10.1　随机抽样、用样本估计总体课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“随机抽样、用样本估计总体”专题，依据高考评价体系梳理了抽样方法、统计图表、数字特征三大核心考点，通过近五年真题分析明确分层抽样计算、频率分布直方图应用、方差标准差估计等高频考点权重，归纳抽样判断、百分位数求解、数据特征分析等常考题型。 课件亮点在于高考真题深度融合与应试技巧指导，如以2023新课标Ⅰ卷样本数据特征题、2024新课标Ⅱ卷稻田亩产量统计题为例，培养学生用数学思维分析数据逻辑，用数学语言规范表达结论。典型题型如分层抽样比例计算、频率分布直方图中平均数与百分位数求解，通过“公式变形+图表信息提取”方法突破，助力学生掌握答题技巧，教师可依托课件系统开展专题复习，提升备考效率。

第1讲　随机抽样、用样本估计总体 第十章　统计、排列组合与概率 第1页 高考一轮总复习·数学 软件使用 编辑修改 本课件使用office 2010版本制作，建议老师使用相应软件打开 全文可单击进行编辑修改，公式可双击跳转到编辑页面进行修改 课件说明 第页 高考一轮总复习·数学 第3页 高考一轮总复习·数学 慧学教材 01 题型研讨 02 限时跟踪检测（六十一）　随机抽样、用样本估计总体 03 复习要点　1.理解简单随机抽样及分层随机抽样的方法.2.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图，理解它们各自的特点.3.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差.4.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差等），并给出合理的解释.5.会用样本的频率分布估计总体的频率分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 第页 高考一轮总复习·数学 第5页 高考一轮总复习·数学 慧学教材 一　简单随机抽样 1. 定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中 　　逐个　抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率 　　都相等　，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2. 最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和 　　随机数法　. 逐个　 都相等　 随机数法　 第页 高考一轮总复习·数学 二　分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 　　分层随机抽样　，每一个子总体称为 　　层　. 分层随机抽样　 层　 第页 高考一轮总复习·数学 三　统计图表 1. 常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. 2. 画频率分布直方图的步骤 （1）求极差； （2）决定组距与组数； （3）将 　　数据　分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图. 数据　 第页 高考一轮总复习·数学 四　总体百分位数 定义 意义 百分 位数 一组数的p％分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于 　　p％　位置的数.中位数就是一个50％分位数 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点 p％　 第页 高考一轮总复习·数学 五　总体集中趋势估计 1. 中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. 2. 众数 一组数据中出现次数 　　最多　的数据叫做这组数据的众数. 可以有多个，也可以没有. 3. 平均数 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，即n个数据x1，x2，…，xn的平均数为 　（ x1＋x2＋…＋xn）　. 最多　 （x1＋x2＋…＋xn） 第页 高考一轮总复习·数学 六　总体离散程度估计 1. 假设一个样本中个体的变量值分别是x1，x2，…，xn，用 表示样本的平均数，那么样本的标准差和方差的计算公式如下： （1）标准差 s＝ . （2）方差 s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2]. 第页 高考一轮总复习·数学 2. 总体方差和总体标准差 （1）一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，那么总体方差S2＝ （Yi－ ）2. （2）加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），那么总体方差为S2＝ fi（Yi－ ）2. 第页 高考一轮总复习·数学 （2）频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大. （　√　） （3）如果一组数中的每个数减去同一个非零常数，那么这组数的平均数改变，方差不变. （　√　） （4）一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论. （　✕　） （5）一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. （　✕　） √ √ ✕ ✕ 【教材排查】　判断下列结论是否正确. （1）分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关. （　✕　） ✕ 第页 高考一轮总复习·数学 1. （人教A必修二P181T1原题）为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（　D　） A. 一定为5.5 kW·h B. 高于5.5 kW·h C. 低于5.5 kW·h D. 约为5.5 kW·h 解析：由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5 kW·h. 2. （北师大必修一P170例3改编）为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人成绩的（　C　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 频率分布 解析：方差刻画一组数据的集中程度或稳定性. D C 【教材改编】 第页 高考一轮总复习·数学 3. （人教A必修二P198T1原题）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50 kW·h～350 kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）直方图中x的值为 　0.004 4　； 解析：（1）由（0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2）×50＝1，解得x＝0.004 4. 0.004 4　 第页 高考一轮总复习·数学 （2）在被调查的用户中，月用电量落在区间[100，250）内的户数为 　70　. 解析：（2）月用电量落在区间[100，250）内的频率为（0.003 6＋0.006 0＋0.004 4）×50＝0.7，则月用电量落在区间[100，250）内的户数为0.7×100＝70. 70　 第页 高考一轮总复习·数学 第17页 高考一轮总复习·数学 题型研讨 题型 　抽样方法 典例1　（1）（多选）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是抽到了4名男生、6名女生，则下列说法正确的是（　AB　） A. 这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B. 这次抽样可能是分层抽样 C. 这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D. 这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 解析：本题看似是一道分层抽样的题，实际上每种抽样方法都可能出现这个结果，故A、B正确；根据抽样的等概率性知C、D不正确. AB 第页 高考一轮总复习·数学 （2）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取 　20　个个体；若A，B，C三层的样本的平均数分别为15，30，20，则样本的平均数为 　20.5　. 解析：∵A，B，C三层的个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的概率相等，∴应从C中抽取100× ＝20（个）个体.样本的平均数为 ＝ ×15＋ ×30＋ ×20＝20.5. 20　 20.5　 第页 高考一轮总复习·数学 【解题感悟】　❶在简单随机抽样、分层随机抽样中，总体中每个个体入样的可能性是相同的. ❷分层随机抽样是按比例抽样，抽样比＝ ＝ . ❸在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均数为 ；第二层的样本量为n，平均数为 ，那么样本的平均数为 . 第页 高考一轮总复习·数学 对点练1　（1）（2026·陕西西安八校联考）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为3 200，x，2 400，为了解各车间的产品是否存在显著差异，采用按比例分配分层随机抽样的方式抽取样本进行检测.若在甲、乙两车间共抽取了90件，在乙、丙两车间共抽取了80件，则x＝（　D　） A. 3 000 B. 3 200 C. 3 600 D. 4 000 解析：由按比例分配的分层随机抽样可知 ＝ ，解得x＝4 000. D 第页 高考一轮总复习·数学 （2）（2026·上海长宁区模拟）现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水性笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水性笔的编号为 　14　. 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 解析：由题意可知，第一支水性笔编号为01，以后依次为17，09，08，06，14，所以第6支水性笔的编号为14. 14　 第页 高考一轮总复习·数学 题型 　总体取值规律、百分位数的估计 典例2　（1）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（　C　） C A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6％ B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10％ C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 第页 高考一轮总复习·数学 解析：由频率分布直方图可得，该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于10.5万元的频率分别为0.06和0.1，则农户比率分别为6％和10％，故A、B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64，故D正确；家庭年收入的平均值为0.02×3＋0.04×4＋0.1×5＋0.14×6＋0.2×7＋0.2×8＋0.1×9＋0.1×10＋0.04×11＋0.02×12＋0.02×13＋0.02×14＝7.68万元，因为7.68＞6.5，所以估计该地区农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，故C不正确.故选C. 第页 高考一轮总复习·数学 （2）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. ①求某户居民月用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数解析式； ②为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80％，求a，b的值； 第页 高考一轮总复习·数学 ③根据②中求得的数据计算月用电量的75％分位数. 第页 高考一轮总复习·数学 解：①当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×（x－200）＝0.8x－60； 当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×（x－400）＝x－140. 所以某户居民月用电费用y关于月用电量x的函数解析式为 y＝ ②由①可知，当y＝260时，x＝400，即月用电量不超过400 千瓦时的占80％，结合频率分布直方图可知 ​ 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. 第页 高考一轮总复习·数学 ③设75％分位数为m千瓦时， 因为月用电量低于300千瓦时所占比例为（0.001 0＋0.002 0＋0.003 0）×100×100％＝60％，月用电量不超过400千瓦时的占80％， 所以75％分位数m在[300，400）内， 由0.6＋（m－300）×0.002 0＝0.75， 解得m＝375，即月用电量的75％分位数为375千瓦时. 第页 高考一轮总复习·数学 【解题感悟】　❶频率分布直方图的相关结论 ·频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. ·频率分布直方图中纵轴表示 ，所以每组的频率＝ ×组距，即小长方形的面积. ❷由频率分布直方图求平均数、中位数、众数 第页 高考一轮总复习·数学 ❸由频率分布直方图求第p百分位数 把频率分布直方图划分为两部分，使得左边的面积为p％，右边的面积为（100－p）％，分界线与横轴交点的横坐标即为第p百分位数. 例　求第75百分位数x. 第页 高考一轮总复习·数学 对点练2　（1）某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的80％分位数，则该班级的人数可能为（　C　） A. 36 B. 41 C. 46 D. 51 解析：设该班级的人数为x，由题意得x－10＜0.8x＜x－9，解得45＜x＜50，又x∈N*.故选C. C 第页 高考一轮总复习·数学 （2）（2024·新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表： 亩产量 [900， 950） [950， 1 000） [1 000， 1 050） [1 050， 1 100） [1 100， 1 150） [1 150， 1 200） 频数 6 12 18 30 24 10 据表中数据，下列结论中正确的是（　C　） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B. 100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80％ C. 100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 C 第页 高考一轮总复习·数学 解析：A选项，因为6＋12＋18＝36＜50，36＋30＝66＞50，所以100块稻田亩产量的中位数不小于1 050 kg，A错误；B选项，因为100块稻田中亩产量低于 1 100 kg的稻田有66块，所占比例为66％＜80％，B错误；C选项，100块稻田亩产量的极差的最大值小于1 200－900＝300，最小值大于1 150－950＝200，所以极差介于200 kg至300 kg之间，C正确；D选项，同一组中的数据都用左端点值来估计，则这100块稻田亩产量的平均值的最小值为 ×（6×900＋12×950＋18×1 000＋30×1 050＋24×1 100＋10×1 150）＝1 042＞1 000，所以平均值不介于900 kg至1 000 kg之间，D错误.故选C. 第页 高考一轮总复习·数学 题型 　总体集中趋势、离散程度的估计 典例3　（1）（多选）（2023·新课标Ⅰ卷）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　BD　） A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 BD 第页 高考一轮总复习·数学 解析：对于选项A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝ － ＝ ， 因为不能确定2（x1＋x6）与x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小， 例如1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5； 例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2； 例如1，2，2，2，2，2，可得m＝2，n＝ ，故A错误. 对于选项B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 可知x2，x3，x4，x5的中位数与x1，x2，…，x6的中位数均为 ，故B正确. 第页 高考一轮总复习·数学 对于选项C，因为x1是最小值，x6是最大值， 则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差， 例如2，4，6，8，10，12，则平均数n＝ ×（2＋4＋6＋8＋10＋12）＝7， 标准差s1＝ ， 若4，6，8，10，则平均数m＝ ×（4＋6＋8＋10）＝7， 标准差s2＝ ，显然 ＞ ，即s1＞s2，故C错误. 对于选项D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确. 故选BD. 第页 高考一轮总复习·数学 （2）（多选）（2026·山东新高考联合质量测试）已知一组数据x1，x2，…，x2 023是公差不为0的等差数列，若去掉数据x1 012，则所剩下的数据的（　ABD　） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 标准差不变 D. 极差不变 解析：设x1，x2，…，x2 023的平均数为 ， 可知 ＝ ＝ ＝x1 012，故A正确； 原数据的中位数为x1 012，新数据的中位数为 ＝x1 012，故B正确； 易知最大值和最小值不变，故极差不变，故D正确.故选ABD. ABD 第页 高考一轮总复习·数学 （3）（2023·全国乙卷，理）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…，10）.试验结果如下： 第页 高考一轮总复习·数学 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），记z1，z2，…，z10的样本平均数为 ，样本方差为s2. ①求 ，s2； ②判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 ≥2 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 第页 高考一轮总复习·数学 解：① ＝ ×（545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548）＝552.3， ＝ ×（536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536）＝541.3， 则 ＝ － ＝552.3－541.3＝11， 又zi＝xi－yi 的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝ ×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋0＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61. ②由①知， ＝11，2 ＝2 ＝ ，满足 ＞2 ， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 第页 高考一轮总复习·数学 【解题感悟】　❶方差公式可变形为s2＝ － . ❷分层随机抽样中，若第一层的样本量为m，平均数为 ，方差为 ；第二层的样本量为n，平均数为 ，方差为 ，则样本的平均数为 ＝ ，方差为s2＝ [＋（ － ）2]＋ [＋（ － ）2]. ❸简单随机抽样样本平均数、方差的计算公式的推广 ·若数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，则数据mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m ＋a； ·若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 第页 高考一轮总复习·数学 对点练3　（1）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示. ①这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）内的人数是 　13　； ②这20名工人中一天生产该产品数量的中位数约为 　62.5　； ③这20名工人中一天生产该产品数量的平均数约为 　64　. 13　 62.5　 64　 第页 高考一轮总复习·数学 解析：①在[55，75）内的人数是（0.040×10＋0.025×10）×20＝13. ②设中位数为x，易知x∈[55，65），则0.2＋（x－55）×0.04＝0.5，解得x＝62.5. ③0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64. 第页 高考一轮总复习·数学 图1 乙高中学生一周内平均每天学习数学的时间 （2）为调查某市高中生对数学学习的喜爱程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]，（50，60]，整理得到如下频率分布直方图： 甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间 图2 第页 高考一轮总复习·数学 ①求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； ②估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 及方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ③若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m，n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为 ， 与 ， ，记总的样本平均数为 ，样本方差为s2，证明： a. ＝ ＋ ； b.s2＝ {m[＋（ － ）2]＋n[＋（ － ）2]}. 第页 高考一轮总复习·数学 解：①由频率分布直方图可得（0.005＋0.020＋a＋0.025＋0.015）×10＝1，解得a＝0.035，估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是 ＝35. ② ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.15＋55×0.05＝27.5， ＝（5－27.5）2×0.1＋（15－27.5）2×0.2＋（25－27.5）2×0.3＋（35－27.5）2×0.2＋（45－27.5）2×0.15＋（55－27.5）2×0.05＝178.75. 第页 高考一轮总复习·数学 ③证明：a. ＝ ＝ ＋ ，即得证. b.s2＝ ［ （xi－ ）2＋ （yj－ ）2］ ＝ ［ （xi－ ＋ － ）2＋ （yi－ ＋ － ）2］， ∵ （xi－ ）＝ xi－m ＝0， ∴ 2（xi－ ）（ － ）＝2（ － ） （xi－ ）＝0， 同理可得 2（yj－ ）（ － ）＝0， 第页 高考一轮总复习·数学 ∴s2＝ ［ （xi－ ）2＋ （ － ）2＋ （yj－ ）2＋ （ － ）2］ ＝ [m ＋m（ － ）2＋n ＋n（ － ）2]， ∴s2＝ {m[＋（ － ）2]＋n[＋（ － ）2]}，即得证. 第页 高考一轮总复习·数学 第49页 高考一轮总复习·数学 限时跟踪检测（六十一）　随机抽样、用样本估计总体 一、单项选择题 1. 利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（　C　） A. B. C. D. 解析：根据题意，得 ＝ ，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为 ＝ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 2. （2026·辽宁模拟）某游戏中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个号码中选取，小明利用下面的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第4个被选中的红色球号码为（　C　） 第1行： 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 第2行： 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A. 12 B. 33 C. 06 D. 32 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字依次是63，93，17，90，12，…，其中满足条件的号码为17，12，33，06，…，则第4个被选中的红色球号码为06.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 3. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50） [50，55] 人数 1 2 6 5 4 2 下列说法正确的是（　B　） A. 这20人年龄的80％分位数的估计值是46.5 B. 这20人年龄的中位数的估计值是41 C. 这20人年龄的极差的估计值是55 D. 这20人年龄的众数的估计值是35 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：因为i＝20×80％＝16，故80％分位数落在区间[45，50）内，设其估计值为m，则（ ＋ ＋ ＋ ）＋ （m－45）＝0.8，解得m＝47.5，故A错误； 又因为i＝20×50％＝10，所以中位数（50％分位数）落在区间[40，45）内，设其估计值为n，则（ ＋ ＋ ）＋ （n－40）＝0.5，解得n＝41，故B正确； 由表格中数据可知极差不超过55－25＝30，故C错误； 因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值，故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 4. （2026·江西上饶模拟）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，从而得到一组新的数据，则新数据的方差相比原数据的方差的增加值为（　B　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：设原数据为x1，x2，…，x6，均值为 ＝ ，不妨设x1＝4，x2＝6，方差为 ；由题意，知新数据为1，9，…，x6，显然新数据的均值与原数据的均值相等，其方差为 ＝ ＝5＋ ，即新数据的方差比原数据的方差增加了5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 5. （2026·湖南长沙月考）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为 ，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数、标准差分别为（　C　） A. 2， B. 2，1 C. 4， D. 4， 解析：因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为 ，所以另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为3×2－2＝4，方差为32× ＝ ，即平均数、标准差分别为4， .故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 6. 在高一某次考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表. 班级 人数 平均数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中 ＝ ，则两个班数学成绩的方差为（　C　） A. 3 B. 2 C. 2.6 D. 2.5 解析：由题意可知两个班的数学成绩的平均数为 ＝ ＝ ，则两个班数学成绩的方差为s2＝ ×[2＋（ － ）2]＋ ×[3＋（ － ）2]＝ ×2＋ ×3＝2.6. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 7. （2026·江西鹰潭模拟）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了2015年至2022年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（　C　） A. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加 B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多 C. 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：对于A，由题图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法正确.对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为2016年：0.96－0.48＝0.48；2017年：1.88－0.96＝0.92；2018年：2.95－1.88＝1.07；2019年：3.56－2.95＝0.61；2020年：4.15－3.56＝0.59；2021年：4.77－4.15＝0.62；2022年：5.27－4.77＝0.5，则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法正确，C说法错误.对于D，由5.27＞10×0.48，得2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 8. （2026·黑龙江大庆一模）法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，“奥运会最重要的不是赢，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是奋力拼搏”.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到的样本数据如表所示： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法错误的是 （　D　） D A. 男生样本数据的25％分位数是86 B. 男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数 C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：10×25％＝2.5，所以男生样本数据的25％分位数是86，故A正确；男生样本数据的中位数为 ＝89，男生样本数据的众数为90，89＜90，故B正确；女生样本数据的平均数为 ×（82＋84＋85＋87×3＋88×2＋90＋92）＝87，女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为 ×（84＋85＋87×3＋88×2＋90）＝87，故C正确；女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 二、多项选择题 9. （2026·山东枣庄模拟）世界人口变化情况的三幅统计图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 下列四个结论中正确的有（　ACD　） A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B. 1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 C. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D. 2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平 解析：由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确； 由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确； 由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确； 三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故B错误.故选ACD. ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 10. （2026·沧衡名校期末联考）在一次数学考试中，某班成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则（　BD　） A. 该班数学成绩的极差大于40 B. 该班数学成绩不低于115分的频率为0.15 C. 该班数学成绩在[95，105）内的学生比在[95，105）外的学生少 D. 估计该班数学成绩的20％分位数为97.5 解析：该班数学成绩的极差不超过130－90＝40，故A错误；该班数学成绩不低于115分的频率为1－5×（0.01＋0.06＋0.05＋0.03＋0.02）＝0.15，故B正确；该班数学成绩在[95，105）内的频率为（0.06＋0.05）×5＝0.55＞0.5，故C错误；因为0.01×5＝0.05＜0.2，（0.01＋0.06）×5＝0.35＞0.2，所以设该班数学成绩的20％分位数为x，则5×0.01＋0.06×（x－95）＝0.2，所以x＝97.5，故D正确. BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 三、填空题 11. 某地各项事业取得令人瞩目的成就，以2024年为例，社会固定资产总投资约为3 730亿元，其中包括中央项目、省属项目、地（市）属项目、县（市）属项目和其他项目.图1、图2分别是这五个项目的投资金额不完整的条形图和扇形图，请完成下列问题. （1）地（市）属项目投资金额为 　830　亿元； 830　 解析：（1）因为该地社会固定资产总投资约为 3 730亿元，所以地（市）属项目投资金额为3 730－（200＋530＋670＋1 500）＝830（亿元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 （2）在图2中，县（市）属项目部分所占百分比为m％，对应的圆心角为β，则m≈ 　18　，β≈ 　65　度（m，β均取整数）. 解析：（2）由条形图可以看出县（市）属项目部分总投资金额为670亿元，所以县（市）属项目部分所占百分比为m％＝ ×100％≈18％，即m≈18，对应的圆心角为β≈360°×0.18≈65°. 18　 65　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 12. （2026·吉林模拟）中国于2022年2月在北京成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会.共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景变为现实，中国各地滑雪场的数量也由2015年的1 255家增加到2021年的3 100家.下面是2016～2021年全国滑雪场增量趋势图和2020年、2021年滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号有 　①②④　. ①②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 ①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高； ②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升； ③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加； ④2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多. 解析：由扇形统计图可知，2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高，故①正确； 由条形图可知，2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升，故②正确； 由条形图可知，滑雪场新增数量2020年比2019年下降了，故③不正确； 由题图计算可知，2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多，故④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 四、解答题 13. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛.从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； 解：（1）因为所有小矩形的面积之和为1， 所以（0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010）×10＝1，所以a＝0.030. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 （2）求样本成绩的第75百分位数； 解：（2）成绩落在[40，80）内的频率为（0.005＋0.010＋0.020＋0.030）×10＝0.65， 落在[40，90）内的频率为（0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025）×10＝0.9，所以第75百分位数位于[80，90）内. 设第75百分位数为m， 由0.65＋（m－80）×0.025＝0.75，得m＝84，故第75百分位数为84. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 （3）已知落在[50，60）的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70）的平均成绩是66，方差是4，求两组成绩的总平均数 和总方差s2. 解：（3）由题图可知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10， 成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，故 ＝ ＝62. 设成绩在[50，60）中10人的分数分别为x1，x2，x3，…，x10；成绩在[60，70）中20人的分数分别为y1，y2，y3，…，y20， 则由题意可得 －542＝7， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 －662＝4， 所以 ＋ ＋…＋ ＝29 230， ＋ ＋…＋ ＝87 200， 所以s2＝ （ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋…＋ ）－ ＝ ×（29 230＋87 200）－622＝37， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是37. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 高分推荐题 14. （2026·黑龙江齐齐哈尔模拟）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试，已知参加此次测试的学生的分数xi（i＝1，2，…，200）全部介于45分到95分之间（满分100分），该校将所有分数分成5组：[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]，整理得到如下的频率分布直方图（同组数据以这组区间的中点值作为代表）. （1）求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值 ； 解：（1）∵（0.006＋0.014＋m＋0.036＋0.020）×10＝1，∴m＝0.024. ∴此次校内测试分数的平均数的估计值为50×0.06＋60×0.14＋70×0.24＋80×0.36＋90×0.2＝75（分）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 （2）学校要求按照分数从高到低选拔前20名的学生进行培训，试估计这20名学生的最低分数； 解：（2）∵ ＝90％， ∴这20名学生的最低分数就是此次校内测试分数的90％分位数， ∵0.06＋0.14＋0.24＋0.36＝0.8＜0.9， ∴此次校内测试分数的90％分位数位于区间[85，95]中，为85＋ ×10＝90. ∴这20名学生的最低分数的估计值为90分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 （3）试估计这200名学生的分数xi（i＝1，2，…，200）的方差s2，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入了[－2s， ＋2s]范围内？ （参考数据： ≈11.4） 解：（3）∵s2＝0.06×（50－75）2＋0.14×（60－75）2＋0.24×（70－75）2＋0.36×（80－75）2＋0.2×（90－75）2＝129. ∴s＝ ≈11.4， ∴ －2s≈52.2， ＋2s≈97.8， ∴得分为52分的同学的成绩没有进入[52.2，97.8]内， 得分为94分的同学的成绩进入了[52.2，97.8]内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 谢 谢 观 看 题组训练　突破高分必刷 $