10.2　用样本估计总体 课件-2027届高考数学一轮复习

10.2　用样本估计总体 第十章 2027 课标要求 1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义. 2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义. 3.结合实例,能用样本估计总体的取值规律. 4.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义. 备考指导 用样本估计总体在高考中主要以选择题或填空题的形式出现,在概率、统计的解答题中也时有体现,难度中等,主要考查用样本估计总体这一思想方法,重点突出对频率分布直方图及样本数字特征的考查. 复习本节知识应注意多结合具体的实际问题,进一步加强通过对数据的分析进行决策的能力. 本节在素养方面要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的培养,进一步体会统计思维与确定性思维的差异,形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.画频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). (2)决定组距与组数. (3)将数据分组. (4)列频率分布表. (5)画频率分布直方图. 2.百分位数 (1)第p百分位数的定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求第p百分位数的步骤: 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算i=n×p%. 第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. (3)常用的分位数有第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 3.平均数、中位数、众数 平均数和中位数在频率分布直方图中的关系,有以下三种分布形态. (1) (2) (3) 一般来说,对于一个单峰的频率分布直方图来说, 如果直方图的形状是对称的(如图(1)),那么平均数和中位数应该大体上差不多; 如果直方图在右边“拖尾”(如图(2)),那么平均数大于中位数; 如果直方图在左边“拖尾”(如图(3)),那么平均数小于中位数. 问题思考 在频率分布直方图中,如何确定中位数? 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等. 温馨提示1.方差、标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,方差、标准差越大,数据的离散程度越大;方差、标准差越小,数据的离散程度越小. 2.在实际问题中,总体平均数、总体方差和总体标准差都是未知的,一般用样本估计总体.在随机抽样中,样本平均数、样本方差和样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. (　　) (2)一组数据的众数可以是一个或多个,中位数也具有相同的结论.(　　) (3)上四分位数就是第25百分位数.(　　) (4)在频率分布直方图中,纵坐标表示的是频率.(　　) (5)在频率分布直方图中,众数的左边和右边的小长方形的面积之和相等. (　　) √ × × × × 2.已知一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,则这组数据的下四分位数为(　　) A.47 B.49 C.7 D.15 3.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数 ,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…, 3xn+1的平均数和方差分别为(　　) A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,9 D 将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,共11个数据. 下四分位数即第25百分位数,由11×25%=2.75,可知这组数据的下四分位数为第3个数据15. C 由题意可知数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为3×5+1=16,方差为32×2=18. 4.(多选)已知某滑冰比赛有9位评委进行评分,首先这9位评委给出某选手的原始评分,然后评定该选手的得分时,从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效评分,则7个有效评分与9个原始评分相比,可能变化的数字特征是(　　) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 BCD 从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效评分,其中位数一定不变,其他数字特征均可能发生变化. 5.若已知某组数据的频率分布直方图如图所示,则估计该组数据的众数为 　　　　　,中位数为　　　　　.  15.5 由于众数是样本中出现次数最多的数,故由直方图可估计为15.5.中位数是样本中的中间数据,由于样本数据在区间[13,14)内的频率为0.02,在区间[14,15)内的频率为0.18,在区间[15,16)内的频率为0.36,0.02+0.18+0.36>0.5,所以中位数落在区间[15,16)内,设中位数为x, 则0.02+0.18+(x-15)×0.36=0.5,得 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 频率分布直方图及其应用 例1　从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组: [5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为(　　)   A.10 B.18 C.20 D.36 B 由频率分布直方图可知,直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5.00)×0.02=0.225,故所求个数为0.225×80=18.故选B. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 对点训练1 学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况,随机抽取了100名学生进行调查,根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示.将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”,则下列命题正确的是(　　) A.抽样表明,该校约有一半学生为阅读霸 B.该校只有50名学生不喜欢阅读 C.该校只有50名学生喜欢阅读 D.抽样表明,该校有50名学生为阅读霸 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点2 样本的数字特征及其应用 例2　(1)(多选)已知某煤炭公司某年1~10月份的煤炭生产量如下表所示. 则下列关于这组数据的结论正确的是(　　) A.极差为12.5 B.平均数为24 C.中位数为24 D.众数为17.5 ABD 将数据按照从小到大的顺序排列为17.5,17.5,21,23,24,25,26,27,29,30, 故极差为30-17.5=12.5, 平均数为 能力形成点1 能力形成点2 (2)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　) A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 C 能力形成点1 能力形成点2 (3)甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分统计情况如图所示.   ①分别求出两人得分的平均数与方差; ②根据统计图和①中得出的结果,请对两人的训练成绩作出评价. 能力形成点1 能力形成点2 解 ①由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩得分分别为 甲:10,13,12,14,16;乙:13,14,12,12,14. 从题中折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩无明显提高. 能力形成点1 能力形成点2 解题心得1.众数、中位数、平均数及方差、标准差的意义 (1)平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明地描述. (2)平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小. 2.平均数、方差的公式推广: 能力形成点1 能力形成点2 对点训练2 (1)已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列,若这组数据丢失了其中的一个数据,剩下的六个数据分别是2,2,4,2,5,10,则丢失的这个数据为　　　　　.  -11或3或17 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 (2)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,得到如下频数分布表. ①作出这些数据的频率分布直方图; 能力形成点1 能力形成点2 ②估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); ③根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 能力形成点1 能力形成点2 解 ① 能力形成点1 能力形成点2 ②质量指标值的样本平均数为 =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104. ③质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定. 能力形成点1 能力形成点2 第三环节　学科素养提升 平均数、中位数、众数的实际应用 典例　某中学春季运动会上,12名参加跳高半决赛同学的成绩各不相同,按成绩从高到低取前6名进入决赛.若小明知道了自己的成绩,则为了判断自己能否进入决赛,他还应知道其他11名同学成绩的(　　) A.中位数 B.平均数 C.极差 D.方差 答案:A 解析:12名同学参加半决赛,按成绩从高到低取前6名进入决赛,正好一半,因此小明可根据其他11名同学成绩的中位数判断自己能否进入决赛. 解题心得利用平均数、中位数、众数分析实际问题时,要明确平均数、中位数、众数在刻画一组数据的集中趋势时各自的优点与缺点,进而对实际问题作出客观评价. 变式训练 一次数学知识竞赛中,两组学生的成绩如下表: 已经算得两组学生的平均分都是80分,请根据你所学过的众数、中位数、平均数知识,结合统计表,判断这两组学生在这次竞赛中哪组学生成绩更好,并说明理由. 解 (1)甲组学生成绩的众数为90分,乙组学生成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲组学生成绩更好. (2)甲、乙两组学生成绩的中位数、平均数都是80分,其中甲组学生成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组学生成绩在80分以上(含80分)的有26人,从这一角度看,甲组学生成绩更好. (3)从成绩统计表看,甲组学生成绩大于或等于90分的人数为20,乙组学生成绩大于或等于90分的人数为24,所以乙组学生成绩在高分阶段的人数多,同时,乙组学生得100分的比甲组学生得100分的多6人,从这一角度看,乙组学生成绩更好. 本 课 结 束 数字 特征 概念 优点与缺点 平均 数 如果有n个数据x1,x2,…,xn,那么这n个数的平均数 平均数与每一个样本数据有关,可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低 中位 数 把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数 中位数等分样本数据所占频率,它不受少数几个极端值的影响,在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数.显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 4.方差和标准差 假设一组数据是x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数. (1)这组数据的方差s2=(xi-)2=. (2)这组数据的标准差s=. 1.在频率分布直方图中,纵坐标表示,不是频率,频率=组距×;各小长方形高的比等于频率比. 2.若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则数据mx1+a,mx2+a, mx3+a,…,mxn+a的平均数为m+a,方差为m2s2. =5 x= 解题心得频率分布直方图的性质 (1)小长方形的面积=组距×=频率; (2)各小长方形的面积之和等于1; (3)小长方形的高=,所有小长方形的高的和为. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量/万吨 23 25 24 17.5 17.5 21 26 29 30 27 (17.5+17.5+21+23+24+25+26+27+29+30)=24, 中位数为=24.5,众数为17.5.故选ABD. 设x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,10x1,10x2,…,10xn的平均数为, 方差为s'2,则s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],=10, 故s'2=[(10x1-)2+(10x2-)2+…+(10xn-)2] =[(10x1-10)2+(10x2-10)2+…+(10xn-10)2]=102×s2, 又s2=0.01,故s'2=100×0.01=1.故选C. 则=13,=13, [(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4, [(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8. ②由,可知乙的成绩较稳定. (1)若数据x1,x2,…,xn的平均数为,则ax1+b,ax2+b,ax3+b,…,axn+b的平均数是a+b. (2)若数据x1,x2,…,xn的方差为s2,则 ①s2=[(+…+)-n]; ②数据x1+b,x2+b,…,xn+b的方差也为s2; ③数据ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2. 设丢失的这个数据为a,由题意可知众数为2,平均数为 当a≤2时,中位数为2, 所以,2,2成等差数列,所以2×2=+2,解得a=-11,满足题意. 当2<a<4时,中位数为a, 所以,a,2成等差数列,所以2a=+2,解得a=3,满足题意. 当a≥4时,中位数为4, 所以,4,2成等差数列,所以2×4=+2, 解得a=17,满足题意.故丢失的这个数据为-11或3或17. 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125] 频数 6 26 38 22 8 分数/分 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 $