10.1　随机抽样 课件-2027届高考数学一轮复习

10.1　随机抽样 第十章 2027 课标要求 1.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系. 2.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差. 3.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. 备考指导 随机抽样在高考中主要以选择题或填空题的形式出现,有时出现在概率、统计的解答题中,难度不大,主要考查简单随机抽样和分层随机抽样的应用. 复习本节知识除了重点掌握分层随机抽样方法,还要注意加强通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据、整理数据、分析数据的能力. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.全面调查与抽样调查 (1)全面调查的有关定义:对每一个调查对象都进行调查的方法,称为 全面调查,又称普查.在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体.为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体,每一个调查对象的相应指标作为个体. (2)抽样调查的有关定义:根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据. 2.简单随机抽样 (1)简单随机抽样的定义:一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. (2)常用的简单随机抽样方法有两种:抽签法和随机数法. 温馨提示从总体中,逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本,一次性批量随机抽取n个个体作为样本,这两种方法是等价的. 3.分层随机抽样 一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 温馨提示在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n. 因此,在比例分配的分层随机抽样中,可以直接用样本平均数估计总体平均数. 4.获取数据的途径 获取数据的基本途径有:通过调查获取数据;通过试验获取数据;通过观察获取数据;通过查询获得数据. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)简单随机抽样可以用在任何调查中.(　　) (2)在分层随机抽样中,每层抽取的样本量都一样.(　　) (3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样.(　　) (4)从互联网上查找的数据,质量参差不齐,应该根据问题背景知识“清洗”数据,去伪存真,再进行数据分析.(　　) (5)在分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(　　) × × × √ × 2.在以下调查中,适合用全面调查的是(　　) A.调查一批小包装饼干的卫生是否达标 B.调查一批袋装牛奶的质量 C.调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间 D.调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求 C A,B,D选项的调查,对于个体具有破坏性,不适合用全面调查.C选项的调查,个体数不多,适合全面调查. 3.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行视力测试,某男学生被抽到的概率是(　　) C 4.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件、80件、60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n的值为(　　) A.9 B.10 C.12 D.13 D 5.(2023新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有 (　　) D 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 简单随机抽样 例1　下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有(　　) ①从无限多个个体中抽取20个个体作为样本; ②箱子里有100支铅笔,从中选取10支进行检测,在抽样操作时,从中任意拿出1支检测后再放回箱子里; ③从50个个体中一次性随机抽取5个个体作为样本. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C 对于①,总体含有的个体数是无限的,故①不是简单随机抽样. 对于②,该抽样是放回简单随机抽样. 对于③,“一次性随机抽取5个”与“逐个不放回地随机抽取5个”是等价的,故③是不放回简单随机抽样. 能力形成点1 能力形成点2 解题心得1.放回简单随机抽样与不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.简单随机抽样需满足:(1)总体含有的个体数有限;(2)等可能抽取. 2.常用的简单随机抽样有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况). 能力形成点1 能力形成点2 对点训练1 下列抽样中,适用抽签法的是(　　) A.从某厂生产的3 000件产品中随机抽取300件进行检测 B.从某厂生产的30件产品中随机抽取6件进行检测 C.从甲、乙两厂生产的30件产品中抽取6件进行检测 D.从某厂生产的3 000件产品中随机抽取10件进行检测 B A,D中总体的个体数较多,不适用抽签法.C中甲、乙两厂生产的产品可能有明显差异,不适用抽签法.B中总体的个体数少,抽取的样本量小,适用抽签法. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点2 分层随机抽样 命题角度1 求总体或样本量 例2　(1)四书五经记载了我国古代政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料,在中国的传统文化的诸多文学作品中,占据相当重要的位置.学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1 040名学生(其中女生有480名)对四书五经的研读情况,进行了一次问卷调查.若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取了一个容量为n的样本,已知抽到男生35人,则样本容量n为(　　) A.65 B.90 C.130 D.150 A 根据题意,知高一年级有1 040名学生,其中女生有480名,则男生有1 040-480=560,则有,解得n=65.故选A. 能力形成点1 能力形成点2 (2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本量为　　　　　;抽取的高中生近视人数为　　　　　.  图① 图② 200 20 由已知得所有学生人数为3 500+4 500+2 000=10 000, 故样本量为10 000×2%=200.样本中,高中生人数为2 000×2%=40, 故抽取的高中生近视人数为40×50%=20. 能力形成点1 能力形成点2 命题角度2 求某层的样本量 例3　调查某学校高三年级男、女生是否喜欢徒步运动得到的等高条形图如图所示.已知该年级有男生800人,女生600人(假设所有学生都参加了调查),现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取33人,则抽取的男生人数为　　　　　.  22 由题意,可得喜欢徒步运动的男生占男生总数的1-0.4=0.6,喜欢徒步运动的女生占女生总数的1-0.6=0.4,则喜欢徒步运动的男生有800×0.6=480(人),喜欢徒步运动的女生有600×0.4=240(人). 能力形成点1 能力形成点2 解题心得1.在分层随机抽样中,各层所抽取的个体数ni与该层所包含的个体数Ni的比等于样本量n与总体容量N的比,即 2.分层随机抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况,这样更能反映总体的情况.分层随机抽样是等可能抽样. 能力形成点1 能力形成点2 对点训练2 (1)某地交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区驾驶员有96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则N为(　　) A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 B 能力形成点1 能力形成点2 (2)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,某月生产A,B,C三种型号的产品的数量之比为1∶a∶2,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为60的样本,已知B种型号的产品被抽取了24件,则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 能力形成点1 能力形成点2 第三环节　学科素养提升 用样本平均数估计总体平均数 典例　某地区有居民800户,其中普通收入家庭640户、高收入家庭160户.现从普通收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取30户,得到他们的月均用电量为90 kW·h,从高收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取20户,得到他们的月均用电量为200 kW·h,依据这些数据并结合所掌握的统计知识,估计该地区全体居民的月均用电量是　　　　　.  答案:112 kW·h 解析:用月均用电量90 kW·h估计640户普通收入家庭的月均用电量,用月均用电量200 kW·h估计160户高收入家庭的月均用电量,得到总体平均数的估计值为×90+×200=112(kW·h). 故估计该地区全体居民的月均用电量为112 kW·h. 解题心得1.明确用样本平均数估计总体平均数的前提. 2.掌握简单随机抽样与分层随机抽样的总体平均数的估计值的处理方法. 变式训练 某地区有居民6 000户,其中城镇居民2 000户、农村居民4 000户.现从城镇居民中以简单随机抽样方式抽取100户,得到他们的月均用水量为12 t,从农村居民中以简单随机抽样方式抽取200户,得到他们的月均用水量为6 t,依据这些数据并结合所掌握的统计知识,估计该地区全体居民的月均用水量是　　　　　.  8 t (1)M,N,m,n的关系为. (2)设表示第1层的样本平均数,表示第2层的样本平均数,表示样本平均数,因为可以估计第1层的总体平均数,可以估计第2层的总体平均数,所以有. A. B. C. D. 简单随机抽样是等概率抽样,每个个体被抽到的概率都是故选C. 依题意,,解得n=13. A.种 B.种 C.种 D.种 由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,应从初中部抽取×60=40(人),从高中部抽取×60=20(人). 第一步,从初中部抽取40人,有种方法,第二步,从高中部抽取20人,有种方法, 根据分步乘法计数原理,一共有种抽样结果.故选D. 故抽取的男生人数为480=22. . 由已知得,解得N=808.故选B. 由题意可知,解得a=2. 总体平均数的估计值为12+6=8(t). $