专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式12大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式12大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【解答过程】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意建立不等式模型即可. 【解答过程】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 3．（25-26高一上·湖南株洲·期中）如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知条件及矩形面积公式即可求解. 【解答过程】解：由题意知，根据面积公式可以得到. 故选:C． 4．（25-26高二上·吉林白城·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是____________． 【答案】 【解题思路】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【解答过程】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【解题思路】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得． 【解答过程】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 题型2 由已知条件判断所给不等式是否正确 6．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，由，可得，故D正确. 故选：D. 7．（25-26高一上·山东济南·期中）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由不等式的基本性质判断各个选项. 【解答过程】∵，∴，A选项错误，B选项正确； ，C选项错误， ，D选项错误. 故选：B. 8．（25-26高一上·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】举例说明判断ABC；利用不等式性质推理判断D. 【解答过程】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D. 9．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助不等式的性质逐项判断即可得. 【解答过程】对A：由，则，又，则，故，故A错误； 对B：取、、，，则，故B错误； 对C：由，则，则， 又，则，故，故C正确； 对D：， 由，，故，故，故D错误. 故选：C. 10．（25-26高一上·甘肃武威·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】由不等式的性质和特殊值逐项判断即可. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，取，此时，故C错误； 对于D, 若，则，所以，故D正确， 故选：D. 题型3 作差法、作商法比较代数式的大小 11．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】C 【解题思路】应用作差法比较大小即可. 【解答过程】由， 所以. 故选：C. 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 【答案】D 【解题思路】借助作差法，分与讨论即可得. 【解答过程】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， ， 则当时，，绿化率变小， 当时，，绿化率变大. 故选：D. 13．（25-26高一上·上海·期中）设，，则与的大小关系是__________. 【答案】 【解题思路】利用作差法比较大小即可. 【解答过程】，， 则， 则. 故答案为：. 14．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 【解题思路】（1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. 【解答过程】（1），. （2）， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 15．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】选①，； 选②，； 选③，； 【解题思路】①利用分子有理化可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【解答过程】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型4 利用不等式求取值范围 16．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质求解即可. 【解答过程】由，得，又，得， 所以的取值范围是 故选：C. 17．（25-26高一上·辽宁·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由即可求解. 【解答过程】设， 所以解得，所以. 因为， 所以， 即的取值范围是. 故选：D. 18．（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】利用待定系数法进行运算，利用同向不等式可加性求解即可. 【解答过程】令， 则， 因为，， 所以，， 则上两式相加得：， 故答案为：. 19．（25-26高一上·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由不等式的性质求解，即可得出答案； （2）利用待定系数法用与将表示出来，然后利用不等式的性质求解即可. 【解答过程】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 20．（25-26高一上·重庆·期中）已知. (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【解答过程】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，则，所以 （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 题型5 由不等式的性质证明不等式 21．（25-26高一上·北京通州·期中）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用不等式的性质即可判断A，利用特值法即可判断BCD. 【解答过程】对于A，由，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，所以，故B错误； 对于C，当时，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D错误， 故选：A. 22．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 【答案】B 【解题思路】根据证明过程中所应用的不等式的性质判断即可. 【解答过程】因为，，利用性质4得到． 因为，，利用性质4得到． 再由，，利用性质2得到. 故选：B. 23．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）证明：由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）证明：由，而， 所以，即，得证. 24．（25-26高一上·云南·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】证明见解析 【解题思路】先利用不等式的性质证得，再利用作差法证明即可. 【解答过程】证明：因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 25．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【解答过程】（1）； 证明：利用作差法证明： ， ，， ， 所以，不等式成立. （2）证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以. 题型6 一元二次不等式的解法 26．（25-26高一上·福建泉州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】原不等式即为，即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D. 27．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对进行分类讨论即可求解 【解答过程】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A. 28．（25-26高一上·天津宁河·期中）不等式的解集是__________. 【答案】 【解题思路】直接解出一元二次不等式即可. 【解答过程】，解得， 则其解集为. 故答案为：. 29．（25-26高一上·云南昭通·期中）解下列不等式（答案用集合表示）． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）根据一元二次不等式的解法和分式不等式的解法解答本题. 【解答过程】（1）由，即，化简得，解得. 所以原不等式的解集为 （2）由，得，解得， 所以原不等式的解集为. （3）由得， 即，解得， 故原不等式的解集为． 30．（25-26高一上·天津·期中）求下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （4）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分情况讨论，即可求解； 【解答过程】（1）解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为或； （2）解：由不等式，可得， 解得或，所以不等式的解集为或. （3）解：由不等式，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. （4）解：由不等式， 当时，原不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式， ①当时，原不等式等价于，解得，所以解集为； ②当时，原不等式等价于， （i）当时，解得或，不等式的解集为； （ii）当时，原不等式等价于，不等式的解集为； （iii）当时，解得或，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型7 由一元二次不等式的解确定参数 31．（25-26高一上·江西·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集为，得到，，代入求解. 【解答过程】由题意知，且， 所以，， 不等式即， 即， 解集为. 故选：B. 32．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，分类讨论求出一元二次不等式的解集，进而求出范围. 【解答过程】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集，矛盾； 当时，解不等式得，中最多两个正整数，不符合题意； 因此，解不等式得， 依题意，中恰有3个正整数，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 33．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】构造二次函数，由分类确定不等式的另一个整数解，结合二次函数性质列出不等式组求解. 【解答过程】令函数，二次函数图象开口向上， 由，得是不等式的一个整数解， 又不等式的解集中恰好有两个整数，则或， 即或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 34．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3，根据韦达定理求得实数a与b的值； （2）将实数a与b的值代入不等式，根据一元二次不等式的解法求得其解集. 【解答过程】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3， 根据韦达定理，得. 所以. （2）由（1）得，代入不等式， 得，即. 解得：，或. 所以不等式的解集为或. 35．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【解答过程】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型8 一元二次方程根的分布问题 36．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【解答过程】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D. 37．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解答过程】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 38．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____________． 【答案】 【解题思路】利用判别式与韦达定理求解即可. 【解答过程】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 39．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1) 根据给定条件，利用根的判别式求出范围，再利用韦达定理列式求解. (2) 利用一元二次方程实根分布求出的范围 【解答过程】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 40．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得函数图象与轴交点的纵坐标即可. （2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可. 【解答过程】（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 题型9 二次函数的图象分析与判断 41．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 42．（25-26高一上·山东青岛·期中）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】首先根据排除图1图2，然后由图3图4可得，利用二次函数的性质逐一验证即可得出答案. 【解答过程】因为，所以函数的对称轴不可能为轴，所以函数的图像不可能是图1和图2， 由图3和图4可知函数必过原点，所以，解得， 当时，，图像开口向上，另一个零点为，图4符合， 当时，，图像开口向下，另一个零点为，图3，4均不符合. 综上所述，符合题意的的值为1. 故选：A. 43．（25-26高一上·山西·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【解答过程】因为抛物线的开口向下，所以. 由二次函数的图像可知，函数的图像开口向上，且该函数的图像与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 44．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 45．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知函数. (1)当时，设是的两个根，求的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围； (3)求在区间的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 当时，； 当时，； 当时，. 【解题思路】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的性质，得到或，即可求解； （3）根据题意，利用二次函数性质，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，令，可得， 因为是的两个根，可得， 则. （2）由函数，可得其图象开口向上，对称轴为， 要使得函数在区间上是单调函数，则满足或， 所以实数的取值范围. （3）由函数，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以. 题型10 一元二次不等式恒成立问题 46．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围. 【解答过程】因为关于不等式解集为，则有： 当时，得，满足题意； 当时，则，解得：， 综上所述：的取值范围为. 故选：A． 47．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【解答过程】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A. 48．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【解答过程】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 49．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先因式分解得到，再根据关于的不等式的解集为，由求解. （2）将不等式对任意恒成立，根据，转化为求解. 【解答过程】（1）， 因为关于的不等式的解集为， 所以， 解得 （2）因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为， 所以 所以，对任意恒成立， 而，当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 ， 所以的取值范围. 50．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (2) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式解集的形式可直接得到不等式解集，注意分情况讨论. （2）方法1：分离参数，问题转化为，，再利用基本不等式，求代数式，的最小值即可； 方法2：问题可转化为二次不等式在区间上恒成立的问题，再结合函数的思想求的取值范围. 【解答过程】（1）由，得， 令，可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）方法一：因为，可得． 因为，得，所以，即． 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以． 因为，所以，即实数a的取值范围是． 方法二：对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令， 当时，即时，，符合题意． 当时，即时，，解得，又，则． 综上所述，实数a的取值范围是． 题型11 一元二次不等式有解问题 51．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【解答过程】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 52．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 53．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【解答过程】由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 54．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 55．（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1），，. ，. 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 57．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【解题思路】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【解答过程】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B. 58．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【解题思路】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 59．（25-26高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【解题思路】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【解答过程】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是. 60．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【解题思路】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【解答过程】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式12大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南株洲·期中）如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林白城·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是____________． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 题型2 由已知条件判断所给不等式是否正确 6．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东济南·期中）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·甘肃武威·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型3 作差法、作商法比较代数式的大小 11．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 13．（25-26高一上·上海·期中）设，，则与的大小关系是__________. 14．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 15．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型4 利用不等式求取值范围 16．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·辽宁·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为____________. 19．（25-26高一上·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 20．（25-26高一上·重庆·期中）已知. (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 题型5 由不等式的性质证明不等式 21．（25-26高一上·北京通州·期中）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 23．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 24．（25-26高一上·云南·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 25．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 题型6 一元二次不等式的解法 26．（25-26高一上·福建泉州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 28．（25-26高一上·天津宁河·期中）不等式的解集是__________. 29．（25-26高一上·云南昭通·期中）解下列不等式（答案用集合表示）． (1)； (2)； (3)． 30．（25-26高一上·天津·期中）求下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． (4)． 题型7 由一元二次不等式的解确定参数 31．（25-26高一上·江西·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 34．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 35．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 题型8 一元二次方程根的分布问题 36．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 38．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____________． 39．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 40．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 题型9 二次函数的图象分析与判断 41．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·山东青岛·期中）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 43．（25-26高一上·山西·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 45．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知函数. (1)当时，设是的两个根，求的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围； (3)求在区间的最小值. 题型10 一元二次不等式恒成立问题 46．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 49．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 50．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 题型11 一元二次不等式有解问题 51．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为____________. 54．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 55．（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 58．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 59．（25-26高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 60．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $