云南省德宏州傣族景颇族自治州民族第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

德宏州民族第一中学2024——2025年高一数学上学期期中试卷 时间：120分钟 分值：150分 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数在其定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若函数是偶函数，且在上是增函数，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象经过点， 则 的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．已知定义在上的奇函数的图像是一条连续不断的曲线，时，单调递增，则满足：的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题 9．已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．含有1的子集个数为4个 10．下列说法正确的是（    ） A．的一个必要不充分条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为 11．已知 （常数），则（   ） A．当时，在上是减函数 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，有 三、填空题 12．已知是定义在上的偶函数，则 . 13．关于x的方程的解集为 ． 14．如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为 . 四、解答题 15．求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 16．解下列不等式： (1)； (2). 17．作出二次函数的图像的示意图，并得出各种情况下不等式和的解集. 18．已知函数. （1）若，求实数的值； （2）画出函数的图象并写出函数在区间上的值域； （3）若函数，求函数在上最大值. 19．设函数的定义域为，且同时满足以下两个条件： ①存在实数，使得；②当，时，有恒成立. （1）函数是否满足上述的两个条件，并说明理由； （2）求证：当时，； （3）若当时，，求实数的取值范围. 20．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 21．投资生产某种产品，并用广告方式促销，已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入16万元，又知年销量 (万件)与广告费 (万元)之间的函数关系为，且已知投入广告费1万元时，年销量为2万件产品．预计此种产品年销售收入 (万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的与年广告费用(万元)的的和． （1）试将年利润(万元)表示为年广告费(万元)的函数； （2）当年广告费为多少万元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？ 22．已知函数为R上的一次函数，满足，且，又函数满足． (1)求的解析式； (2)若对所有的，以及所有的恒成立，求实数m的取值范围； (3)，对任意，，恒有，求实数m的取值范围． 23．已知函数，关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 德宏州民族第一中学2024——2025年高一数学上学期期中试卷参考答案 1．C 【分析】根据集合的定义以及表示方法，即可求解. 【详解】阴影中有两个数字，分别是1，2所以表示的集合为. 故选：C 2．C 【解析】根据解析式，先求出函数的定义域；再令，结合二次函数单调性，以及复合函数单调性的判定方法，即可得出结果. 【详解】因为显然恒成立， 所以函数的定义域为； 令，则是开口向上的二次函数，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 根据复合函数单调性的判定方法可得， 的单调增区间为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求根式型复合函数的单调区间，属于基础题型. 3．D 【分析】由函数定义域及单调性得到不等式组，解出实数的取值范围即可. 【详解】由函数在定义域上为减函数，且，可得：， 解得，故实数的取值范围是. 故选：D. 4．B 【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集. 【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，此时在R上单调递增， 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：B. 5．A 【分析】利用函数的奇偶性化简要比较大小的表达式，然后根据单调性判断出大小关系. 【详解】由于函数是偶函数，所以，而，且在上是增函数，故，即. 故选A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6．B 【分析】设出幂函数的解析式，待定系数求得解析式，再求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象经过点 故可得，解得， 故，故， 故选：B. 7．B 【分析】由题意可得在上单调递增，再对不等式进行移项和奇函数的定义得到，再利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为时，单调递增，且在上的奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以， 所以即， 解得： 故选：B 【点睛】本题考查了奇函数的定义和性质以及利用单调性求解抽象函数的不等式，属于较难题. 8．B 【分析】设，，，即可表示出、、，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：设，，，则，，， 且，，， ∴，，， ∴， 令 ， ∴. 当且仅当，即，即时等号成立. （如，即时等号成立）. ∴的最小值为； 故选：B． 9．CD 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系、子集的定义可得正确的选项. 【详解】，，且，均不是中元素，故AB错误. 因为均为自然数，故，故C正确. 的含1的子集为，共4个，故D正确. 故选：CD. 10．CD 【分析】对于A：直接利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件分析判断；对于B：分和两种情况，结合二次方程分析判断；对于C：根据命题真假的判定，结合恒成立问题分析求解；对于D：由可得，结合包含关系分析求解． 【详解】对于选项A：当，即时，则，即充分性成立； 当时，例如，则，即必要性不成立； 所以的充分不必要条件为，故A错误； 对于选项B：若集合中只有一个元素， 当时，集合，只有一个元素，符合题意； 当时，由，解得； 综上所述：或，故B错误； 对于选项C：命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 所以，解得，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且集合，则满足条件的集合为：或或或， 故集合的个数为，故D正确． 故选：． 11．BCD 【分析】对A，比较时两段的值可判断；对B，分别判断和时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出和时范围即可得出. 【详解】对于选项A，当时，，，所以在R上不是减函数，故选项A错误， 对于选项B，当时，在上是减函数，无最小值， 又在上是减函数，也无最小值，即时，无最小值， 当时，在上是增函数，所在在上的最小值为， 又在上是减函数，且，所以当时，无最小值， 综上，当时，无最小值，所以选项B正确． 对于选项C，当时，， 当时，由，得是增函数， 所以，所以的值域是，故选项C正确． 对于选项D，当时，由，得，所， 而当时，，， 因此，，使得，即，所以选项D正确， 故选：BCD． 【点睛】求函数最值和值域的常用方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （4）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 12． 【分析】根据函数的奇偶性求得，进而求得. 【详解】由于是定义在上的偶函数，所以， ， 所以， 不恒为，所以， 所以. 故答案为： 13． 【解析】利用，转化成求解，即可求出解集 【详解】因为，故， 故，解得 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值的运用和一元二次不等式的求解问题，属于简单题. 14．6 【分析】画出等效图形，分和两种情况由勾股定理求出对应值即可； 【详解】 如图， 因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 当，可分为 ，解得； ，解得； ，解得； 所以x的取值个数为6， 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答. 15．(1) (2)当时，解集为；当时，方程解集为. (3) (4) 【分析】（1）解一元二次方程即可得解集. （2）对分类讨论即可得方程的解集. （3）利用换元法令，把原方程化为一元二次方程，结合的取值范围即可得到原方程的解集. （4）利用代入消元法即可得到方程组的解集. 【详解】（1）由得，， 解得，故方程的解集为. （2）当时，方程无解，解集为， 当时，解方程得，方程解集为. （3）令，则方程可化为， 解方程得，（舍）， ，故方程解集为. （4）由得，，解得, 方程组的解为，， 故方程组解集为. 16．(1) (2) 【分析】（1）将不等式拆成两个分式不等式，分别解之再求交集即可得解； （2）利用绝对值的几何意义将不等式等价于两个一次不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为不等式等价于或， 解，得，即，解得或； 解，得，即，解得或； 综上或，所以不等式的解集为； （2）因为， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 17．见解析 【分析】列出判别式三种情况，作二次函数图象，列出二次方程根的情况，一元二次不等式的解的情况．分和． 【详解】解：当时， 图像的示意图          的解集 的解集 当时， 图像的示意图          的解集 的解集 【点睛】本题考查一元二次方程的解，二次函数的图象，一元二次不等式的解集之间的关系，它是高中数学的重要内容之一，必须记牢． 18．（1）或；（2）图象答案见解析，值域为；（3）. 【分析】（1）讨论的范围根据分段函数解析式可求解； （2）根据分段函数解析式即可画出，计算出端点值，结合图象即可得出值域； （3）可得，讨论和两种情况根据二次函数的性质求解. 【详解】（1）当时，得， 当时，得， 由上知或. （2）图象如下图： ， 由图象知函数的值域为. （3）当时，， 配方得, 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间的最值的思路； （1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在三个区间的范围求解. 19．（1）符合，答案见解析；（2）答案见解析；（3） 【解析】（1）可验证时， 满足条件①，而            ，满足条件②可得答案； （2）令，由可得证明； （3）设，由第（ 2）问得， ，可得是增函数，利用单调性再由恒成立，即的最小值，利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）满足，理由如下 当时，，有满足条件①，又             ，对于恒成立，满足条件②， 所以函数满足上述的两个条件. （2）因为可令，由，所以当时，. （3）对任意的，设，由第（ 2）问得， ，所以是增函数. 恒成立，则的最小值， ，当且仅当时等号成立，综上所述. 【点睛】对于抽象函数，要灵活掌握并运用图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，对于抽象函数不等式，要结合单调性、奇偶性和特殊函数值去解不等式，要注意定义域. 20．(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 21．（1）；（2）见解析. 【分析】（1）由已知投入广告费1万元时，年销量为2万件产品，代入可以求出值，进而得到的表达式，进而求出年销售收入，结合年成本为，根据利润=收入-成本，即可得到结果； （2）根据（1）中得到的函数解析式，根据基本不等式，易得到年广告费为多少万元时，年利润最大及对应的最大年利润是多少万元． 【详解】（1）∵，且投入广告费1万元时，年销量为2万件产品 ，∴ 年销售收入，年成本为 ∴ （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 答：当年广告费为4万元时，年利润最大，最大年利润是25万元. 22．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）运用待定系数法进行求解即可； （2）根据函数的最值，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数的单调性，结合绝对值的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为函数为R上的一次函数，所以设， 由或， 即或，因此该函数是减函数，因此， 因为，所以， 于是有：或，因为，所以， 所以； （2）由（1）可知：， ， 因为，所以， 要想不等式对所有的恒成立， 只需对所有的恒成立， 设，因此有或， 所以实数m的取值范围为； （3）, ， 该二次函数的对称轴为：，因此当时，该函数是单调递增函数， 所以当对任意，，恒有，则有成立， 因为当时，该函数是单调递增函数，， 所以， 又因为m>0，所以实数m的取值范围为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对任意性的理解和函数单调性的应用. 23．（1），；（2）. 【分析】（1）由题意知，，1为方程的两个根，进而根据韦达定理即可得答案； （2）结合（1）得，，再根据集合关系求解即可得答案. 【详解】解：（1）由题意知，，1为方程的两个根， 所以 所以，. （2）不等式的解集为， 不等式的解集为， 因为，所以，解得. 所以实数的取值范围为 24．C 【详解】从五代十国的君主出身可知，地方的节度使制度对中央集权制度产生了巨大的威胁，因此C正确；AD与材料无关，排除；藩镇割据是国家统一的阻碍因素，B排除。故选C。 25． (1)民族变化：民族交融加快；春秋时期在频繁的往来和密切联系中，产生华夏认同观念；战国时期，戎狄蛮夷逐渐融入华夏族（各族同源共祖观念得到发展）。（6分） (2)变化：由汉初的妥协隐忍策略转变为武帝时的开疆拓土策略。（2分） 原因：汉初休养生息奠定基础；汉武帝加强皇权，削弱诸侯王势力，巩固了政权；实行盐铁官营，推行均输平准，增加了财政收入，有充足的物质条件。（6分） (3)表现：重用汉族杰出士人；重视儒家学说和教育；重视人才的选拔、考核和官员素质。（6分） 积极作用：传承了中原文化，扩大了儒学影响；拓宽了官员任用渠道，巩固了统治；推动了各民族的经济文化交流与发展；促进了民族交融，有利于统一多民族国家的发展。（8分） 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$