专题04 基本不等式10大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题04 基本不等式10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 由基本不等式比较大小 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可. 【解答过程】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【解题思路】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【解答过程】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 3．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件. 【解答过程】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 故选：A. 4．（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【解答过程】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 5．（25-26高一上·四川德阳·期中）问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是： ，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 【答案】(1) (2)，当且仅当且同号时，等号成立. 【解题思路】（1）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值； （2）由“1”的妙用得到，其中，从而得到，并得到等号取到的条件. 【解答过程】（1）正实数，满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； （2）， 而，当且仅当时，等号成立， 所以， 故，当且仅当且同号时，等号成立. 题型2 基本不等式链的应用 6．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【解答过程】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 7．（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【解答过程】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D. 8．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【解题思路】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 9．（25-26高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由可得． 【解答过程】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 10．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【解答过程】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D. 题型3 基本不等式求积的最大值 11．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. 12．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【解答过程】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D. 13．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 【答案】3 【解题思路】根据基本不等式和为定值求解最值即可. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3. 故答案为：3. 14．（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）直接利用基本不等式求解最值； （2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可. 【解答过程】（1），，且， 所以，所以， 即，，当且仅当，时取等号，的最大值为； （2），所以，且， ， 当且仅当时等号成立，即， 又因为，可求得，. 所以的最小值为5. 15．（25-26高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【解题思路】（1）直接利用基本不等式即可求解， （2）利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是. 题型4 基本不等式求和的最小值 16．（25-26高一上·西藏昌都·期中）已知，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：B. 17．（25-26高一上·云南昭通·期中）若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】借助基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为8. 故选：D. 18．（25-26高一上·上海·期中）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】/ 【解题思路】由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【解答过程】因，，两边同时乘以，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 19．（25-26高一上·湖南长沙·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； 【答案】(1)5； (2)18. 【解题思路】（1）应用凑配法及基本不等式求最小值，注意等号成立条件； （2）应用“1”的代换，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【解答过程】（1）由，， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为5； （2）由题设， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为18. 20．（25-26高一上·吉林·期中）求最值： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且满足，求的最小值. 【答案】(1)12 (2)5 (3)25 【解题思路】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）利用基本不等式求和的最小值； （3）由，得，则有，展开后利用基本不等式求和的最小值. 【解答过程】（1）已知，，且满足， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为12. （2）已知，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. （3）已知，，且满足，则有， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为25. 题型5 二次与二次（或一次）的商式的最值 21．（25-26高一上·江西·期中）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 22．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【解答过程】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 23．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，； （2）6， 【解题思路】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 24．（25-26高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 25．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型6 条件等式求最值 26．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解题思路】由得到，直接利用基本不等式求解即可. 【解答过程】，，，， ，，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为9. 故选：A. 27．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【解答过程】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D. 28．（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于_____________． 【答案】48 【解题思路】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【解答过程】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 29．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将等价于，由“1”的妙用化简，再由基本不等式解出答案； （2）由，将看成一个整体，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】（1）若，则，         所以，     当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. （2）由得，         当且仅当，即，时等号成立，    所以， 所以或， 又， 所以的最小值为. 30．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据基本不等式建立关于的一元二次不等式，由此可求的取值范围； （2）采用消元法，用表示，再通过配凑法可求的最小值. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 所以，所以或(舍)， 所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为； （2）因为，所以，由，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型7 基本不等式“1”的妙用求最值 31．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知等式，利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【解答过程】∵， ∴， 当且仅当，即，时，取等号， ∴的最小值为. 故选：C. 32．（25-26高一上·安徽六安·期中）设正实数满足，则最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据“1”的变形技巧及基本不等式求解即可. 【解答过程】, 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 33．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）若正数，满足，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为正数，满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：C. 34．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】正实数､满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 35．（25-26高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【解答过程】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值． 题型8 基本不等式的恒成立问题 36．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【解答过程】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B. 37．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 38．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____________. 【答案】 【解题思路】由已知不等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【解答过程】因为，，且，由， 可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 39．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 40．（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 题型9 利用基本不等式证明不等式 41．（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）证明：因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）证明：因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 42．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可； （2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可. 【解答过程】（1）证明：因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 43．（25-26高一上·广西·期中）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【解答过程】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 44．（25-26高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【解答过程】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）证明：因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 45．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解题思路】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【解答过程】（1）证明：由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）证明：因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 题型10 基本不等式的实际应用 46．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【解答过程】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 47．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【解题思路】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值. 【解答过程】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C. 48．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是__________个∕时． 【答案】60 【解题思路】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【解答过程】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 49．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【解题思路】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 50．（25-26高一上·湖北·期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【解题思路】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则 ， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得， 对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本不等式10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 由基本不等式比较大小 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 3．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川德阳·期中）问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是： ，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 题型2 基本不等式链的应用 6．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 7．（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 9．（25-26高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 题型3 基本不等式求积的最大值 11．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 12．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 14．（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 15．（25-26高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 题型4 基本不等式求和的最小值 16．（25-26高一上·西藏昌都·期中）已知，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（25-26高一上·云南昭通·期中）若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．（25-26高一上·上海·期中）已知，且，则的最小值为___________． 19．（25-26高一上·湖南长沙·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； 20．（25-26高一上·吉林·期中）求最值： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且满足，求的最小值. 题型5 二次与二次（或一次）的商式的最值 21．（25-26高一上·江西·期中）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 22．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 23．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 24．（25-26高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 25．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型6 条件等式求最值 26．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 27．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 28．（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于_____________． 29．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 30．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 题型7 基本不等式“1”的妙用求最值 31．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·安徽六安·期中）设正实数满足，则最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 33．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）若正数，满足，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 34．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 35．（25-26高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 题型8 基本不等式的恒成立问题 36．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____________. 39．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 40．（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 题型9 利用基本不等式证明不等式 41．（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 42．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 43．（25-26高一上·广西·期中）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 44．（25-26高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 45．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 题型10 基本不等式的实际应用 46．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 47．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 48．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是__________个∕时． 49．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 50．（25-26高一上·湖北·期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $