2026-2027学年北师大版九年级上册数学第一次月考重难点学情自测卷一（范围：第1-2章）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷一（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 4．设是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（     ） A．3 和 1 B．3 和 C． 和 D． 和 5．一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 6．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 8．在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，M，N为边，上的动点（不含端点），连接，，，若，，则的周长是（     ） A． B．2 C． D．3 10．已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 12．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 13．对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 14．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形．（只需添加一个即可） 15．如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 16．如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 17．已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 18．如图，四边形是正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，点是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，，则的面积为．其中正确的是__________．（将所有正确结论的序号填在横线上） 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 20．如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 22．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． (1)求的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 23．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，连接，，如图2所示，求的度数． 24．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)求车棚的长________；（用含x的代数式表示） (2)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 26．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷一（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 2．用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移常数项至等号右侧后，等式两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．设是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（     ） A．3 和 1 B．3 和 C． 和 D． 和 【答案】B 【分析】首先判断该方程有两个不相等的实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系得，，即可获得答案． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， ∴，即该方程有两个不相等的实数根， 由一元二次方程的根与系数的关系得，． 5．一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增长率（降价）模型列一元二次方程，解方程后结合实际意义舍去不合理的解，得到降价百分率． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意可得： ， 解得或， ∵降价的百分率不能大于1， ∴． 6．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需先表示出二月、三月的产量，再根据三个月总产量列方程. 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台，三月份产量为台， ∵一、二、三月份共生产200台， ∴可列方程. 7．如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】过点C作，设与l交于点F，根据平行线的性质求出，然后由矩形得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，设与l交于点F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，根据旋转的性质，可以得到点D的对应点第2028秒在第三象限且与点D关于原点对称，即可写出点D对应点的坐标． 【详解】解：如图，连接， 点在线段的垂直平分线上， ， 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 菱形绕点逆时针旋转，旋转速度为每秒， 菱形绕点每秒旋转一周， ，， 第2028秒时点的对应点在第三象限，与点关于原点对称， 此时点的对应点的坐标为． 9．如图，在正方形中，M，N为边，上的动点（不含端点），连接，，，若，，则的周长是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】延长到E，使得，连接，证明，，解答即可． 【详解】解：延长到E，使得，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和中， ， ∴， ∴， ∴的周长是， ． 10．已知点，为某图形边上的两个顶点，动点从点出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点，到达点后停止．设点运动的时间为，的面积为（当点与点或重合时，记作），若与的函数关系如图所示，则该图形可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象可得点在运动的过程中，的面积为会发生三次变化，且变化规律是：第一次变化是从0逐步增大，第二次变化是保持不变即意味着此时点所在的边与原图形的底边一定平行，第三次变化是逐步减小，减小到0，说明点P在运动过程中，要经历两个拐点，且三次运动时间相同．分析解答即可． 【详解】解：选项：点在运动的过程中，的面积为发生了二次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到点，逐步减小，减小到0，没有保持不变的变化过程，故该选项不符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，从点到第二个顶点是第一次变化，从0逐步增大，第二次变化是从第二个顶点到第三个顶点，保持不变，第三次变化是从第三个顶点到点，逐步减小，减小到0，且三次运动时间相同，满足函数的图象，故该选项符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了四次变化，不满足函数的图象，故该选项不符合要求． 选项：点在运动的过程中，的面积为发生了三次变化，点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积相等；点在上运动的过程中，面积不变；但是，三次变化的运动时间不相同，不满足函数的图象， 故该选项不符合要求． 二、填空题（共16分） 11．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半，代入计算化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：菱形的面积为． 12．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 13．对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 【答案】 或 【分析】根据定义新运算的法则，解方程即可． 【详解】解：依题意得， ， ， 或， 解得或． 14．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形．（只需添加一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】根据四边相等的四边形是菱形或对角线相互垂直平分的四边形是菱形，添加相应条件即可． 【详解】解：添加， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 添加， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形． 15．如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，，然后证明四边形是平行四边形，然后结合勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∵，即， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 16．如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 17．已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 【答案】 【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根 ， ∴由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵， ∴， ∴， 将，代入上式得， 解得， 此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件， 因此的值为． 18．如图，四边形是正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，点是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，，则的面积为．其中正确的是__________．（将所有正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质证明，得到，，即可判断①；设与交于点G，利用三线合一性质即可判断②；利用三角形内角和定理即可判断③；连接，求出，然后利用三角形中线的性质即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，故①正确； ∵点是的中点， ∴，故②正确； ∴， 设与交于点G，如图， ∵，， ∴，故③正确； 连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的是①②③④． 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，. （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，. 20．如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2)48 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，，由菱形的性质得到，根据勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴菱形的面积． 21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)2011 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴， ∴ ． 22．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． (1)求的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】(1) (2)的整数值为， 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于列不等式求解； （2）利用根与系数的关系得到两根和与两根积，代入已知不等式，结合（1）的取值范围确定整数解． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得． （2）解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， 解得． 结合（1）的结论，得， 的整数值为，． 23．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，连接，，如图2所示，求的度数． 【答案】(1)解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴与平行，与平行， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到与平行，与平行，则由平行线的性质和角平分线的定义可推出，则可证明，据此可证明平行四边形是菱形． （2）连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图2所示，连接， 由（1）得四边形是菱形， ∴，与平行， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 24．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)求车棚的长________；（用含x的代数式表示） (2)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的长为，宽为； (3)解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【分析】（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边各需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； （3）略 25．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 26．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2) 解：成立，理由： 由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即； 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； (3)5 【分析】（1）由正方形的性质可得四边相等，四个角都为直角，且，易证，再由全等三角形对应边相等即可求证； （2）由（1）可得与，再推导得出，由可得，所以，进而得出结论； （3）作垂线构造正方形，套用 (2) 结论，设未知数，由勾股定理列出方程，再求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3） 过点作，交延长线于点，取，连接． ∵，，， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形，； 由（1）（2）模型结论：， ∵， ∴， 设，则， 即， 在中，有勾股定理， 即， ∴解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $