第二十五章 图形的相似 单元测试 (二) 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

**基本信息** 冀教版九年级上册图形的相似单元测试，覆盖相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识，结合《墨经》小孔成像、旗杆测量等情境，突出几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|相似判定（AA）、位似变换|第6题以墨子小孔成像考相似应用，体现文化传承| |填空题|4/12|相似性质（面积比）、图形变换|第15题正方形综合题，考查相似与面积计算| |解答题|8/72|实际测量、旋转综合|20题旗杆测量多方法，发展应用意识；23题旋转探究，提升创新思维|

冀教版九年级上册 第二十五章 图形的相似 单元测试 (二) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【解答】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 故答案为：A。 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，列式并变形得出 ，最后代入计算即可求解． 2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵点E为OC的中点， ∴， ∵EF//AB. ∴△CEF∽△CAB ∴，即 ∴EF=1 故选：B. 【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可. 3．如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：连接，如图； 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴，， 故， 解得， 即， 故， 解得，经检验，符合题意， 故选：B． 【分析】 由基本尺规作图知CD平分、EF垂直平分DC，则连接DE，由角平分线的定义结合等边对等角可得，则由平行线的判定可得，再利用三角形相似的预备定理可证，再利用相似比依次求解即可． 4．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， BD平分∠ABC， DE=CE， AC=AE.若 CD=2，则 AE= (　　) A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于点F， 设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2 ∴∠DCE=∠AEC ∵CE=DE，EF⊥CD， ∴， ∠DEF=∠CEF=∠CED，∠CDE=∠DCE ∴∠ACE=∠CDE，∠AEC=∠DCE，AF=x+1 ∴△ACE∽△EDC ∴，∠CAE=∠CED ∴CE2=CD·AC=2(x+2)=2x+4， ∴ ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=α ∵EF∥BC ∴△DEF∽△DBC ∴∠DEF=∠CBD=α， ∴∠CAE=∠CED=2α， ∵∠AFE=∠ACB=90°，∠FAE=∠CBA=2α， ∴△AEF∽△BAC ∴ ∴ ∴(x+2)(x+1)=2(2x+3) 解得：(负值舍去) ∴ 故选：D. 【分析】过点E作EF⊥AC于点F，设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2，证明△ACE∽△EDC，得出∠CAE=∠CED，CE2=2x+4，从而得出，再证明△DEF∽△DBC，推出∠CAE=∠CED=2α，，最后再证明△AEF∽△BAC，根据对应边成比例列方程求解即可. 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，AC 与 DE 相交于点 F，若 则 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∵ ∴AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF ∴ 故答案为：. 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，进而得出AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF，根据相似比即可解答. 6．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验.图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔 P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A'B'(点A，B的对应点分别是A'， B')，且AB⊥A'B， A'B'⊥A'B，若AB＝10cm， P到A'B的距离PQ＝6cm，则A'B'长为（　　） A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm 【答案】C 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：C. 【分析】根据垂直得到，即可得到，然后根据对应边成比例解答即可． 7．如图，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0）.则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似变换；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：由△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，可知：△AOC∽△DOF ∴ ∵A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(3，0)， ∴OA=1，OD=3， ∴ 故答案为：D. 【分析】由题意易得是△AOC∽△DOF，OA=1，OD=3，然后根据相似三角形的性质可进行求解. 8．如图，在菱形ABCD中，AB=6，点E是AD的中点，EF交 CD 于点 G、交 BC的延长线于点 F.若DG=3CG，则BF的长为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD=BC=6，AD//BF ∴△EDH∽△FCG ∴ ∵DG=3CG ∴ ∵E是AD的中点， ∴， ∴， 解得：CF=1， ∴BF=BC+CF=6+1=7， 故答案为：A. 【分析】利用菱形的性质得到AB=AD=BC=6，AD//BF，即可推出△EDH∽△FCG，得到，接着运算出CF的长即可解答. 9．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，AB=8，BC=12，点E在CD上，且DE=2，连接OE，并延长与AD的延长线相交于点 F，则 DF的长为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；平行公理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：取中点，连接， 是中点，是中点， 是中位线，，，， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故答案为：B. 【分析】取中点，连接，根据平行四边形的性质得到ON是△ABD的中位线，即可求出ON和DN长，然后根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可． 10．如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点为D，点C的对应点为E，且点E在AB的延长线上，连接BD.若AB=15， BC=20，则线段BD的长为（　　） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【知识点】勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：过点D作， 在中，，，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B. 【分析】过点D作，根据勾股定理得出，利用旋转的性质得到得出，，根据两角相等得到，利用对应边成比例得到，然后根据勾股定理解答即可． 11． 如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：延长DF、AB交于点M，如下图所示： 设正方形的边长为3a，则AB=BC=CD=AD=3a， ∵CE=2BE， ∴， 由于BE∥AD，则△NBE∽△MAD， 所以， 又∵AM=AB+BM， 联立知，BM=1.5a， 在Rt△AMD中，由勾股定理得，， 由面积得：，解得， 在Rt△AFD中，， 则， 由于DG∥AM，则△MBF∽△DGF，所以， 可得，由于CE=2BE，则 ，联立得 . 故选：B. 【分析】延长DF、AB交于点M，先由正方形的性质和已知，可得BE=a；再根据平行可得三角形相似，得到；然后利用勾股定理和三角形的面积可得；最后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到. 12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上， DE⊥AF于点G， 交AC于点O， FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M ，连接BH.下列四个结论：①∠ACB=∠AMH；②BHE= ③CH=AO；④若BII∥DE，则 正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ACB=∠CAB=45°，AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，AB//CD ∵FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M， ∴∠AHM=90°， ∴∠AMH=90°-∠CAB=45° ∴∠ACB=∠AMH，△AHM为等腰直角三角形，故①正确，符合题意； ∴AH=HM ②∵DE⊥AF， ∴∠DAF+∠ADE=90°， ∵∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF ∴△ADE≌△BAF(ASA)， ∴DE=AF 连接CM，如图： ∵∠ACB=∠CAB=45°，FH⊥AC， ∴△CHF为等腰直角三角形， ∴，∠HFC=45°， ∵AH=MH，∠AHF=∠MHC=90°， ∴△AHF≌△MHC(SAS)， ∴AF=CM=DE， ∵∠BFM=∠HFC=45°，∠CBM=180°-∠ABC=90°=∠CHF， ∴△CHF∽△MBF ∴ ∴ ∴ ∵，∠HFB=∠CFM ∴△BFH∽△MFC ∴ ∴，故②正确，符合题意； ③利用已知条件无法证明出AO=CH，故③错误，不符合题意； ④∵AB//CD ∴△AOE∽△COD ∴ ∵AB=CD， ∴ ∵BH//DE ∴ ∴ ∴AH=OC ∴AH-OH=OC-OH ∴AO=CH ∵∠AHF=∠ABF =90° ∴点A、H、F、B在以AF为直径的圆上， ∵BH//DE，DE⊥AF ∴BH⊥AF ∴AF垂直平分BH， ∴AH=AB=OC， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④. 故答案为：B. 【分析】由正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由题意可得∠AHM=90°，再求出∠AMH=45°，即可判断①正确；先证明△ADE≌△BAF(ASA)，得出DE=AF，连接CM，则△CHF为等腰直角三角形，从而可得，∠HFC=45°，证明△AHF≌△MHC(SAS)，得出AF=CM=DE，证明△CHF∽△MFB，得出，再证明△BFH∽△MFC，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出AO=CH，即可判断③错误；证明△AOE∽△COD，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出AO=CH，证明点A、H、F、B在以AF为直径的圆上，BH⊥AF，得出AF垂直平分BH，由线段垂直平分线的性质可得AH=AB=OC，求出，从而可得，即可判断④正确. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　. 【答案】 【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。 因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。 由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE， 因此， 因为AD‖BC， 所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC， 根据平行线分线段成比例，分别得到，， 由相似比计算得， 因此， 所以MN的长度为. 故答案为：. 【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。 14．如图， ▱ABCD的对角线AC， BD相交于点 E， BD=2BC，∠CAB=45°， CF⊥AB于点 F，交 BD于点 H.若AF=4，则 EH 的长为　 　. 【答案】 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 是等腰三角形， 是等腰直角三角形， 过E作 于M， ∴EM∥CF， ∵E是AC的中点， ∴EM是△ACF的中位线， 设FB=x，则MB=MF+FB=2+x， AB=4+x， 在等腰△EBC中， BE=BC， ∴x=2， ∴FB=2， MB=4， 故答案为： 【分析】根据平行四边形的性质得出BD=2BE，AE=EC，即可得到△EBC和△AFC是等腰直角三角形，然后根据三角形的中位线定理求出BM=2，然后根据勾股定理列方程求出x的值，再根据两角对应相等得到△EMH∽△FBH，根据对应边成比例求出MH长，在哪根据勾股定理解答即可.. 15．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上方构造正方形CEFG，连接AF与BF，分别交CD于点M和点N.若CE=1，则△MNF的面积是　 　. 【答案】 【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】 【解答】解：如图，延长FG交AB于点R， ∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形 ∴AB∥CD∥EF，GF∥CE，∠E=90° ∴FR∥BE，BR∥EF ∴四边形BRFE是矩形 ∴FR⊥AB，FR=BC+CE=4 又∵CD∥AB ∴△FMN∽△FAB ∵ ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算.先利用正方形的性质求出△FAB底边AB上的高FR，计算△FAB的面积；再利用平行线判定三角形相似，计算相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 16． 如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为　 　． 【答案】 【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：因为， 所以， 因为OA'||CD， 所以， 所以， 因为OA'||CD， 所以∠OA'A=∠D， 所以∠CAD=∠DA'B'， 所以A'B'||AC， 所以， 因为A'D：AD=3：4， 所以， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，面积比等于相似比的平方，首先根据轴对称的性质得OA=OA'，得到∠OAA'=∠OA'A，然后根据OA'||CD，得到，结合，得到相似比为1：4，即可得到面积比为1：16，再得到A'B'||AC，即，然后得到相似比为3：4，那么面积比为9：16，然后得到 四边形 与△AACD的面积比为3：8，进而得到 四边形与的面积之比. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（-2，-1）、（-1，-3）. （1）在图中标出OB的中点D； （2）在第三象限内，画出以O为位似中心将△OAB放大为原来的两倍，得到△OA1B1； （3）在（2）条件下： ①△OA1B1边上的点P1（m，n）在△OAB中的对应点P的坐标为　 　； ②　 　. 【答案】（1）如图，点D即为所求； （2）如图，△OA1B1即为所求； （3）；1：4 【知识点】位似变换；作图﹣位似变换；位似图形的性质 【解析】【解答】解：（3）∵以点为位似中心，在第三象限内将放大到原来的两倍，得到，边上的点， ∴与的位似比为， ①在中的对应点， 故答案为：； ②∵与的位似比为， ∴， 故答案为：． 【分析】（1）根据网格的特征结合矩形的性质即可求解； （2）把点A，点B的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据题意得到与的位似比为，①把点的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标；②再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 18．如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 【答案】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【分析】(1)根据平行线分线段成比例得到.AD：AB=AE：AC，进而根据比例性质求解即可； (2)根据平行线分线段成比例定理得到AB：BD=AC：EC，AC：EC=AG：FG，进而可得结论. 19．如图， BD 为菱形ABCD 的对角线， 过点A作AE⊥BC， 垂足为点E， AE交BD 于点F，过点A 作AB 的垂线交 BD 于点 G，过点 G作 GH⊥AE，垂足为点H. （1） 求证： AB=GH+BE； （2） 若GH=2AH， 求 的值. 【答案】（1）证明：连接CG，如图所示， ∵BD为菱形的对称轴， ∴AG=CG， 在△ABG和△CBG中 ∴△ABG≌△CBG(SSS)， ∴∠BCG=∠BAG=90° ∴四边形HGCE为矩形 ∴GH=CE， ∴AB=BC=CE+BE=GH+BE （2）解：∵∠AGH+∠GAH=90°，∠GAH+∠BAE=90°， ∴∠AGH=∠BAE ∴tan∠AGH=tan∠BAE， ∴ ∴ 又∵HG//BC， ∴△HFG~△EFB， ∴ 【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【分析】(1)连接CG，可证明△ABG≌△CBG(SSS)，从而得四边形HGCE为矩形，再利用等线段替换可证明结论； (2)导角可得∠AGH=∠BAE，从而有tan∠AGH=tan∠BAE，即，可得，再证明△HFG~△EFB，根据可得结论. 20．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】（1）11.3 （2）11.2 （3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； （2）解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，结合平行投影即可求出答案. （2）由反射定律可知，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案. （2）过点D作，垂足为点H，交于点G，由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，根据边之间的关系可得CG，DH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； （2）解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； （3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 21．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到 （1）当点E恰好落在BC延长线上时，求的度数. （2）在（1）的条件下连结CF交AE于点D.若AB=5，AC=4，求AD的长. 【答案】（1）解：由题意可得：， 又∵E在的延长线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和等边对等角得到，再根据旋转得到，利用角的和差解答即可； （2）根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可. 22．三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期测量了三阳寺塔的高度．如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像，经测量知：米，米，米，米．已知，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内．求三阳寺塔的高度． 【答案】解：，，， ，， ，即， ， ，，， ，， ，即， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】根据两角相等得到，然后根据对应边成比例得到AB=BF，同理可得△ABE∽△DCE，根据对应边成比例解答即可. 23．在矩形 ABCD中，E是边 AB上一点(不与端点重合)，以 BE为边在矩形 ABCD内部构造矩形 BEGF，使得 连接 DG. （1）如图 1，当 m=1时，求 的值； （2）如图 2，将矩形 BEGF 绕点 B 顺时针旋转θ (0°<θ<30°) ，连接 AE，当 时，求 的值； （3）如图 3，矩形 BEGF在旋转的过程中，当点 G落在 BC边上时， D， G， F三点共线.若 求 AE的长. 【答案】（1）解：如图，连接BG、BD，延长FG交AD于点H， 当m=1时， ∴AB=BC，BE=BF， ∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形， ∴BE//FG，AD//BC//EG，∠A=90° ∴四边形AEGH是矩形， ∴AE=HG ∵BG、BD是正方形ABCD和正方形BEGF的对角线， ∴∠GBC=∠DBC=45° ∴B、G、D三点共线， ∴∠ADB=45°， 在Rt△DHG中， （2）解：如图，连接BG、BD， ∵矩形ABCD和矩形BEGF， ∴∠BAD=∠BEG=90°，AD=BC，EG=BF，EG//BF ∵ ∴，， ∴∠ADB=∠EGB=30° ∴∠ABD=∠EBG=60° ∴∠ABE=∠DBG=60°-∠EBD， ∵， ∴ 又∵∠ABE=∠DBG， ∴△ABE∽△DBG ∴ （3）解：∵，BF=4， ∴BE=3 设AB=3a，BC=4a， ∵矩形ABCD和矩形BEGF， ∴∠BEG=∠FGE=∠C=90°，FG=BE=3，EG=BF=4，AB=CD=3a， ∴，， ∵∠BGF=∠DGC， ∴∠EGB=90°-∠BGF=90°-∠DGC=∠CDG， ∴△BEG∽△GCD， ∴ ∴ ∴， ∵BC=BG+CG， ∴ 解得： ∴，，， ∴ ∴cos∠ABD=cos∠EBG ∴∠ABD=∠EBG ∴∠ABE=∠DBG ， ∴△ABE∽△DBG， ∴ ∴ ∴ 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1)连接BG、BD，延长FG交AD于点H，证明矩形ABCD和矩形BEGF是正方形，从而得出B、G、D三点共线，再利用特殊角的正弦值求解即可； (2)连接BG、BD，利用特殊角的三角函数值得出∠ABE=∠DBG，，从而证明△ABE∽△DBG，即可得解； (3)设AB=3a，BC=4a，利用矩形的性质求出BG=5，BD=5a，证明△BEG∽△GCD，得出，，再结合BC=BG+CG求出a的值，利用锐角三角雨数，推出△ABE∽△DBG，利用对应边成比例求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀教版九年级上册 第二十五章 图形的相似 单元测试 (二) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， BD平分∠ABC， DE=CE， AC=AE.若 CD=2，则 AE= (　　) A．4 B． C． D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，AC 与 DE 相交于点 F，若 则 A． B． C． D． 6．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验.图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔 P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A'B'(点A，B的对应点分别是A'， B')，且AB⊥A'B， A'B'⊥A'B，若AB＝10cm， P到A'B的距离PQ＝6cm，则A'B'长为（　　） A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm 7．如图，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0）.则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在菱形ABCD中，AB=6，点E是AD的中点，EF交 CD 于点 G、交 BC的延长线于点 F.若DG=3CG，则BF的长为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．9 9．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，AB=8，BC=12，点E在CD上，且DE=2，连接OE，并延长与AD的延长线相交于点 F，则 DF的长为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点为D，点C的对应点为E，且点E在AB的延长线上，连接BD.若AB=15， BC=20，则线段BD的长为（　　） A．12 B． C．15 D． 11． 如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上， DE⊥AF于点G， 交AC于点O， FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M ，连接BH.下列四个结论：①∠ACB=∠AMH；②BHE= ③CH=AO；④若BII∥DE，则 正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　. 14．如图， ▱ABCD的对角线AC， BD相交于点 E， BD=2BC，∠CAB=45°， CF⊥AB于点 F，交 BD于点 H.若AF=4，则 EH 的长为　 　. 15．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上方构造正方形CEFG，连接AF与BF，分别交CD于点M和点N.若CE=1，则△MNF的面积是　 　. 16． 如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为　 　． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（-2，-1）、（-1，-3）. （1）在图中标出OB的中点D； （2）在第三象限内，画出以O为位似中心将△OAB放大为原来的两倍，得到△OA1B1； （3）在（2）条件下： ①△OA1B1边上的点P1（m，n）在△OAB中的对应点P的坐标为　 　； ②　 　. 18．如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 19．如图， BD 为菱形ABCD 的对角线， 过点A作AE⊥BC， 垂足为点E， AE交BD 于点F，过点A 作AB 的垂线交 BD 于点 G，过点 G作 GH⊥AE，垂足为点H. （1） 求证： AB=GH+BE； （2） 若GH=2AH， 求 的值. 20．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 21．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到 （1）当点E恰好落在BC延长线上时，求的度数. （2）在（1）的条件下连结CF交AE于点D.若AB=5，AC=4，求AD的长. 22．三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期测量了三阳寺塔的高度．如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像，经测量知：米，米，米，米．已知，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内．求三阳寺塔的高度． 23．在矩形 ABCD中，E是边 AB上一点(不与端点重合)，以 BE为边在矩形 ABCD内部构造矩形 BEGF，使得 连接 DG. （1）如图 1，当 m=1时，求 的值； （2）如图 2，将矩形 BEGF 绕点 B 顺时针旋转θ (0°<θ<30°) ，连接 AE，当 时，求 的值； （3）如图 3，矩形 BEGF在旋转的过程中，当点 G落在 BC边上时， D， G， F三点共线.若 求 AE的长. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【解答】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 故答案为：A。 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，列式并变形得出 ，最后代入计算即可求解． 2．【答案】B 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵点E为OC的中点， ∴， ∵EF//AB. ∴△CEF∽△CAB ∴，即 ∴EF=1 故选：B. 【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可. 3．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：连接，如图； 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴，， 故， 解得， 即， 故， 解得，经检验，符合题意， 故选：B． 【分析】 由基本尺规作图知CD平分、EF垂直平分DC，则连接DE，由角平分线的定义结合等边对等角可得，则由平行线的判定可得，再利用三角形相似的预备定理可证，再利用相似比依次求解即可． 4．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于点F， 设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2 ∴∠DCE=∠AEC ∵CE=DE，EF⊥CD， ∴， ∠DEF=∠CEF=∠CED，∠CDE=∠DCE ∴∠ACE=∠CDE，∠AEC=∠DCE，AF=x+1 ∴△ACE∽△EDC ∴，∠CAE=∠CED ∴CE2=CD·AC=2(x+2)=2x+4， ∴ ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=α ∵EF∥BC ∴△DEF∽△DBC ∴∠DEF=∠CBD=α， ∴∠CAE=∠CED=2α， ∵∠AFE=∠ACB=90°，∠FAE=∠CBA=2α， ∴△AEF∽△BAC ∴ ∴ ∴(x+2)(x+1)=2(2x+3) 解得：(负值舍去) ∴ 故选：D. 【分析】过点E作EF⊥AC于点F，设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2，证明△ACE∽△EDC，得出∠CAE=∠CED，CE2=2x+4，从而得出，再证明△DEF∽△DBC，推出∠CAE=∠CED=2α，，最后再证明△AEF∽△BAC，根据对应边成比例列方程求解即可. 5．【答案】C 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∵ ∴AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF ∴ 故答案为：. 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，进而得出AE：DC=2：5，△AEF∽△CDF，根据相似比即可解答. 6．【答案】C 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：C. 【分析】根据垂直得到，即可得到，然后根据对应边成比例解答即可． 7．【答案】D 【知识点】位似变换；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：由△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，可知：△AOC∽△DOF ∴ ∵A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(3，0)， ∴OA=1，OD=3， ∴ 故答案为：D. 【分析】由题意易得是△AOC∽△DOF，OA=1，OD=3，然后根据相似三角形的性质可进行求解. 8．【答案】A 【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD=BC=6，AD//BF ∴△EDH∽△FCG ∴ ∵DG=3CG ∴ ∵E是AD的中点， ∴， ∴， 解得：CF=1， ∴BF=BC+CF=6+1=7， 故答案为：A. 【分析】利用菱形的性质得到AB=AD=BC=6，AD//BF，即可推出△EDH∽△FCG，得到，接着运算出CF的长即可解答. 9．【答案】B 【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；平行公理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：取中点，连接， 是中点，是中点， 是中位线，，，， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故答案为：B. 【分析】取中点，连接，根据平行四边形的性质得到ON是△ABD的中位线，即可求出ON和DN长，然后根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可． 10．【答案】B 【知识点】勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：过点D作， 在中，，，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B. 【分析】过点D作，根据勾股定理得出，利用旋转的性质得到得出，，根据两角相等得到，利用对应边成比例得到，然后根据勾股定理解答即可． 11．【答案】B 【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：延长DF、AB交于点M，如下图所示： 设正方形的边长为3a，则AB=BC=CD=AD=3a， ∵CE=2BE， ∴， 由于BE∥AD，则△NBE∽△MAD， 所以， 又∵AM=AB+BM， 联立知，BM=1.5a， 在Rt△AMD中，由勾股定理得，， 由面积得：，解得， 在Rt△AFD中，， 则， 由于DG∥AM，则△MBF∽△DGF，所以， 可得，由于CE=2BE，则 ，联立得 . 故选：B. 【分析】延长DF、AB交于点M，先由正方形的性质和已知，可得BE=a；再根据平行可得三角形相似，得到；然后利用勾股定理和三角形的面积可得；最后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到. 12．【答案】B 【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ACB=∠CAB=45°，AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，AB//CD ∵FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M， ∴∠AHM=90°， ∴∠AMH=90°-∠CAB=45° ∴∠ACB=∠AMH，△AHM为等腰直角三角形，故①正确，符合题意； ∴AH=HM ②∵DE⊥AF， ∴∠DAF+∠ADE=90°， ∵∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF ∴△ADE≌△BAF(ASA)， ∴DE=AF 连接CM，如图： ∵∠ACB=∠CAB=45°，FH⊥AC， ∴△CHF为等腰直角三角形， ∴，∠HFC=45°， ∵AH=MH，∠AHF=∠MHC=90°， ∴△AHF≌△MHC(SAS)， ∴AF=CM=DE， ∵∠BFM=∠HFC=45°，∠CBM=180°-∠ABC=90°=∠CHF， ∴△CHF∽△MBF ∴ ∴ ∴ ∵，∠HFB=∠CFM ∴△BFH∽△MFC ∴ ∴，故②正确，符合题意； ③利用已知条件无法证明出AO=CH，故③错误，不符合题意； ④∵AB//CD ∴△AOE∽△COD ∴ ∵AB=CD， ∴ ∵BH//DE ∴ ∴ ∴AH=OC ∴AH-OH=OC-OH ∴AO=CH ∵∠AHF=∠ABF =90° ∴点A、H、F、B在以AF为直径的圆上， ∵BH//DE，DE⊥AF ∴BH⊥AF ∴AF垂直平分BH， ∴AH=AB=OC， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④. 故答案为：B. 【分析】由正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由题意可得∠AHM=90°，再求出∠AMH=45°，即可判断①正确；先证明△ADE≌△BAF(ASA)，得出DE=AF，连接CM，则△CHF为等腰直角三角形，从而可得，∠HFC=45°，证明△AHF≌△MHC(SAS)，得出AF=CM=DE，证明△CHF∽△MFB，得出，再证明△BFH∽△MFC，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出AO=CH，即可判断③错误；证明△AOE∽△COD，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出AO=CH，证明点A、H、F、B在以AF为直径的圆上，BH⊥AF，得出AF垂直平分BH，由线段垂直平分线的性质可得AH=AB=OC，求出，从而可得，即可判断④正确. 13．【答案】 【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。 因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。 由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE， 因此， 因为AD‖BC， 所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC， 根据平行线分线段成比例，分别得到，， 由相似比计算得， 因此， 所以MN的长度为. 故答案为：. 【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。 14．【答案】 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 是等腰三角形， 是等腰直角三角形， 过E作 于M， ∴EM∥CF， ∵E是AC的中点， ∴EM是△ACF的中位线， 设FB=x，则MB=MF+FB=2+x， AB=4+x， 在等腰△EBC中， BE=BC， ∴x=2， ∴FB=2， MB=4， 故答案为： 【分析】根据平行四边形的性质得出BD=2BE，AE=EC，即可得到△EBC和△AFC是等腰直角三角形，然后根据三角形的中位线定理求出BM=2，然后根据勾股定理列方程求出x的值，再根据两角对应相等得到△EMH∽△FBH，根据对应边成比例求出MH长，在哪根据勾股定理解答即可.. 15．【答案】 【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】 【解答】解：如图，延长FG交AB于点R， ∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形 ∴AB∥CD∥EF，GF∥CE，∠E=90° ∴FR∥BE，BR∥EF ∴四边形BRFE是矩形 ∴FR⊥AB，FR=BC+CE=4 又∵CD∥AB ∴△FMN∽△FAB ∵ ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算.先利用正方形的性质求出△FAB底边AB上的高FR，计算△FAB的面积；再利用平行线判定三角形相似，计算相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 16．【答案】 【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：因为， 所以， 因为OA'||CD， 所以， 所以， 因为OA'||CD， 所以∠OA'A=∠D， 所以∠CAD=∠DA'B'， 所以A'B'||AC， 所以， 因为A'D：AD=3：4， 所以， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，面积比等于相似比的平方，首先根据轴对称的性质得OA=OA'，得到∠OAA'=∠OA'A，然后根据OA'||CD，得到，结合，得到相似比为1：4，即可得到面积比为1：16，再得到A'B'||AC，即，然后得到相似比为3：4，那么面积比为9：16，然后得到 四边形 与△AACD的面积比为3：8，进而得到 四边形与的面积之比. 17．【答案】（1）如图，点D即为所求； （2）如图，△OA1B1即为所求； （3）；1：4 【知识点】位似变换；作图﹣位似变换；位似图形的性质 【解析】【解答】解：（3）∵以点为位似中心，在第三象限内将放大到原来的两倍，得到，边上的点， ∴与的位似比为， ①在中的对应点， 故答案为：； ②∵与的位似比为， ∴， 故答案为：． 【分析】（1）根据网格的特征结合矩形的性质即可求解； （2）把点A，点B的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据题意得到与的位似比为，①把点的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标；②再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 18．【答案】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【分析】(1)根据平行线分线段成比例得到.AD：AB=AE：AC，进而根据比例性质求解即可； (2)根据平行线分线段成比例定理得到AB：BD=AC：EC，AC：EC=AG：FG，进而可得结论. 19．【答案】（1）证明：连接CG，如图所示， ∵BD为菱形的对称轴， ∴AG=CG， 在△ABG和△CBG中 ∴△ABG≌△CBG(SSS)， ∴∠BCG=∠BAG=90° ∴四边形HGCE为矩形 ∴GH=CE， ∴AB=BC=CE+BE=GH+BE （2）解：∵∠AGH+∠GAH=90°，∠GAH+∠BAE=90°， ∴∠AGH=∠BAE ∴tan∠AGH=tan∠BAE， ∴ ∴ 又∵HG//BC， ∴△HFG~△EFB， ∴ 【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【分析】(1)连接CG，可证明△ABG≌△CBG(SSS)，从而得四边形HGCE为矩形，再利用等线段替换可证明结论； (2)导角可得∠AGH=∠BAE，从而有tan∠AGH=tan∠BAE，即，可得，再证明△HFG~△EFB，根据可得结论. 20．【答案】（1）11.3 （2）11.2 （3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； （2）解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，结合平行投影即可求出答案. （2）由反射定律可知，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案. （2）过点D作，垂足为点H，交于点G，由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，根据边之间的关系可得CG，DH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； （2）解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； （3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 21．【答案】（1）解：由题意可得：， 又∵E在的延长线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和等边对等角得到，再根据旋转得到，利用角的和差解答即可； （2）根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可. 22．【答案】解：，，， ，， ，即， ， ，，， ，， ，即， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】根据两角相等得到，然后根据对应边成比例得到AB=BF，同理可得△ABE∽△DCE，根据对应边成比例解答即可. 23．【答案】（1）解：如图，连接BG、BD，延长FG交AD于点H， 当m=1时， ∴AB=BC，BE=BF， ∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形， ∴BE//FG，AD//BC//EG，∠A=90° ∴四边形AEGH是矩形， ∴AE=HG ∵BG、BD是正方形ABCD和正方形BEGF的对角线， ∴∠GBC=∠DBC=45° ∴B、G、D三点共线， ∴∠ADB=45°， 在Rt△DHG中， （2）解：如图，连接BG、BD， ∵矩形ABCD和矩形BEGF， ∴∠BAD=∠BEG=90°，AD=BC，EG=BF，EG//BF ∵ ∴，， ∴∠ADB=∠EGB=30° ∴∠ABD=∠EBG=60° ∴∠ABE=∠DBG=60°-∠EBD， ∵， ∴ 又∵∠ABE=∠DBG， ∴△ABE∽△DBG ∴ （3）解：∵，BF=4， ∴BE=3 设AB=3a，BC=4a， ∵矩形ABCD和矩形BEGF， ∴∠BEG=∠FGE=∠C=90°，FG=BE=3，EG=BF=4，AB=CD=3a， ∴，， ∵∠BGF=∠DGC， ∴∠EGB=90°-∠BGF=90°-∠DGC=∠CDG， ∴△BEG∽△GCD， ∴ ∴ ∴， ∵BC=BG+CG， ∴ 解得： ∴，，， ∴ ∴cos∠ABD=cos∠EBG ∴∠ABD=∠EBG ∴∠ABE=∠DBG ， ∴△ABE∽△DBG， ∴ ∴ ∴ 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1)连接BG、BD，延长FG交AD于点H，证明矩形ABCD和矩形BEGF是正方形，从而得出B、G、D三点共线，再利用特殊角的正弦值求解即可； (2)连接BG、BD，利用特殊角的三角函数值得出∠ABE=∠DBG，，从而证明△ABE∽△DBG，即可得解； (3)设AB=3a，BC=4a，利用矩形的性质求出BG=5，BD=5a，证明△BEG∽△GCD，得出，，再结合BC=BG+CG求出a的值，利用锐角三角雨数，推出△ABE∽△DBG，利用对应边成比例求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $