2026-2027学年人教版 九年级数学上册月考模拟测试卷-

九年级数学上册月考模拟测试卷--2026-2027学年度第一学期人教版（2024） （一元二次方程·二次函数） 满分：120分 时间：120分钟 姓名：__________ 班级：__________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A．ax²﹣2x+3＝0 B．x²+9＝0 C．mx²+x²＝1 D．x²+2y+6＝0 2．将一元二次方程 x²+4x+3＝0 配方后可得到方程（ ） A．(x+2)²＝1 B．(x+2)²＝﹣1 C．(x﹣2)²＝1 D．(x+1)²＝2 3．若关于x的一元二次方程 (m﹣1)x²﹣mx+1＝0 有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．已知点 A(﹣3, y₁) 和点 B(2, y₂) 在抛物线 y＝x²﹣4x+3 上，则 y₁, y₂ 的大小关系是（ ） A．y₁＞y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁＜y₂ D．无法确定 5．某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A．100(1﹣x)²＝81 B．100(1+x)²＝81 C．100(1﹣2x)＝81 D．81(1+x)²＝100 6．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．下列结论中正确的是（ ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量x的取值范围是0≤x≤30 C．当x＝5时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 7．一次函数 y＝ax+c 和二次函数 y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 8．如表中列出了二次函数 y＝ax²+bx+c 的一些对应值，则一元二次方程 ax²+bx+c＝0 的一个负解的范围是（ ） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 ﹣1 ﹣4 ﹣3 0 5 12 A．﹣3＜x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．0＜x＜1 9．已知二次函数 y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线 x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当 y＜0 时，x＜﹣1 或 x＞3．其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 10．已知二次函数 y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1, 0），对称轴为直线 x＝1，下列结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④a+b≤m(am+b)（其中m≠1）；⑤b﹣c＞0．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．关于x的一元二次方程 x²+3x+k＝0 有一个根为 x＝2，则 k 的值为__________． 12．抛物线 y＝ax²+bx+c 交x轴于（﹣3，0）（1，0），则方程 ax²+bx+c＝0 的根为__________． 13．已知二次函数 y＝x²﹣4x+3，则当 0≤x≤5 时，y 的最大值与最小值的差为__________． 14．已知直线 y＝x+m 与抛物线 y＝x²﹣2x 存在两个交点，横坐标分别为 x₁，x₂，直线与y轴交点的横坐标为0，并且 x₁+x₂＝x₁·x₂，若 m＜0，则 m 的值为__________． 15．一段抛物线：y＝﹣x(x﹣2)（0≤x≤2）记为C₁，它与x轴交于两点O，A₁；将C₁绕A₁旋转180°得到C₂，交x轴于A₂；将C₂绕A₂旋转180°得到C₃，交x轴于A₃；……如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则 m＝__________． 三、解答题（共75分） 16．（本题满分20分，每小题5分）用适当的方法解下列方程： （1）x²﹣2x﹣2＝0； （2）3x(x﹣1)＝2(x﹣1)； （3）x²﹣2x+1＝25； （4）(x﹣3)²+2x(x﹣3)＝0． 17．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线 y＝ax²+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线 x＝t． （1）若 m＝n，求 t 的值； （2）若 c＜m＜n，求 t 的取值范围． 18．（本题满分8分）某网店销售一种农产品，每袋进价25元，售价为每袋40元，二月份销售192袋，三、四月该商品销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？ 19．（本题满分10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，它的图象如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若商场销售该服装获得利润为 w 元，试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ （3）若商场要使获得利润不低于500元，试确定销售单价 x 的范围． 20．（本题满分10分）已知抛物线 y＝x²+bx+c 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 OA＝2，OC＝3（点A在点B左侧，点C在y轴正半轴）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点P是x轴上的一个动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标． 21．（本题满分10分）如图，抛物线的顶点为D，其坐标为（1，﹣4），抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知 OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AC，CD，判断△ACD的形状； （3）若点P是第一象限内抛物线上的动点，连接AP和CP，求△ACP面积的最大值． 22．（本题满分10分）某校在元旦活动时布置教室，如图1，教室两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线 y＝ax²﹣x+3 的彩带，如图2，已知 AB＝CD，BD＝6米． （1）如图2，两墙AB、CD的高度是多少米，抛物线的顶点坐标为多少； （2）如图3，为了避免彩带太低影响人员走动且考虑美观，现把彩带从点M、N处用细线吊在天花板上，形成抛物线F₁，F₂，F₃；点M到墙AB距离为2.5米，抛物线F₁的最低点距墙AB的距离为2米且离地面2米，求点M到地面的距离． 23．（本题满分12分）如图，抛物线 y＝﹣x²+bx+c 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点． （1）求二次函数的关系式； （2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D． ①在线段MB上是否存在点P，使△PCD的面积最大．如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由； ②在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．D 7．B 8．A 9．C 10．B 二、填空题 11．﹣10 12．x₁＝﹣3，x₂＝1 13．10 14．﹣3 15．﹣1 三、解答题 16．（1）x₁＝1+，x₂＝1﹣； （2）x₁＝1，x₂＝ ； （3）x₁＝6，x₂＝﹣4； （4）x₁＝3，x₂＝1． 17．（1）∵ M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线上，且 m＝n， ∴ 对称轴 x＝t＝ ＝1． （2）∵ a＞0，抛物线开口向上，对称轴为 x＝t， 点M（﹣1，m），N（3，n），且 c＜m＜n， ∴ 点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， 即 |t﹣(﹣1)|＜|3﹣t|，且 t＜1（因为m＜n，M离对称轴更近）， 解得 t＜1．又 c＜m，点（0，c）在M下方，∴ t＞﹣0.5， 综上，﹣0.5＜t＜1． 18．（1）设三、四月销售量的月平均增长率为x， 则 192(1+x)²＝300，解得 x₁＝0.25＝25%，x₂＝﹣2.25（舍去）． 答：月平均增长率为25%． （2）设每袋降价 y 元，由题意得： (40﹣y﹣25)(300+5y)＝3250， 整理得 y²﹣45y+200＝0，解得 y₁＝5，y₂＝40． ∵ 降价后售价不低于进价，∴ 40﹣y≥25，即 y≤15，∴ y＝5． 答：每袋降价5元时，五月份可获利3250元． 19．（1）设 y＝kx+b，由图象过（65，55）和（75，45）， 得 65k+b＝55，75k+b＝45，解得 k＝﹣1，b＝120， ∴ y＝﹣x+120． （2）w＝(x﹣60)y＝(x﹣60)(﹣x+120)＝﹣x²+180x﹣7200＝﹣(x﹣90)²+900． ∵ 销售单价不低于成本，且获利不得高于45%， ∴ 60≤x≤60×(1+45%)＝87， ∵ 抛物线开口向下，对称轴 x＝90，在60≤x≤87上w随x增大而增大， ∴ 当 x＝87 时，w最大＝﹣(87﹣90)²+900＝891（元）． （3）令 w≥500，即 ﹣(x﹣90)²+900≥500，(x﹣90)²≤400， 解得 70≤x≤110，又 60≤x≤87，∴ 70≤x≤87． 20．（1）∵ OA＝2，点A在点B左侧，∴ A（﹣2，0）， ∵ OC＝3，点C在y轴正半轴，∴ C（0，3）， 将A（﹣2，0），C（0，3）代入 y＝x²+bx+c， 得 4﹣2b+c＝0，c＝3，解得 b＝3.5，c＝3， ∴ y＝x²+3.5x+3，顶点 D（﹣1.75，﹣0.0625）． （2）令 y＝0，x²+3.5x+3＝0，解得 x₁＝﹣2，x₂＝﹣1.5，∴ B（﹣1.5，0）， AB＝0.5，AC＝＝，BC＝＝， ∵ AC²＝13，AB²+BC²＝0.25+11.25＝11.5≠13， △ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角）． （3）C（0，3）关于x轴的对称点为 C′（0，﹣3）， 连接 C′D 交x轴于P，此时△PCD周长最小， 直线 C′D 的解析式为 y＝(﹣0.0625+3)(﹣1.75﹣0) x﹣3 ≈ ﹣1.679x﹣3， 令 y＝0，得 x≈﹣1.787，∴ P（﹣1.79，0）（精确值需计算）． 21．（1）设抛物线 y＝a(x﹣1)²﹣4，∵ OB＝OC，C在y轴负半轴（顶点在下方）， 设 B（b，0），C（0，﹣b），代入得 a(b﹣1)²﹣4＝0，a﹣4＝﹣b， 解得 a＝1，b＝3，∴ y＝(x﹣1)²﹣4＝x²﹣2x﹣3． （2）A（﹣1，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）， AC＝，CD＝，AD＝＝2， ∵ AC²+CD²＝10+2＝12≠20，AC²+AD²＝10+20＝30≠2， CD²+AD²＝2+20＝22≠10，△ACD为钝角三角形． （3）设 P（t，t²﹣2t﹣3），t＞0 且 t²﹣2t﹣3＞0 即 t＞3， S△ACP＝S△AOC+S梯形OCPQ﹣S△APQ（用割补法）， ＝ ×1×3+ ×(3+t²﹣2t﹣3)×t﹣ ×(t+1)(t²﹣2t﹣3) ＝﹣ t²+2t+ ＝﹣ (t﹣2)²+3.5， ∵ t＞3，在 t＞3 时S随t增大而减小，无最大值（当t→3时S→3）． （注：若P在第一象限且在抛物线上，需 t＞3，此时面积单调递减，最大值趋近于3） 22．（1）∵ BD＝6，抛物线 y＝ax²﹣x+3 关于 x＝ 对称， 由对称性，B（0，0），D（6，0），抛物线过B、D， 代入 x＝0，y＝3，∴ AB＝CD＝3米， 代入 x＝6，36a﹣6+3＝0，解得 a＝ ， ∴ y＝ x²﹣x+3＝ (x﹣6)²，顶点（6，0）． （2）抛物线F₁的最低点距AB为2米且离地面2米，即顶点为（2，2）， 设 F₁：y＝a₁(x﹣2)²+2，过M（2.5，h）， 由F₁与原抛物线在M处衔接，M在原抛物线上： h＝ (2.5)²﹣2.5+3＝ +0.5≈1.021米． 答：点M到地面的距离约为1.02米． 23．（1）将 B（3，0），C（0，3）代入 y＝﹣x²+bx+c， 得 ﹣9+3b+c＝0，c＝3，解得 b＝2，c＝3， ∴ y＝﹣x²+2x+3． （2）顶点 M（1，4），A（﹣1，0），B（3，0）， 直线 MB：y＝﹣2x+6，设 P（t，﹣2t+6），1≤t≤3， D（t，0），PD＝﹣2t+6， ① S△PCD＝ ×PD×OD＝ ×(﹣2t+6)×t＝﹣t²+3t＝﹣(t﹣1.5)²+2.25， 当 t＝1.5 时，S最大＝2.25，此时 P（1.5，3）． ② △PCD为直角三角形，分三种情况： （i）∠PDC＝90°：PD⊥CD，PD⊥x轴，CD也需⊥x轴，不可能； （ii）∠CPD＝90°：PC⊥PD，PD⊥x轴，∴ PC∥x轴，P的纵坐标＝C的纵坐标＝3， ∴ ﹣2t+6＝3，t＝1.5，P（1.5，3）； （iii）∠PCD＝90°：PC⊥CD，k_PC×k_CD＝﹣1， kPC＝＝ ，kCD＝＝﹣， ∴ ×(﹣)＝﹣1，解得 t＝ 或 t＝ （舍去，不在1≤t≤3）， 综上，P（1.5，3）或 P（ ，3﹣）． 学科网（北京）股份有限公司 $