市居民对旅游类型的选择倾向，并为该旅行社提出一条旅游车辆分配的合理化建议． 15. 如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． （1）在图中画出线段，； （2）求证：． 16. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 17. 回民区秋实学校为举办校园文化节，计划在操场入口处搭建一个装饰性拱门．拱门形状为抛物线形，底部宽度为8米，最高点距地面6米．为稳固结构，需要在拱门内侧安装两条对称的支撑杆，支撑点位于距离拱门中心线2米处．同时，要在拱门顶部下方悬挂一幅文化节徽标，徽标中心距离地面5米． 已知条件 1．以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点在y轴上． 2．支撑杆与地面垂直，上端固定在拱门内侧，下端固定在地面． 3．徽标中心位于拱门中垂线上． 问题 （1）根据以上条件，求拱门抛物线的函数解析式． （2）计算支撑杆的长度 （3）学校宣传部要求徽标中心到拱门顶部的距离为1米，徽标为圆形，直径为米．判断当徽标悬挂后，其最高点是否会被拱门遮挡？请通过计算说明． （4）由于场地调整，拱门底部宽度需改为10米，但保持最高点高度不变．此时拱门的最大水平跨度（即拱门底部宽度）增加了多少百分比？新拱门的函数解析式是什么？ 18. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $