02-第53讲 统计图表、用样本估计总体课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“统计图表、用样本估计总体”专题，依据课标要求覆盖统计图表选择、集中趋势参数（平均数、中位数、众数）、离散程度参数（标准差、方差）及百分位数等核心考点，通过知识聚焦表格对比各类统计图特点、数字特征优缺点，归纳频率分布直方图与数字特征关系等常用结论，对接高考评价体系，明确高频考点分布，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+技巧指导+素养培养”，如课前易错辨析纠正“平均数与中位数总是接近”等误区，探究点例1结合扇形图与条形图分析志愿者人数，培养数学眼光和数学思维。通过“面积法”求解频率分布直方图中的中位数、百分位数等技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可利用对点演练精准突破考点，助力学生高效冲刺高考。

第53讲 统计图表、用样本估计总体 1 【课标要求】 1.能根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描 述,体会合理使用统计图表的重要性. 2.能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）,理 解集中趋势参数的统计含义. 3.能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解 离散程度参数的统计含义. 4.能用样本估计总体的取值规律. 5.能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义. 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.数据的可视化描述 （1）各类统计图的特点 类型 作用 频率分布直方图 主要以面积的形式描述数据落在各个小组的频率 的大小，可以估计总体数据的分布趋势 扇形图 主要用于直观描述各类数据占总数的比例 条形图 主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和 频率，尤其是离散型的数据 折线图 主要用于描述数据随时间的变化趋势 3 （2）作频率分布直方图的步骤 ①求极差（即一组数据中________与________的差）; ②决定______与______; ③将数据______; ④列____________; ⑤画________________. 最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图 4 2.数据的数字特征 （1）平均数：如果给定的一组数是,, , ,则这组数的平均数 为___________________，简记为 . （2）中位数：把一组数据按________________________的顺序排列, 处在______位置的一个数据（或两个数据的平均数）. （3）众数：一组数据中,出现次数______的数据. 从小到大（或从大到小） 中间 最多 5 （4）众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样 本数据中更多的信息，对样本中 的________更加敏感 任何一个数据的改变都 会引起________的改变. 数据越“离群”，对 _________的影响越大 中位数 不受少数几个______数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响 对________不敏感 极端值 平均数 平均数 极端 极端值 6 名称 优点 缺点 众数 体现了样本数据的最大________ 众数只能传递数据中很 少的一部分信息，对 ________不敏感 续表 集中点 极端值 （5）百分位数 ①定义：一般地,一组数据的第 百分位数是这样一个值,它使得这组 数据中至少有的数据____________这个值,且至少有 的数据____________这个值. 小于或等于 大于或等于 ②计算一组个数据的第 百分位数的步骤: 第1步,按__________排列原始数据. 第2步,计算 ________. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第 百分位数为第__项 数据;若是整数,则第百分位数为第项与第 项数据的________. 从小到大 平均数 8 ③四分位数：第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数. 其中第25百分位数也称为______________或____________等,第75百 分位数也称为第三四分位数或____________等. 第一四分位数 下四分位数 上四分位数 9 （6）方差和标准差 如果,, ,的平均数为 ,则其方差 ，标准差 . 注：方差越大,说明数据的离散程度或波动幅度越大,反之数据的离散 程度或波动幅度越小.其单位是原始数据单位的平方. 10 常用结论 1.若数据<m></m>,<m></m>,<m></m> ,<m></m>的平均数为<m></m>,方差为<m></m>,则数据 <m></m>的平均数<m></m>,方差为<m></m>. 2.众数、中位数（百分位数）、平均数与频率分布直方图的关系: （1）众数:最高的小矩形底边中点的横坐标. （2）中位数:从左侧开始满足小矩形面积和为0.5的横坐标的值;根据 百分位数的定义，求百分位数同样转化为从左侧求小矩形的面积和 满足的条件； （3）平均数:每个小矩形底边中点的横坐标与对应频率的积的和. 11 3.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据 分布的形态有关. 形状 关系 对称 平均数与中位数差不多 右边“拖尾” 平均数大于中位数 左边“拖尾” 平均数小于中位数 平均数总是在“长尾巴”那边 12 4.频率分布直方图的性质: （1）纵轴表示 ； （2）小长方形的面积 频率； （3）各小长方形的面积的总和等于1； （4）样本量 . 13 ◆ 课前演练 ◆ 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( ) × [解析] 平均数指的是这组数据的平均水平，中位数指的是这组数据 的中间水平，它们之间没有必然联系，所以该说法错误. 14 （2）一组数据的平均数、中位数、百分位数、众数都不是原数据的 数.( ) × [解析] 一组数据的众数一定是原数据的数，所以该说法错误. 15 （3）已知一组数据的频率分布直方图如图所 示，则中位数和众数都是65.( ) √ [解析] 因为最高的矩形底边中点的横坐标为 65，所以众数为65. 因为 , 所以中位数位于内. 设中位数为，则 ，解得 ， 所以中位数为65，所以该说法正确. 16 题组二 教材改编 1.若数据1，2，2，3，4，5，6，6，7，8的中位数为， 分位数 为，则____， ____. 4.5 5.5 [解析] 由题意得，中位数.由，得 分 位数 . 17 2.如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图， 则数据在区间 上的频数是____. 70 [解析] 由频率分布直方图得，数据在区间 上 的频率为 ， 样本容量为100， 数据在区间 上的频数 为 . 18 3.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人成绩的平均 数和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.8 8.8 8 方差 3.5 3.5 2.1 8.5 则参加运动会的最佳人选应为____. 丙 [解析] 从表格中可以看出乙和丙成绩的平均数较高，故平均成绩最好， 又乙、丙两人之间，丙的方差较小，所以丙发挥得比乙稳定， 故最佳人选应为丙. 19 探究点一 统计图表及其应用 例1（1）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募志愿者．现从 所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年 人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图①所示，各年龄段志愿者 的性别百分比等高堆积条形图如图②所示，则下列关于样本数据的 分析正确的是( ) 20 A.老年男性志愿者人数为90 B.老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 C.青年女性志愿者人数为72 D.中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数 √ 21 [解析] 由题图①可知300名志愿者中，青年人有 （人），中年人有 （人），老年人有 （人）. 对于A,由题图②可知样本中老年男性志愿者人数为 ， 故A错误； 对于B,由题图②可知样本中老年女性志愿者人数为 ， 中年女性志愿者人数为 ，故B错误； 22 对于C，样本中青年女性志愿者有 （人），故C正确； 对于D，样本中中年男性志愿者人数为，青年男性志 愿者人数为 ，故D错误.故选C. 23 （2）[2026· 广东江门期中]某保险公司为客户定制了5个险种：甲， 一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊， 重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5 个险种参保客户进行抽样调查，得到如图①②③所示的统计图表， 则下列说法中一定错误的是( ) 24 A.丁险种参保人数超过五成 B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C. 周岁人群参保的总费用最少 D.人均参保费用不超过5000元 √ 25 [解析] 对于A，由题图①可知丁险种参保比例为 ，超过五成，故A中说法一定正确； 对于B，由题图②可知，41岁以上参保人数占比为 ， 故B中说法一定错误； 对于C，由题图②与图③可知周岁人群参保人数占比为 ， 26 人均参保费用（单位：元）在 内，而54周岁及以上人群 参保比例虽然为，但人均参保费用为6000元， 所以 周岁人群参保的总费用最少，故C中说法一定正确； 对于D，由题图②与图③可知，人均参保费用约为 （元），不超过 5000元，故D中说法一定正确.故选B. 27 总结反思 扇形图、条形图、折线图的关注点 1.扇形图能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系. 2.条形图的长度表示各类别频数的多少，宽度是固定的类别，与频率 分布直方图不同. 3.折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据， 因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势. 28 【对点演练1】（1）如图是某年中国的10 个城市地铁运营里程（单位：公里）及运 营线路条数的统计图，则下列说法正确的 是( ) A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多 B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516 C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4 D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12 √ 29 [解析] 对于A，这10个城市中北京的地铁运营 线路条数最多，而运营里程最长的是上海，故 A错误； 对于B，这10个城市地铁运营里程的中位数是 ，故B 错误； 对于C，这10个城市地铁运营线路条数的平均数为 ，故C正确； 30 对于D，这10个城市地铁运营线路条数的极差 是 ，故D错误.故选C. 31 （2）（多选题）[2026·湖北随州期末]某中学组织三个年级的学生进 行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生人数分布的扇形图 （如图①）和前200名学生中高一年级学生排名分布的频率条形图 （如图②），则下列说法正确的是( ) 32 A.成绩在前200名的学生中，高一年级学生人数比高二年级学生人数 多30 B.成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数不超过一半 C.成绩在第 名的学生中，高三年级学生最多有32人 D.成绩在第 名的学生中，高二年级学生人数比高一年级学 生人数多 √ √ √ [解析] 由题图①知，成绩在前200名的学生中，高一年级学生人数比 高二年级学生人数多 ，A正确； 由题图②知在前200名学生中高一年级学生名次在前100名和后100名 的人数相等，因此成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数 为，B正确； 34 成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数为 ，故成绩在第 名的学生中，高三年级学生最多有32人， C正确； 成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数为 ，故成绩在第 名的学生中，高二年级学生最多有23人， 因此成绩在第 名的学生中，高二年级学生人数比高一年级学 生人数少，D错误.故选 . 探究点二 样本的数字特征的求解与应用 例2（1）数据40，40，20，18，16，16，14，12的下四分位数为 ( ) A.13 B.13.5 C.15 D.15.5 [解析] 将这组数据按从小到大的顺序排列为12，14，16，16，18， 20，40，40， 因为 ，所以这组数据的下四分位数为 ，故选C. √ 36 （2）[2026·福建龙岩质检]某学校为了调查高一年级学生期中物理考试成绩 的情况，随机选取了100名学生的物理成绩，绘制了如图所示的频率分布直 方图，则下列说法正确的是( ) A.这100名学生物理成绩平均数的估计值为70（注：同一 组数据用该组区间的中点值作为代表） B.这100名学生物理成绩的第60百分位数的估计值为71 C.这100名学生物理成绩众数的估计值为75 D.随机选取的这100名学生中只有25名学生物 理成绩不低于80分 √ 37 [解析] 对于A，估计这100名学生物理成绩的平均数为 ，所以A错误； 对于B，因为前三个矩形的面积为 ， 前四个矩形的面积为 ， 所以这100名学生物理成绩的第60百分位数位于内， 设为，则 ，所以B错误； 38 对于C，由题图可估计这100名学生物理成绩的众数 为 ，所以C正确； 对于D，由题图可得这100名学生物理成绩位于 内的频率为 ， 则 ， 所以随机选取的这100名学生中只有30名学生物理成绩不低于80分， 所以D错误.故选C. 总结反思 通过均值、中位数、众数等数字特征能反应数据的集中趋势，而方 差、标准差、极差等数字特征则反应了数据的离散程度，通过对数 字特征的分析，可以初步判断数据的集中趋势和离散程度. 40 【对点演练2】（1）[2026·山东青岛质检]某校为了解学生每个月在 图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本， 并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容 量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样 本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的( ) A.平均数为5.5 B.平均数为6.5 C.方差为12.5 D.方差为13.5 √ 41 [解析] 设图书管理员甲抽取的数据的平均数和方差分别为， ； 图书管理员乙抽取的数据的平均数和方差分别为， ， 则新样本数据的平均数为 ，新样本数据的方差为 .故选D. 42 （2）（多选题）[2026·山东潍坊调研]如图是某市 2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时） 的折线图，则( ) A.1月至7月全社会用电量逐月增加 B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月全社会用电量的方差大 √ √ 43 [解析] 对于A，由题图知，3月到4月用电量减 少，故A错误； 对于B，用电量的极差为 ， 故B正确； 对于C，数据按从小到大的顺序排列为,,, ,,, ， 又 ，所以这组数据的第75百分位数是第六个数据 ， 故C错误； 44 对于D，1月至3月用电量的极差为 ， 4月至6月用电量的极差为 ， 显然 ， 故对应的1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月全社会用电量的 方差大，故D正确.故选 . 45 探究点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3 某中学全体学生参加了一场知识竞赛，随机抽取了2000名学生的成绩 进行统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后， 绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是( ) A.在被抽取的学生中，成绩在区间 内的学 生有850人 B.直方图中 的值为0.025 C.估计全体学生成绩的 分位数约为95 D.估计全体学生成绩的中位数为85 √ 46 [解析] 由，可得 ，B错误； 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有 （人），A错误； 由题图及样本估计总体可知，全体学生成绩的分位数在区间 内，设为 ，则，可得 ，C正确； 由题图及样本估计总体可知，全体学生成绩的中位数在区间内， 设为 ，则，可得 ，D错误. 故选C. 47 总结反思 用样本的数字特征估计总体的数字特征常常是以频率分布直方图等 为工具,应用平均数、方差、中位数等进行分析,解决问题时要注意正 确建立统计模型,准确计算各个数字特征. 48 【对点演练3】 [2026·福建漳州期末]为了帮助高一年级学生更好地 了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场 物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将 数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图， 用样本估计总体，则下列说法正确的是( ) 49 A.频率分布直方图中的 的值为0.15 B.估计该年级物理成绩的众数为80分 （注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） C.估计该年级物理成绩的平均数为75分 D.若物理成绩排名前 的学生适合选报物理，则适合选报物理的 学生此次成绩应不低于62分 √ 50 [解析] 对于A，由题可知， ，解得 ，故A 错误； 对于B，由题图及样本估计总体可知，估计该年级 物理成绩的众数是 75，故B错误； 对于C，由题图及样本估计总体可知，估计该年级物理成绩的平均数 是 ，故C错误； 51 对于D，由题得适合选报物理的学生此次的成绩即 为该组数据的 分位数， 因为，， 故该组数据的 分位数位于内， 设其为 ，则，解得 ，故 D正确.故选D. 52 $